专题10分数与小数的互化及混合运算（5个知识点10种题型）

专题10分数与小数的互化及混合运算（5个知识点10种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.分数与有限小数的互化知识点2.分数与循环小数的互化知识点3.分数、小数的加减混合运算知识点4.分数、小数的四则混合运算知识点5.运用运算律进行四则混合运算【方法二】实例探索法题型1.分数化为有限小数题型2.小数化成分数题型3.循环小数题型4..分数化成循环小数题型5.分数、小数的加减混合运算题型6.分数、小数的加减混合运算的应用题型7.分数、小数的乘除混合运算题型8.分数、小数的四则混合运算题型9.分数、小数的四则混合运算的应用题型10.运用运算律进行四则混合运算题型11.循环小数化分数【方法三】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.分数与有限小数的互化利用分数与除法的关系，进行分数向小数的转化，例如：．一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数．知识点2.分数与循环小数的互化一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数．一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节．为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点．例如：0．3333…的循环节为“3”，写作；0．1363636…的循环节为“36”，写作．2.有限小数化为分数原来有几位小数，就在1后面添几个零作为分母，原来的小数去掉小数点作分子，若有整数部分作为带分数的整数部分．注意：结果一定要化为最简分数知识点3.分数、小数的加减混合运算加减混合运算时，只需将题目中的数同时化成小数或分数后再运算；但当分数不能化成有限小数时，则应同时化成分数后再运算．知识点4.分数、小数的四则混合运算乘除运算中，一般将除法先转化为乘法，小数转化为分数，然后遵循先约分再运算的原则进行计算．一般的运算顺序：先乘除，后加减；若有括号，则先算括号内．在分数与小数的混合运算中，要非常熟练的掌握一些简单的分数和小数之间的互化，做到一看便知，从而有效地提高运算的简便性和正确性．如：，，，，，，，，，，，．（1）加法凑整：若几个数相加的和是一个整数，那么可将这几个数作为一组进行计算，如：；减法亦然．（2）乘法凑整：若几个数相乘的积是一个整数，那么可将这几个数作为一组进行计算，如：；除法亦然．知识点5.运用运算律进行四则混合运算乘法分配律：，将等号的左边和右边调换位置后得到：．这一运用，在速算和巧算中是很常用也很重要的方法，例如：【方法二】实例探索法题型1.分数化为有限小数1．（2022秋·上海闵行·六年级校考阶段练习）在分数、、、中，能化为有限小数的个数有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】如果一个最简分数的分母中只含有和的质因数，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数，如果一个最简分数的分母中含有和以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数，观察四个分数，把不是最简分数的化为最简分数，然后运用规律找出正确的选项即可．【详解】项约分后为，分母中只含有质因数，所以这个分数能化成有限小数；项约分后为，分母中含有质因数，所以这个分数不能化成有限小数；项约分后为，分母中只含有质因数，所以这个分数能化成有限小数；项分母中只含有质因数，所以这个分数能化成有限小数．故选：．【点睛】本题考查了分数化有限小数的知识点，知道什么样的分数可以化成有限小数，什么样不能化成有限小数是解题的关键．2．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）把化成小数是____________．【答案】【分析】直接计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】题目主要考查分数与小数的转化，熟练掌握运算法则是解题关键．题型2.小数化成分数3．（2023·上海·六年级假期作业）把下列小数化成分数．，，，．【答案】，，，【分析】把小数化成分数，有几位小数就在1的后面添几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分，据此解答即可．【详解】解：，，，．【点睛】本题主要考查了小数化分数，解题的关键是掌握把小数化成分数的方法．题型3.循环小数4．（2021秋·上海普陀·六年级校考阶段练习）循环小数5.435435…的循环节为______．【答案】435【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数．根据循环小数的定义判断即可．【详解】解：循环小数5.435435…的循环节为435；故答案为435．【点睛】本题主要考查循环小数，熟练掌握循环小数的循环节概念是解题的关键．题型4..分数化成循环小数5．（2023·上海·六年级假期作业）将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数，并说出其循环节．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(3)，循环节为7(4)，循环节为41【分析】（1）根据分数化为小数的方法解答即可；（2）根据分数化为小数的方法解答即可；（3）根据分数化为小数的方法解答即可；（4）根据分数化为小数的方法解答即可．【详解】（1）；（2）；（3）=，循环节为7；（4）=，循环节为41．【点睛】本题考查分数化为小数，解决本题的关键是掌握相关换算方法．题型5.分数、小数的加减混合运算6.计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】分数与小数混合运算，能化为有限小数的分数可以化为小数进行计算，比如第（2）小题和第（3）小题.【总结】考查分数与小数加减混合运算.题型6.分数、小数的加减混合运算的应用7.比米多2.5分米是______米．【答案】1.65米.【解析】首先，注意统一题目中的单位为米，列式：米.【总结】考查“比一个数多几分之几（带单位）”的理解运用.题型7.分数、小数的乘除混合运算8.计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】分数与小数乘除法混合运算，一般要求学生将小数化为分数进行运算.【总结】考查分数与小数乘除混合运算.9.计算：.【答案】；【解析】解：原式==.10.计算：.【答案】；【解析】解：原式==.题型8.分数、小数的四则混合运算11.计算：分析：这是一道分数与小数的四则运算的混合计算题，先算括号里面的，再乘除，最后加减.原式＝.反思：也可以先去掉括号，然后乘除，再加减.12.计算：.【答案】；【解析】解：原式====.题型9.分数、小数的四则混合运算的应用13.某水果店苹果的售价为每千克9.6元．小丽买了6千克，小杰买的苹果的千克数是小丽所买的．两人各自付钱，小杰付给收银员一张50元的人民币，收银员应找零多少元人民币？【答案】元．【解析】小杰买的千克数是千克，每千克元，小杰应付元，所 以收银员应找零元．【总结】考查分数运算的应用，生活中的基础经济类应用题．题型10.运用运算律进行四则混合运算14．（2023·上海·六年级假期作业）计算：．【答案】【详解】解：原式，，．【点睛】题目主要考查分数与小数、整数的乘法，熟练运用分数的运算法则是解题关键．15.计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式； （2）原式【总结】考查分数与小数的四则混合运算，以及对运算定律的运用.16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式＝，这一题需要对常见的小数化分数很敏感；（2）原式＝.【总结】考查分数与小数混合运算的巧算.17.计算：．【答案】.【解析】原式＝.【总结】考查逆用乘法分配律的运用.18.计算：．【答案】.【解析】法一：原式＝；法二：原式＝．【总结】本题主要考查分拆技巧在分数运算中的巧妙运用.题型11.循环小数化分数19．（2023·上海·六年级假期作业）将下列循环小数化为分数．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据纯循环小数化分数的方法化为分数即可；（2）根据纯循环小数化分数的方法化为分数即可；（3）根据混循环小数化分数的方法化为分数即可；（4）根据混循环小数化分数的方法化为分数即可．【详解】（1）（2）（3）（4）【点睛】本题考查循环小数化为分数的方法．纯循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，以循环节做分子；混循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，循环节之前有几位，就在后面再补几个0做分母，用从小数点后面第一位开始到第一个循环位结束时的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数做分子．20．（2022秋·上海·六年级专题练习）求证：．【分析】设，则，可得，解出即可．【详解】解：设，则，所以，所以，所以．【点睛】本题主要考查了分数化为循环小数，熟练掌握分数化为循环小数的方法是解题的关键．【方法三】成果评定法一、单选题1．（2023·上海·六年级假期作业）把一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，那么下列说法中正确的是（

）A．第一段长； B．第二段长； C．两段一样长； D．无法确定哪段更长．【答案】A【分析】先求出第一段占，再求出全长，求出第二段长，再比较大小即可．【详解】解：第二段占全长的，第一段占全长的，第一段长米，全长为（米），第二段长为：（米），，第一段长，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则，能求出第二段的长度是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．2．（2021秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）100米长的电线减去它的后再减去5米，还剩（

）A．94米 B．95米 C．99米 D．55米【答案】D【详解】解：=100－40－5=55（米），故选：D．【点睛】本题考查分数的四则混合运算，理解题意，正确列出算式是解答的关键．3．（2022秋·上海闵行·六年级校考阶段练习）有5吨货物，第一次运走了吨，第二次运走了剩下的，两次共运走了（

）吨．A．2 B． C． D．【答案】D【分析】第一次运走了吨吨，第二次运走了剩下的，将两次运走的相加，即可解答．【详解】解：故选：D【点睛】本题考查了分数计算，理解题意是解题的关键．4．（2021秋·上海徐汇·六年级上海市第四中学校考期末）要使分数能化成有限小数，则在下列各组数中，x可以是（

）A．3、5、10 B．3、2、18C．2、16、25 D．3、6、9【答案】D【分析】根据什么样的分数可以化成有限小数进行解答即可．【详解】解：A．和分母中不只含有质因数2或5，不能化成有限小数，故本选项不合题意；B．分母中不只含有质因数2或5，不能化成有限小数，故本选项不合题意；C．，，分母中不只含有质因数2或5，不能化成有限小数，故本选项不合题意；D．，，分母中只含有质因数2，能化成有限小数，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查什么样的分数可以化成有限小数，解题的关键是掌握根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．5．（2021秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）下列分数中，，不能化成有限小数的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】分数化成最简形式后，把分母分解质因数，分母中只含有质因数2或5的就能化成有限小数，否则就不能化成有限小数，由此判定．【详解】解：的分母27分解质因数只有因数3，的分母25分解质因数只有因数5，的分母12分解质因数有因数2和3，的分母50分解质因数有因数2和5，的分母21分解质因数有因数3和7，可化简为，分母5分解质因数只有因数5，∴、、三个数不能化成有限小数；故选：B．【点睛】本题主要考查了分数和小数互化，考查能化成有限小数的方法：一个最简分数，把分母分解质因数，分母中只含有质因数2或5的就能化成有限小数，如果除2或5以外还含有其他的质因数，就不能化成有限小数．6．（2023·上海·六年级假期作业）下列说法中正确的是（

）．A．小数0.121221222…是循环小数 B．分数总可以化为循环小数C．0.2232323…的循环节是“223” D．循环小数不一定小于1【答案】D【分析】根据分数和小数互化的性质分析，即可得到答案．【详解】小数0.121221222…不是循环小数，故选项A错误；不是所有分数都可以化为循环小数，例如，故选项B错误；0.2232323…的循环节是“23”，故选项C错误；循环小数不一定小于1正确，例如：1.2232323…，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了分数和小数互化的知识；解题的关键是熟练掌握分数和小数互化的性质，从而完成求解．二、填空题7．（2021秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）按要求填空：255厘米=米（用小数表示）=米（用分数表示）．【答案】【分析】用255除以厘米和米的进率即可，再根据小数化分数的法则化简．【详解】解：255厘米=米=米，故答案为：①，②．【点睛】本题考查了小数与分数的互化，掌握互化的法则以及单位的进率是解题的关键．8．（2021秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）将用“<”号连接：．【答案】【分析】把化为小数的形式，再比较大小即可．【详解】解：，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，将数化为统一形式是解题的关键．9．（2022秋·上海青浦·六年级校考期中）如果新的运算符号“*”的运算规则为，那么．【答案】【分析】根据新定义列式求解即可．【详解】解：由题意可得：，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义的运算，根据新定义列出正确的算式是解题的关键．10．（2020秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中），所以的小数部分前100位之和：．模仿求解：的小数部分前100位之和为．【答案】450【分析】先将化成小数，之后利用题目公式计算即可．【详解】解：，所以的小数部分前100位之和：．故答案为：．【点睛】本题主要考查小数与分数的互化，整数的混合运算，将分数化为小数是解题的关键．11．（2021秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）循环小数的循环节是可简写为．【答案】115【分析】循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是循环节，写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点．【详解】解：循环小数的循环节是115，可简写为，故答案为：115，．【点睛】本题考查了小数的意义，涉及到无限循环小数的相关概念和写法，属于基础知识．12．（2021秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）将和化成分数：．和．【答案】【分析】可采用移动循环节的方法化循环小数为分数，纯循环小数化分数的方法：所求分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各位数字全是9，9的个数等于一个循环节里数字的个数；混循环小数化分数的方法是：所求分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差，分母的前几位数字是9，9后面的数字是0，9的个数和一个循环节中数字的个数相等，0的个数等于不循环部分的数字的个数．【详解】解：，，故答案为：，．【点睛】本题考查了循环小数化分数的方法，解题方法独特，值得体会．13．（2021春·上海嘉定·六年级校考阶段练习）一项工程，甲工程队单独完成需要天，乙工程队单独完成需要天，现在两队合作完成天可完成．【答案】【分析】甲乙合作的工作效率甲的工作效率乙的工作效率，据此即可求解．【详解】解：甲、乙合作需要时间为（天）．故答案为：【点睛】本题考查了分数运算在实际生活中的应用．掌握甲乙合作的工作效率甲的工作效率乙的工作效率是解题关键．14．（2021春·上海徐汇·六年级上海市世界外国语中学校考期中）分数化为小数：，.【答案】【分析】根据带分数、假分数的互化方法及分数化小数的方法进行解答即可．【详解】解：．．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了分数化小数，解题的关键是熟练掌握分数化成小数的方法．15．（2021春·上海徐汇·六年级上海市世界外国语中学校考期中）小数化为分数：，.【答案】【分析】把小数化为，约分化简即可；把小数化为，约分化简即可．【详解】解：；故答案为：，．【点睛】本题考查了把小数化成分数，有几位小数就在1的后面添几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分．16．（2021春·上海徐汇·六年级上海市世界外国语中学校考期中）分数、、、中可以化成有限小数的是.【答案】、、【分析】先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．【详解】解：是最简分数，分母中只含有质因数2和5，可以化成有限小数；，是最简分数，分母中只含有质因数2，可以化成有限小数；，是最简分数，分母中含有质因数3，不能化成有限小数；，是最简分数，分母中含有质因数5，能化成有限小数；综上所述，、、、中可以化成有限小数的是、、．故答案为：、、．【点睛】本题主要考查了分数化成小数，明确分数可以化成有限小数的条件：必须是最简分数，分母中只含有质因数2或5．17．（2020秋·上海普陀·六年级校考期中）在分数中，，，，，不能化成有限小数的分数有．【答案】，【分析】先把各分数化为最简分数，再把分母分解质因数，如果分母中只有2，5这样的分数能化为有限小数，否则就不能化为有限小数．【详解】解：分母只有一个5，能化为有限小数；分母只含5因数，能化为有限小数；分母含有3，故不能化为有限小数；分母含有7，故不能化为有限小数；分母只含2因数，能化为有限小数．故答案为：，．【点睛】本题考查的是有理数，熟知分数化为有限小数的条件是解题的关键．18．（2022秋·上海奉贤·六年级校考期中）我们规定一种新的运算，例如.则．【答案】【分析】根据题目所给新定义法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义、分数的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题关键．三、解答题19．（2021春·上海徐汇·六年级上海市世界外国语中学校考期中）计算：.【答案】【分析】先计算括号内的运算，再将除法转化为乘法，最后约分即可得出答案．【详解】解：．【点睛】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是掌握分数的混合运算顺序和运算法则．20．（2020秋·上海普陀·六年级校考期中）计算：．【答案】【分析】根据分配律计算括号内的，然后进行加减运算，即可求解．【详解】解：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．21．（2020秋·上海普陀·六年级校考期中）解方程：．【答案】【分析】先计算括号内的，然后移项，化系数为1，即可求解．【详解】，，，，解得：．【点睛】本题考查了解方程，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．22．（2021秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）计算：．【答案】【分析】先将小数化为分数，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律合并计算．【详解】解：．【点睛】本题考查了分数的四则运算，解题的关键是掌握相应的化简方法，注意运算律的应用．23．（2023·上海·六年级假期作业）将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数，并说出其循环节．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(3)，循环节为7(4)，循环节为41【分析】（1）根据分数化为小数的方法解答即可；（2）根据分数化为小数的方法解答即可；（3）根据分数化为小数的方法解答即可；（4）根据分数