12.2 三角形全等的判定（第二课时SAS）（原卷版）

八年级数学上分层优化堂堂清十二章三角形12.2三角形全等的判定第二课时学习目标：1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS.2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明）3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明）4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.老师对你说：知识点1全等三角形的判定2：边角边（SAS）三角形全等的判定2：边角边（SAS）文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在ΔABC与△A'知识点2利用SAS进行推理证明①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等DABCDABCDABDABCDABCDABCDABCDABC隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．基础提升教材核心知识点精练知识点1全等三角形的判定2：边角边（SAS）【例1-1】如图，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则判定△ADC≌△ABE的根据是____．

【例1-2】如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（

）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短【例1-3】如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（

）A． B． C． D．知识点2利用SAS进行推理证明【例2-1】如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是()A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°【例2-2】如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35.5°，∠2＝30.5°，则∠3＝度．【例2-3】在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．求证：(1)△ABE≌△AFE；(2)AD＝AB+CD．DABCDABCDABDABCDABCDABC【例3-1】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．

求证：；若，求三角形的面积．【例3-2】已知四边形中，，，如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：．【例3-3】已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）能力强化提升训练1.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，若BD=12，则CE为．

如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，在BE上取一点D，使DB=AC，在射线CF上取一点G，使GC=AB，连结AD，AG．若∠DAE=38°，∠ABE=20°，则∠G的度数为．

如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．

4.如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上载取BF=AC，延长CE至点G使CG=AB，连接AF，AG．

(1)求证：AG=AF；(2)求∠GAF的度数；堂堂清选择题（每小题4分，共32分）1.如图中全等的三角形是()A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④2.如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是()A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°3.如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离时，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C．连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．可证明△EDC≌△BAC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△BAC的依据是()A．“边边边” B．“角边角” C．“角角边” D．“边角边”4.如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去5.如图，BD是△ABD和△CBD的公共边，下列条件不能判定△ABD≌△CBD的是（

）A．AB=CB，∠ABD=∠CBD B．AB=CB，∠ADB=∠CDBC．AB=CB，AD=CD D．∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB6.如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=30°，∠2=40°，则∠3的度数为（

）

A．50° B．60° C．70° D．80°7.如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（）A．△ABC与△ABD不全等B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等8.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（

）

A． B． C． D．二、填空题（每小题4分，共20分）9.如图，已知AB∥CF，点E为DF的中点，若AB＝9cm，CF＝5cm，则BD＝____cm.10如图，在△ABC中，，，，分别在，，上，且，，，则的度数是_____．（用含的代数式表示）11.如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是________12.如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE＋∠ACE＋∠ADE＝130°，则∠ADE的度数为________°．13.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为____________三、解答题（共6小题，48分）14.（8分）如图，AB∥DE，15.（8分）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．

16.（8分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CD，C、D、E三点在同一条直线上，连接BD，(1)求证：BD=CE；(2)判断BD与CE的位置关系并说明理由．17.（8分）.如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，BE与CF交于点O，与AC交于点D．(1)求证：BE＝CF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BOF的度数．18.（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．19.（8分）如图，在四边形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB.求证：（1）∠3+∠4=180°；（2）OA+OB=2OE.拓展培优*冲刺满分如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s，则经过______s，△BPE2.问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD3.(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6．求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可