衍射角衍射角光栅衍射图样的特点

光的衍射第19章〔学时：6〕主要教学内容：19.1

光的衍射现象惠更斯-菲涅耳原理19.2

单缝夫琅禾费衍射19.3

光栅衍射19.4

光学仪器的分辨率19.5X射线的衍射缝较大时，光是直线传播的。缝很小时，衍射现象明显。衍射现象：波在传播过程中，遇到障碍物将绕过障碍物而偏离直线传播。光也有衍射现象。只有当障碍物的尺寸与波长相当时，衍射现象才比较明显。屏幕阴影屏幕19.1.1光的衍射现象及其分类针尖狭缝圆孔圆屏衍射屏(障碍物)入射光波衍射图样观察屏19.1

光的衍射现象惠更斯-菲涅耳原理观察比较方便，但定量计算却很复杂。计算比较简单。光源、屏与缝相距有限远菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射光源、屏与缝相距无限远夫琅禾费衍射菲涅尔衍射在实验中实现夫琅禾费衍射1815年，菲涅尔根据波的叠加和干预原理，在惠更斯的子波假设根底上，提出了子波相干叠加的思想，从而建立了反映光的衍射规律的惠更斯－菲涅耳原理：19.1.2惠更斯—菲涅尔原理

从同一波阵面上各点所发出的子波是相干的。波阵面前方空间某点的光振动，就是这些子波到达该点相干叠加的结果。惠更斯提出的子波概念，可解决波的传播方向的问题。菲涅尔提出子波干预的概念，可解决能量分布问题。sPL1b2Lf1f219.2.1单缝夫琅禾费衍射的实验装置19.2

单缝夫琅禾费衍射19.2.2菲涅耳半波带法（衍射角：向上为正，向下为负。）衍射角衍射角夫琅禾费单缝衍射（衍射角：向上为正，向下为负。）衍射角衍射角夫琅禾费单缝衍射考察衍射角θ

=0的这组平行光所有衍射光线从缝面AB到会聚点O的光程差均为０，因而在Ｏ点处光振动始终相互加强。O点呈现明纹，因处于屏中央，称为中央明纹。Ｏ波面上AB两处子波源发出的光线到达P点的光程差：是这组平行的衍射光之间的最大光程差。衍射角θ

不为零的这组平行光衍射角衍射角用/2分割BC，过等分点作BC的平行线〔实际上是平面〕，等分点将BC等分。——将单缝分割成数个窄条带〔半波带〕。每个完整的窄条带称为菲涅尔半波带。Ｏ缝长衍射角Ｏ缝长特点:这些半波带的面积相等，可以认为各个波带上的子波数目彼此相等〔即光强是一样的〕。相邻半波带对应点发出的平行光线，到达P点的光程差均为λ/2，相位差为π

。相邻两半波带上各对应点发出的子波到达P点的光振动相互抵消。相邻半波带对应点发出的光线到达P点的光程差为λ/2，相位差为π。到达P点的光振动相互抵消。那么P处成为暗纹。如果衍射角θ

满足：可将波阵面AB划分为2个半波带：AA1

、A1B

缝长衍射角Ｏ缝长如果衍射角θ

满足相邻半波带AA1、A1A2〔或A1A2、A2B〕的衍射光在P点相消，剩下一个半波带的振动没有被抵消。可将波阵面AB划分为3个半波带。屏上P点的振动就是这个半波带在该点引起的振动的合成，于是屏上出现亮点，即呈现明纹。半波带半波带半波带半波带半波带半波带ql2l2l2qb奇当m明为数时得纹半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带不能被分成整数个半波带的方向等得非明非暗半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带半波带l2l2l2l2qb当m偶得纹为数时暗qq干涉相消（暗纹）干涉加强（明纹）

2k个半波带个半波带中央明纹中心（介于明暗之间）分割成偶数个半波带，分割成奇数个半波带，P点为暗纹。P点为明纹。结论：波面AB光强分布干涉相消（暗纹）干涉加强（明纹）当θ

增加时，半波带数增加，未被抵消的半波带面积减少，所以光强变小；思考？当θ

增加时，为什么光强的极大值迅速衰减？可见，单缝衍射光强集中在中央零级明条纹处。各级明纹的光强比为：衍射角衍射角Ｏ19.2.3单缝夫琅禾费衍射的条纹分布１、条纹的位置暗纹中心位置：明纹中心位置：衍射角衍射角Ｏ〔1〕暗纹位置第一级暗纹有两条，对称分布屏幕中央两侧。其它各级暗纹也是两条，对称分布。第一级明纹有两条，对称分布屏幕中央两侧。其它各级明纹也两条，对称分布。〔2〕明纹位置Ｏ2、单缝衍射明纹宽度角宽度：相邻两暗纹中心对应的衍射角之差。线宽度：观察屏上相邻两暗纹中心的间距。1〕中央明纹宽度中央明纹区域：中央明纹半角宽度：衍射角一般都非常小，有由暗纹条件：中央明纹角宽度：中央明纹线宽度：2、单缝衍射明纹宽度Ｏ２〕其它明纹的宽度除中央明纹以外，衍射条纹平行等距。其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。第k级明纹角宽度：第k级明纹线宽度：ＯＯ2、单缝衍射明纹宽度角宽度：相邻两暗纹中心对应的衍射角之差。线宽度：观察屏上相邻两暗纹中心的间距。1〕衍射现象明显。衍射现象不明显。2〕几何光学是波动光学在时的极限情况讨论：当或时会出现明显的衍射现象。结论：〔第k级明纹线宽度〕

单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？越大，越大，衍射效应越明显。

入射波长变化，衍射效应如何变化？4〕单缝衍射的动态变化单缝上移，零级明纹仍在透镜光轴上。单缝上下移动，根据透镜成像原理衍射图不变。衍射条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。该衍射图样称为衍射光谱。3〕白光入射时的衍射条纹5〕入射光非垂直入射时光程差的计算〔中央明纹向下移动〕〔中央明纹向上移动〕光的干预与衍射一样，本质上都是光波相干叠加的结果。一般来说，干预是指有限个分立的光束的相干叠加；衍射那么是连续的无限个子波的相干叠加。干预强调的是不同光束相互影响而形成相长或相消的现象；衍射强调的是光线偏离直线而进入阴影区域。干预与衍射的本质第一级暗纹例：波长为500nm的平行光垂直照射一个单缝。一级暗纹的衍射角θ1=30˚，求：缝宽。解：解：例：波长为500nm的平行光垂直照射一个单缝。假设缝宽0.5mm，透镜焦距1m。求：中央明纹角、线宽度；1、2级暗纹的距离。例：前例，离中心x=3.5mm处的P点为一亮纹，求：其级数；此时狭缝可分割成几个半波带？解：当k=3时，最大光程差为：狭缝处波阵面可分成7个半波带。例：假设有一波长为=600nm的单色平行光，垂直入射到缝宽a=0.6mm的单缝上，缝后有一焦距f=40cm透镜。试求：1〕屏上中央明纹的宽度；2〕假设在屏上P点观察到一明纹，op=1.4mm。问：P点处是第几级明纹，对P点而言狭缝处波面可分成几个半波带？解：1〕两个第一级暗纹中心间的距离，即为中央明纹的宽度：2〕对于单缝：Δx=λf/b假设缝宽大，条纹亮，但条纹宽度小，不易分辨。假设缝宽小，条纹宽度大，但条纹暗，也不易分辨。因而，利用单缝衍射不能精确地进行测量。问题：能否得到亮度大、分得开、宽度窄的明条纹？结论：利用光栅衍射所形成的衍射图样——光栅光谱应用：1〕利用光栅衍射可精确地测量光的波长；2〕光栅是重要的光学元件，广泛应用于物理、化学、天文、地质等根底学科和近代生产技术的许多部门。d种类：19.3.1衍射光栅由许多等宽度、等间距的平行狭缝排列起来形成的光学元件。透射光栅反射光栅它是夫琅禾费于1821年左右创造的。19.3

光栅衍射光盘的凹槽形成一个反射光栅，在白光下能观察到入射光被别离成彩色光谱。不透明透明ab光栅常数:数量级为：10-5~10-6md如果玻璃片上１cm宽度上刻有8000条刻痕，那么光栅常数为：？单缝衍射中的狭缝平移时，观察屏上的衍射把戏是一样的。19.3.2光栅衍射条纹１、原理分析平行单色光垂直照射在有Ｎ个透光缝的光栅上。衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。衍射角衍射角光栅衍射图样的特点：明条纹细又亮，相邻明纹间的暗区宽，衍射条纹十分清晰。光栅！光栅的每个缝都有衍射，Ｎ条缝的衍射条纹在屏幕上完全重合。当N条缝轮流开放时，观察屏上的衍射把戏是一样的。光栅！假设从这N条缝发出的衍射光彼此不相干，当这N条缝同时开放时，屏上的像仍与单缝开放时一样，只是亮度按比例增大了N倍。光栅衍射是每个单缝衍射和各缝干预的综合效果。然而，光栅上的这N条缝发出的衍射光是相干的，缝与缝的衍射光之间还要发生干预效应。

光栅衍射图样是由来自每一个单缝上许多子波以及来自各单缝对应的子波彼此相干叠加而形成。光栅！屏上合光强=单缝衍射光强×缝间干预光强首先将来自同一缝不同部分的光束在叠加。然后再将这N个合成的振动再叠加一次。N

缝就得到N个合成的振动。这样处理是将多缝衍射过程区分成两个分过程：通过每个缝的光束都发生衍射——单元衍射。每个单缝间的光束将发生干预——元间干预。用振幅矢量合成法来分析光栅衍射条纹的规律。当平行光垂直照射在光栅上时，两两相邻光线的光程差都相同。相邻的子光源在P点引起的振动的位相差为：这样，N个子光源在P点引起的振动便是N个振幅相等，频率相同，相邻两个振动位相依次相差的简谐振动的合成。相邻两缝发出的衍射光，到达相聚点的相位相同，明纹条件〔光栅方程〕干预相长，其光强具有极大值，屏上呈现明纹。多缝干预明纹也称为主极大明纹，k为主极大极次。当时，〔光栅方程〕即：主极大光强由于最大为1，主极大条纹的光强很大，该处光振幅是每个缝发出的光线到相聚点的光振幅的Ｎ倍。所以，多缝干预明纹的光强很强，且是等光强的。的整数部分屏上可见的主极大条纹的最大级次：主极大光强〔光栅方程〕干预相消，屏上呈现暗纹。暗纹条件在两个相邻的主极大间，共有〔N-1〕个极小。相邻主极大之间有〔N-2〕个次极大。即时，当时，即N个相邻相位差为

的矢量，首尾相连构成一个闭合多边形。极小：3次明纹：2N=4极小：1次明纹：0N=2极小：5次明纹：4N=6不同缝数光栅的多缝干预光强示意图Ｎ较大时OI在两个相邻的主极大间，共有N-1

个极小。相邻主极大之间有N-2

个次极大。次极大光强很弱，仅为主极大光强的4%。在研究光栅问题时，主要研究主极大明纹。OI总结：主极大的位置由光栅方程决定，光栅的总缝数决定了主极大光强以及条纹的细锐程度。2、单缝衍射和缝间干预的共同结果几种缝的光栅衍射只考虑每个单缝衍射的效果。整个光栅衍射时的光强分布如下图。光栅衍射条纹是每个单缝衍射和各缝干预的综合效果。单缝衍射光强曲线光栅衍射光强曲线oO

单缝中央主极大光强

单缝衍射因子

多光束干涉因子可以证明：屏上合光强=单缝衍射光强×多缝干预光强单缝衍射光强分布多光束干预光强分布o光栅衍射光强曲线123-1-2-34812-4-8-124812-4-8-12o由于单缝衍射效应，在不同方向上，衍射光的强度不同。光栅衍射的不同位置处的明条纹，是来源于不同光强的衍射光的干预加强。在单缝衍射光强大的地方，光栅衍射明纹的光强也大；在单缝衍射光强小的地方，光栅衍射明纹的光强也小；在单缝衍射光强为0的地方，光栅衍射明纹的光强也为0。多缝干预主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光强大小不同。当多缝干预的主极大位置，恰好与单缝衍射暗纹位置重合时，本应出现主极大的明纹就不出现，该处成了暗纹。这种现象称为缺级现象。缺级现象：缺级条件:所缺级次为：如缺级缺级那么：那么：光栅方程oo123-1-2-34812-4-8-124812-4-8-12谱线中第±４、±8、±12…级条纹缺级。缺级条件:入射光为白光时，不同，不同，按波长分开形成光谱。一级光谱二级光谱三级光谱衍射光谱※对同级明纹，波长较长的光波衍射角较大。例如：二级光谱重叠局部光谱范围二级光谱重叠部分:一级光谱二级光谱三级光谱连续光谱：炽热物体光谱线状光谱：钠盐、分立明线带状光谱：分子光谱光谱分析由于不同元素〔或化合物〕各有自己特定的光谱，所以由谱线的成分，可分析出发光物质所含的元素或化合物；还可从谱线的强度定量分析出元素的含量。1〕dsin1=k,dsin2=(k+1)=10=6×10-6m2〕因第4级缺级，由缺级公式：=4，取k

=1(因a最小)最小缝宽为：a=d/4

=1.5×10-6

m例：波长=600nm的单色平行光垂直照射光栅，发现两相邻的主极大分别出现在sin1=0.2和sin2=0.3处，第4级缺级。求：1〕光栅常数；2〕最小缝宽；3〕屏上实际呈现的全部级次和亮纹条数。解：光栅常数为：由光栅方程：

dsin

=k

最大k

对应

=90°，于是

kmax=d/=10屏上实际呈现：0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9共8级，15条亮纹〔±10在无穷远处，看不见〕。3〕求屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。缺级：d=6×10-6ma=1.5×10-6m例：用波长为λ=590nm的钠黄光垂直照射在光栅上，该光栅在1mm内刻有500条刻痕。在光栅的焦平面上放一焦距为f=20cm的凸透镜。求：1〕第一级与第三级光谱线之间的距离；2〕最多能看到第几级光谱？解：1〕光栅常数为：由于θ很小，代入上式得：把不同的k值代入：2〕取整，即垂直入射时，最多能看到第三级光谱。能看到的最大级次对应：例：用波长为λ=590nm的钠黄光垂直照射在光栅上，该光栅在1mm内刻有500条刻痕。在光栅的焦平面上放一焦距为f=20cm的凸透镜。求：1〕第一级与第三级光谱线之间的距离；2〕最多能看到第几级光谱？3〕入射线与衍射线同侧时：取整，最多能看到第五级光谱。例：用波长为λ=590nm的钠黄光垂直照射在光栅上，该光栅在1mm内刻有500条刻痕。在光栅的焦平面上放一焦距为f=20cm的凸透镜。求：3〕光线以300角入射时，最多能看到哪几条光谱？3〕例：用波长为λ=590nm的钠黄光垂直照射在光栅上，该光栅在1mm内刻有500条刻痕。在光栅的焦平面上放一焦距为f=20cm的凸透镜。求：3〕光线以300角入射时，最多能看到哪几条光谱？取整，只能看到第一级光谱。即共可看到-1、0、1、2、3、4、5七条光谱线。入射线与衍射线异侧时：当

=-90o

时当

=90o

时例：波长为480nm的单色平行光，照射在每毫米内有600条刻痕的平面透射光栅上。求：1〕光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱？2〕光线以30o入射角入射时，最多能看到第几级光谱？解：〔1〕〔2〕(2)斜入射时，可得到更高级次的光谱，提高分辨率。(1)斜入射级次分布不对称。(3)垂直入射和斜入射相比，完整级次数不变。(4)垂直入射和斜入射相比，缺级级次相同。上题中垂直入射级数斜入射级数说明例：

1=440nm，

2=660nm同时垂直入射在一光栅上，第二次重合于θ=600方向，求：光栅常数。解：第二次重合k1=6，k2=4重合时：19.4.1圆孔夫琅和费衍射平行光通过圆孔经透镜会聚，照射在焦平面处的屏幕上，也会形成衍射图样。衍射图样是一组同心的明暗相间的圆环，中央处是一个亮圆斑。中央明区集中了衍射光能的83.5%爱里斑19.4

光学仪器的分辨率圆孔衍射光强分布10夫琅禾费圆孔衍射光强分布*爱里斑第一暗环所围成的中央光斑称为爱里斑。第一暗环对应的衍射角称为爱里斑的半角宽，经圆孔衍射后，一个点光源对应一个爱里斑。：艾里斑直径按照波动光学的观点，透镜相当于一个圆孔，由于衍射的存在，一个物点通过透镜所成的像，不是一个几何点像，而是一个有一定大小的爱里斑。大多数光学仪器所用透镜的边缘都是圆形，圆孔的夫琅和费衍射对成象质量有直接影响。一一对应几何光学:

物点像点一一对应波动光学:物点像斑二、光学仪器的分辨本领光学仪器对点物成像，是一个有一定大小的爱里斑。两个物点通过透镜所成的像，就是两个爱里斑。瑞利给出恰可分辨两个物点的判据。假设两物点距离很近，对应的两个爱里斑可能局部重叠而不易分辨。S1S2光学仪器对点物成像，是一个有一定大小的爱里斑。

1、瑞利判据对于两个强度相等的不相干的点光源(物点)，一个点光源的衍射图样的主极大刚好和另一点光源衍射图样的第一极小相重合，这时两个点光源〔或物点〕恰为这一光学仪器所分辨。**2、光学仪器的分辨本领〔两光点刚好能分辨〕光学仪器的通光孔径满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器所能分辨的最小距离。此时，两个物点对透镜中心所张的角，称为最小分辨角。光学仪器分辨率光学仪器的最小分辨角越小，分辨率就越高。提高光学仪器分辨本领的两条基本途径是加大成像系统的通光孔径采用较短的工作波长对望远镜，不变，尽量增大透镜孔径D，以提高分辨率。一般天文望远镜的口径都很大，世界上最大的天文望远镜在智利，直径16米，由4片透镜组成。

对显微镜，主要通过减小波长来提高分辨率。电子显微镜用加速的电子束代替光束，其波长约0.1nm，用它来观察分子结构。荣获1986年诺贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小分辨距离已达0.01Å，能观察到单个原子的运动图像。

提高光学仪器分辨本领的两条根本途径：1990年发射的哈勃太空望远镜的凹面物镜的直径为2.4m，最小分辨角，在大气层外615km高空绕地运行,可观察130亿光年远的太空深处,发现了500亿个星系。解〔1〕〔2〕例：设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm，而在可见光中，人眼最敏感的波长为550nm，问：

（1）人眼的最小分辨角有多大？（2）若物体放在距人眼25cm（明视距离）处，则两物点间距为多大时才能被分辨？眼睛的最小分辨角为设人离车的距离为S时，恰能分辨这两盏灯。取解：d=120cmS由题意有观察者在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120cm，设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm，入射光波为550nm。例：人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？求：德国实验物理学家，1895年发现了X射线，并将其公布于世。历史上第一张X射线照片，就是伦琴拍摄他夫人的手的照片。由于X射线的发现具有重大的理论意义和实用价值，伦琴于1901年获得首届诺贝尔物理学奖。伦琴〔W.K.Rontgen，1845-1923〕19.5X射线的衍射劳厄（M.V.Laue，1879-1960）

德国物理学家，发现X射线的衍射现象，从而判定X射线的本质是高频电磁波。1914年，他因此获得诺贝尔物理学奖。布拉格父子（W.L.Bragg，子、W.H.Bragg，父）英国物理学家，在利用X射线研究晶体结构方面作出了巨大的贡献，奠定了X射线谱学及X射线结构分析的基础。他们因此而于1915年共同获得诺贝尔物理学奖。1895年伦琴发现，高速电子撞击金属时，会产生一种人眼看不见，却能使照相底片感光，且穿透性很强的射线，称为Ｘ