人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第30讲 拓展一：指数函数+对数函数综合应用（含解析）

第08讲拓展一：指数函数+对数函数综合应用（定义域+值域+奇偶性+单调性）题型01指数（型）函数的值域（最值）【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0的值域为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，由复合函数的单调性可得，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0恒成立，所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高一假期作业）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在零点，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有交点，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有交点，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例3】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知SKIPIF1<0，若对SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，因为对SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的子集，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0故选：D【典例4】（2023·全国·高一假期作业）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）是偶函数．(1)求实数a的值；(2)求函数SKIPIF1<0的值域．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，所以对SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（当SKIPIF1<0时取等号），则SKIPIF1<0，所以所求函数为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·高一专题练习）函数SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】依题意，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A.【变式2】（2023·全国·高一假期作业）求函数SKIPIF1<0，在定义域A上的值域.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是单调减函数∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是单调减函数，在SKIPIF1<0是单调增函数∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在定义域A上的值域为SKIPIF1<0【变式3】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的值域为．【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，换元得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.题型02指数（型）函数的单调性【典例1】（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0均单调递减的一个充要条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0；因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均单调递减，可得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均单调递减的一个充要条件是SKIPIF1<0.故选：A【典例2】（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）已知函数SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图象是由SKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位得到，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为偶函数，且当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，且关于SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例3】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）已知定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0是奇函数.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)若存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）因为函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0将SKIPIF1<0代入，解得SKIPIF1<0，经检验符合题意，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知：函数SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数.因为存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立，又因为函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，所以不等式可转化为SKIPIF1<0，又因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，题意可知：问题等价转化为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·河北沧州·高二统考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】∵函数SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵函数SKIPIF1<0单调递减，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：A．【变式2】（2023春·河北·高二校联考期末）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列各式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】根据题意，SKIPIF1<0，其定义域为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为偶函数，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为增函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上也是增函数，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上为增函数，当SKIPIF1<0时，在区间SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为减函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上为增函数，综合可得：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上为增函数，依次分析选项：对于A，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，A正确；对于B，有SKIPIF1<0，B错误；对于C，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，C错误；对于D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D错误．故选：A．【变式3】（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数SKIPIF1<0为奇函数．(1)求实数SKIPIF1<0的值；(2)求不等式SKIPIF1<0的解集．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）（1）因为SKIPIF1<0为奇函数，定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，经检验，符合题意．（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）知：因为SKIPIF1<0在R上递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以不等式的解集是SKIPIF1<0.题型03指数型函数的奇偶性【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0不恒为0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（2023·全国·高一假期作业）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0【详解】要使SKIPIF1<0为奇函数，∵SKIPIF1<0,∴需SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．故答案为：1.【变式1】（2023春·河南洛阳·高一统考期末）已知SKIPIF1<0是偶函数，则a=（

）A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】A【详解】根据偶函数的定义：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：A【变式2】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）若函数SKIPIF1<0为奇函数，则实数SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为函数SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0题型04对数（型）函数的定义域【典例1】（2023春·海南海口·高一海口一中校考期中）函数SKIPIF1<0的定义域为.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函数的定义域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023·高一课时练习）已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的定义域；(2)求使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）要使函数有意义，需满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故选：D.【变式2】（2023·上海松江·校考模拟预测）函数SKIPIF1<0的定义域为.【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型05对数（型）函数的值域（最值）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的值域的子集，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为1，故选：B【典例3】（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中学校联考期中）函数SKIPIF1<0的值域为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以函数的值域为：SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【典例4】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数SKIPIF1<0．(1)判断并证明函数SKIPIF1<0的奇偶性；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立．求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由函数SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，关于原点对称．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数；（2）SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值域包含SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：B【变式2】（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0的最大值与最小值的差为2，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．3 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为单调递增函数，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【变式3】（2023春·江苏南通·高二统考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值域.【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0为奇函数，理由如下：由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的奇函数.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；方法一：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0；方法二：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.【变式4】（2023秋·高一单元测试）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．【答案】(1)见解析；(2)SKIPIF1<0﹒【详解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数的定义域SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0．（2）由题设及(1)知：当SKIPIF1<0时，函数有最小值，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．题型06对数（型）函数的单调性【典例1】（2023·全国·高一假期作业）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的单调增区间为.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，综上，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，而SKIPIF1<0在定义域上递增，所以SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023春·河南南阳·高二统考期末）若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由题意可得需满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；经检验当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，符合题意；由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，综合以上可得SKIPIF1<0，故选：C【典例3】（2023春·福建福州·高二校联考期末）若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，且开口向上，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，由外层函数SKIPIF1<0是其定义域内单调递增，所以要使函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D．【变式1】（2023春·江苏南京·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】函数SKIPIF1<0可看作函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的复合函数，又函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，而函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则有函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0恒成立，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D.【变式2】（2023春·河北承德·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的定义域；(2)求不等式SKIPIF1<0的解集．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0．因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF