2023年江苏省南京市鼓楼区中考二模数学试题

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一、单选题

1.下列四个数中，最大的是（）

A．

B．0

C．1.4

D．

2.计算a2•a4的结果为（）

A．a2

B．a4

C．a6

D．a8

3.计算的结果是（）

A．2

B．

C．3

D．9

4.已知，，下列四个点中与A、B在同一条直线上的是（）

A．

B．

C．

D．

5.如图，在中，C是上一点，，过点C作弦交于E，若，则与满足的数量关系是（）

A．

B．

C．

D．

6.小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（）

A．赚了99元

B．赚了100元

C．亏了99元

D．亏了100元

二、填空题

7.式子有意义，则x的取值范围是__．

8.若两个相似四边形的面积比是，则它们的周长比是______．

9.若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.

10.方程的解是______．

11.淋巴细胞是人体内最小的白细胞，直径为6微米，即米，用科学记数法表示是______．

12.已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是______．

13.把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是、，则剪开的另一条棱是______（写出所有正确的答案）．

14.如图，在中，E是线段的中点，交于点F，则______．

15.已知整式，下列关于整式M的值的结论：

①M的值可能为4；

②当a为小于0的实数时，M的值大于0；

③不存在这样的实数a，使得M的值小于－1．

其中所有正确结论的序号是______．

16.如图，的半径为2，是的一条弦，以为边作一个等边，则长的取值范围是______．

三、解答题

17.先化简，再求值：，其中．

18.解方程：．

19.如图，在和中，，，D、分别是BC、的中点，且．求证．

20.如图所示是某地区2022－2022年汽车进、出口量统计图．

(1)与上一年相比，出口量增长率最高的年份是（）

A．2022年B．2022年C．2022年D．2022年

(2)根据上图提供的信息，请写出两个不同于（1）的结论．

21.如图是某城市地铁线路图的一部分，已知甲从A站上车，随机从B、C、D、E中的某一站下车．

(1)甲从C站下车的概率是______；

(2)若乙与甲乘坐同一趟地铁从A站上车，随机从B、C、D、E中的某一站下车，求甲、乙两人恰好从同一站下车的概率．

22.如图，某住宅小区南、北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度和两楼之间的距离，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：，，，，，．）

23.甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等．

(1)求甲、乙商品的售价；

(2)某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍．要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少千克？

24.如图，四边形是的内接矩形，点E、F分别在射线、上，，且点C、E、F在一条直线上，与相切于点C．

(1)求证：矩形是正方形；

(2)若，则正方形的面积是______．

25.在平面直角坐标系中，已知抛物线．

(1)该抛物线经过一个定点：______(写出坐标)；

(2)点是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．

①若，求k的值；

②若，结合该抛物线，直接写出N的取值范围．

26.在学习矩形的判定时，王老师提出一个命题：“一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形是矩形”．小明和小丽都发现这个命题是假命题，并举出了反例．

(1)小明：如图①，中，，把沿翻折，得到，再以为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，过点、分别作、的垂线，交于点．则四边形是该命题的一个反例．

请你说明此反例的合理性．

(2)小丽：作出图②，在中，，．她发现四边形ABMN已满足一组对角相等，一个角是直角，但无法保证恰好与相等，请你完善小丽的作法，并在图②的基础上用尺规作图作出符合要求的，使四边形是该命题的一个反例（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）．

27.在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？

已知小棒长度为4，宽度不计．

方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)；

方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．

(1)①______，______；(结果保留)

②比较与的大小．(参考数据：，．)

(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直