专题23.7 相似三角形的应用（解析版）

专题23.7相似三角形的应用一、单选题1．小华同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影长为米，与他邻近的一棵树的影长为米，则这棵树的高为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】据相同时刻的物高与影长成比例，

设这棵树的高度为xm，

则可列比例为解得，x=4.8．

故选：B【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．2．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米【答案】A【详解】试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．因此，∵，即，∴楼高=10米．故选A．3．如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像的长是物AB长的（

）A．3倍 B．不知AB的长度，无法计算 C． D．【答案】C【详解】由题意知，,=，所以选C.4．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则，x=4，即蜡烛火焰的高度为4cm，故答案为：B．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．5．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离米，标杆高米，且米，米，则旗杆的高度为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】作AH⊥ED交FC于点G，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．【详解】解：作交FC于点G，如图所示：，，交FC于点G，，，，，，∴四边形ABDH、ABCG是矩形，，，，，，，，，，，解得：，答：旗杆的高ED是米，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．6．如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，，且，则这个矩形零件的长为A． B． C． D．【答案】D【分析】设矩形零件的宽为，则长为，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【详解】解：设矩形零件的宽为，则长为，四边形为矩形，，∴△AEH∽△ABC，∴，∴解得：，，，故选：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．二、填空题7．小莉身高，在阳光下的影子长为，在同一时刻站在阳光下，小林的影长比小莉长，则小林的身高为_________．【答案】【分析】由同一时刻物高与影长成比例，设出小林的身高为米，列方程求解即可．【详解】解：由同一时刻物高与影长成比例，设小林的身高为米，则即小林的身高为米．故答案为：【点睛】本题考查的是利用相似三角形的原理：“同一时刻物高与影长成比例”，测量物体的高度，掌握原理是解题的关键．8．在同一时刻，小红测得小亮的影长为，教学楼的影长为，已知小亮的身高为，那么教学楼的高度为________m．【答案】18【分析】教学楼的高度为，再根据同一时刻物高与影长影长成正比即可得出结论．【详解】解：设教学楼的高度为，∵小亮的影长为，教学楼的影长为，小亮的身高为，∴，解得，即教学楼的高度为．故答案为：18．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．9．如图，小明在路灯下，向前走5米到处，发现自己在地面上的影子长是2米．若小明的身高是1.8米，则路灯离地面的高度是________米．【答案】6.3【分析】根据ED∥AB，得出△ECD∽△BCA，进而得出比例式求出即可．【详解】解：由图知，DC＝2米，ED＝1.8米，AD＝5米，∴AC＝AD+DC＝5+2＝7米∵ED∥AB，∴△ECD∽△BCA∴即∴（米）．故答案为：6.3【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD∽△EBA是解决问题的关键．10．如图，路灯Р距地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯杆的底部（点O）12米的点A处，小明的影长是_________；

【答案】3米【分析】易得：△ABC∽△OPC，利用相似三角形的性质可列式得出小明的影长．【详解】解：∵OPAB则△ABC∽△OPC，∴∴解得AC=3．故答案为：3米．【点睛】本题考查相似三角形的运用，解题的关键是利用相似三角形的相似比列出关系式．11．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m．【答案】3【分析】根据题意画出示意图，根据相似三角形的性质求解即可；【详解】根据题意做出示意图，则，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即树的高度为3m．故答案是3．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点，准确分析计算是解题的关键．12．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为____米．【答案】8【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴，∴AC=8（米），故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得．如果，则河宽AD为_________m．【答案】20【分析】证出ADE和ABC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：∵AB⊥DE，BC⊥AB，∴DE∥BC，∴ADE∽ABC，∴，即，解得：AD＝20m．故答案为：20．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．14．如图，有一块三角形的土地，它的一条边米，边上的高米，某单位要沿着边修一座底面是矩形的大楼，点，在边上，点，分别在边，上，若大楼的宽是40米（即米），则这个矩形的面积是______平方米．【答案】2000【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG∥EF，此时有∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，所以△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积．【详解】解：设AH与DE交于点M，由已知得，DG∥BC∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，∴△ADG∽△ABC，∵AH⊥BC∴AH⊥DG，且AM=AH-MH=80-40=40（m），即DG==50（m），∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．故答案为：2000．【点睛】本题主要考查利用矩形的性质得出两个角相等，进而证明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质得出比例关系，最终求得DG或DE的长，进而求得矩形的面积．三、解答题15．如图，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD＝8m，FB＝2.5m，人高EF＝1.5m，求树高CD．【答案】5.28米【分析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．【详解】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴∴，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．答：故树高DC为5.28米．【点睛】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．16．如图，有一把剪刀，，有一长方体，宽，想用剪刀的A、D两点夹住P、Q两点，那么手握的位置点C、E的距离应该是多少厘米？【答案】【分析】直接利用利用相似三角形的判定与性质进而得出EC的长．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得．所以，点C、E的距离应该是4厘米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．17．如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地BC上，量得与地面成角，且此时测得杆的影子长为，求电杆的高度．【答案】电线杆的高度为．【分析】过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，再根据勾股定理求出CE，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF，再求出BF，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．【详解】过点D作交BC的延长线于E，延长AD交BC的延长线于点F，与地面成角，由勾股定理得，杆的影子长为，，，，，答：电线杆的高度为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键．18．如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m．（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？（2）求古塔的高度．【答案】（1）相似，见解析；（2）16m【分析】（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．【详解】解：（1）△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°.∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE；（2）由(1)得△ABC∽△ADE,∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴，∴DE=16m，即古塔的高度为16m．【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．19．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．【答案】（1）见解析；（2）4.2米【分析】（1）连接CB，延长CB交DE于点P，连接PG，延长PG交CF于H，点P，线段FH即为所求作图．

（2）利用相似三角形的性质根据方程求解即可．【详解】解：（1）如图，点P为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．（2），，∴，∴PD＝4.2（m）．∴灯泡的高为4.2m．【点睛】本题考查作图−应用与设计，相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．小刚和小涛在广场散步，两人提议用地砖的长，各自的身高及路灯下的影长来测路灯的高度，如图，已知广场地面由边长为1米的正方形地砖铺成，小刚的身高为AB为1.8米，小涛的身高DE为1.6米，现测得小刚影长BC为1块地砖的长，小涛影长为2块地砖的长，两人的距离BE为10块地砖的长，PQ⊥QG，AB⊥QG，DE⊥QG，请根据以上信息，求出路灯的高PQ的长．（结果精确到1米）【答案】路灯的高PQ的长16米．【分析】由PQ⊥QG，AB⊥QG，可得∠PQC=∠ABC=90°，PQ∥AB，可得∠QPC=∠BAC，可证△PQC∽△ABC，可得，由PQ⊥QG，DE⊥