2.4圆周角（十二大题型）（ 原卷版）

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》2.4圆周角知识点一知识点一圆周角的概念◆1、圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.【特征】①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.◆2、圆心角与圆周角的区别与联系圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的.在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个.联系两边都与圆相交知识点二知识点二圆周角定理及其推论◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等.◆2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图：即∠ABC=12∠◆3、圆周角定理的推论圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.知识点三知识点三圆内接四边形及其性质◆1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O是四边形的外接圆.◆2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.如右图：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.【例题1】A．20° B．25° C．35° D．45°解题技巧提炼利用“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”结合其它知识来求角的度数或线段长.【变式1-1】（2022•南京模拟）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（）A．26° B．38° C．52° D．64°【变式1-2】（2022•长沙县校级开学）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，则∠OAB＝（）A．18° B．54° C．36° D．72°【变式1-3】（2023•蒲城县二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB＝10，BG＝2，则BE的长为（）A．3 B．4 C．6 D．8【变式1-4】（2023•绵阳二模）若A，B，C是⊙O上三点，∠ABC＝150°，AC＝6，则⊙O的半径是（）A．23 B．32 C．6 D【变式1-5】（2022秋•宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度数是（）A．150° B．140° C．145° D．130°【变式1-6】（2023•云岩区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E、点F是⊙O上一点、连接BF，CF，DF，∠BFD＝60°．（1）求证：DF平分∠BFC；（2）设AB交DF于点G、且DE＝GE，求∠DCF的度数．题型二同弧或等弧所对圆周角相等的运用题型二同弧或等弧所对圆周角相等的运用【例题2】（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（）A．32° B．42° C．52° D．62°解题技巧提炼利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，以及其它的知识来求解.【变式2-1】（2022•枝江市一模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED的度数是°．【变式2-2】如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是弧BAC上一点，则∠D的度数是（）A．40° B．50° C．80° D．20°题型三直径所对的圆周角是90°的运用题型三直径所对的圆周角是90°的运用【例题3】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠解题技巧提炼当有直径时，常用直径所对的圆周角是90°，构造直角三角形来进行解题.【变式3-1】（2022•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【变式3-2】（2022•德城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（）A．22 B．32 C．5 D．22+【变式3-3】（2023•安徽二模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB＝10，AC＝6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．（1）求△ABC的面积；（2）求CE的长．题型四圆周角定理中的多结论问题题型四圆周角定理中的多结论问题【例题4】下列命题中，正确的有（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对弧也相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解题技巧提炼主要利用的是圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，对每个选项进行逐一的判断即可．【变式4-1】如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接OD、AD，则以下结论：①D是BC的中点；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-3】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4题型五与圆周角定理有关的证明题型五与圆周角定理有关的证明【例题5】（2023•海珠区一模）如图，⊙O中，AB＝CD，求证：△ABE≌DCE．解题技巧提炼主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，熟练掌握它们是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•济宁期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：AC=（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．【变式5-2】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，BE交AD于点F，且AB=AE，求证：AF＝【变式5-3】（2023•沂源县一模）如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．【变式5-4】（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G．（1）求证：CF＝CG；（2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB．题型六利用圆内接四边形的性质求角度题型六利用圆内接四边形的性质求角度【例题6】（2022•云岩区模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（）A．140° B．130° C．120° D．100°解题技巧提炼主要是利用圆内接四边形对角互补，圆周角定理，还结合图形的其它性质求角的度数.【变式6-1】（2022•皇姑区一模）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（）A．70° B．35° C．40° D．20°【变式6-2】（2023•山西模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°【变式6-3】（2022•通榆县模拟）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52° B．54° C．56° D．60°【变式6-4】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）求证：∠E＝∠C；（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数．题型七利用圆内接四边形的性质求线段长题型七利用圆内接四边形的性质求线段长【例题7】（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，BC=CD．若AB＝8，AD＝6，则A．52 B．5 C．52 D解题技巧提炼主要是利用圆内接四边形对角互补，结合图形的其它性质转化角之间的关系，同时还要利用勾股定理等知识进行相关的计算.【变式7-1】（2022•青岛一模）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝cm．【变式7-2】（2023•宝鸡二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，连接OA、OC，则OA的长为（）A．4 B．22 C．3 D．【变式7-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（）A．4 B．722 C．532【变式7-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G．（1）求证：BG＝CG；（2）若OF＝1，求AD的长．题型八利用圆内接四边形的性质求面积题型八利用圆内接四边形的性质求面积【例题8】（2023•江岸区一模）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明；（2）若CP=6，BC=27，求S解题技巧提炼主要是利用圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．【变式8-1】（2023•和平区模拟）如图，圆内接四边形ABCD，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC，过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，则△BDE的面积为．【变式8-2】如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）请判断△ABC的形状？说明理由；（2）当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．题型九利用圆内接四边形的性质判断结论题型九利用圆内接四边形的性质判断结论【例题9】（2023•安阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABOD是平行四边形，则下列结论：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④CD=2有（）​A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解题技巧提炼多结论的判断主要利用圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识对每个选项进行判断，掌握它们的性质是解题的关键．【变式9-1】（2022秋•永吉县期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成了8个角，在结论①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式9-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列结论：①线段AC为⊙O的直径；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型十利用圆内接四边形的性质证明题型十利用圆内接四边形的性质证明【例题10】已知四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ADC＝120°，求证：△解题技巧提炼利用圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【变式10-1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形．【变式10-2】（2022秋•甘井子区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE．【变式10-3】（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．求证：BD＝BC．【变式10-4】（2023•南宁二模）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD．题型十一利用圆周角定理解决最值问题题型十一利用圆周角定理解决最值问题【例题11】（2023•六盘水二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝60°，AB＝8，点D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则线段MN的最小值为．解题技巧提炼求最值问题时利用圆周角定理，以及“垂线段最短”，“两点之间线段最短”，“三角形的三边关系”等知识，圆中的最值问题，关键是找到运动轨迹.【变式11-1】（2022•淮南一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则CE+DE长的最小值为．【变式11-2】（2022秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为．【变式11-3】（2023•兴化市开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点F是边AB上一动点（不与A、B重合），以AF为直径的⊙O交AC于点D，连接DB交⊙O于点E，连接CE，当点F在边AB上移动时，则CE的最小值为．​【变式11-4】（2022秋•红桥区校级期末）如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于E，CD⊥MN于F．（1）EF＝；（2）点P在MN上运动，则PA+PC的最小值为．题型十二圆周角定理的综合应用问题题型十二圆周角定理的综合应用问题【例题12】（2023•河西区校级三模