专题24多面体的外接球半径常见求法（教师版）

专题24：多面体的外接球半径常见求法<<<专题综述>>><<<专题综述>>>球作为特殊的旋转体，不仅在数学中，而且在物理学地理学中都是经常研究的对象，如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，多面体的与外接球直接的关系如何，球心的位置如何寻求呢？<<<专题探究>>><<<专题探究>>>题型题型一：寻求轴截面圆半径法该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.例1(2021·全国甲卷理科)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为(

)A.212 B.312 C.24【思路点拨】先确定△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，然后在Rt△ABC和Rt△AOO1【规范解析】解：因为AC⊥BC，AC=BC=1，所以△ABC为等腰直角三角形，

所以△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，所以OO1⊥平面ABC，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=2，则AO1=练1(2022·湖南省湘潭市模拟·多选)如图，已知圆锥顶点为P，其轴截面△PAB是边长为6的为正三角形，O1为底面的圆心，EF为圆O1的一条直径，球O内切于圆锥(与圆锥底面和侧面均相切)，点Q是球O与圆锥侧面的交线上一动点，则(

)A.圆锥的表面积是45π

B.球O的体积是43π

C.四棱锥Q-AEBF体积的最大值为93

D.【思路点拨】设截面圆圆心为O2，根据题意得出球O的半径|OO1|=3，

|【规范解析】

解：依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为O2，连接P如图，正△PAB内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心O2都在线段PO1上，

连接OQ，O2Q，PO1=33，

则球O的半径OO1=3，

显然OQ⊥PQ，O2Q⊥PO，∠POQ=60∘，OO2=12OQ=32，O2Q=32OQ=32，O1O2=332，

对于A，圆锥的表面积是S=π×32+π×3×6=27π，所以A错误；

对于B，球O的体积是V=4π3×(3)3=43故选：BCD．题型二：题型二：确定球心位置法此类题一般考虑球心、截面圆圆心的连线与截面垂直，再借助等式R=r2+例2(2022·湖南省长沙市模拟)已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点,且平面PBC⊥平面ABC，BC=3,PB=22,PC=5,则三棱锥P-ABC【思路点拨】由O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，可得球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理、正弦定理即可得外接球半径【规范解析】解：因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，

过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，

根据球的性质，球心一定在垂线l上，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，

在△PBC中，由余弦定理得cos∠PBC=PB2+BC2-PC22BP⋅BC=22，

则sin∠PBC=22，

设球O1练2(2022·广东省中山市模拟)已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上,AB=3,BC=4,CD=1，AD=26，AC=5，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，则球O的体积为

．【思路点拨】由题意画出图形，取AC的中点O，证明O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，求出半径，再由球的体积公式求解．【规范解析】解：取AC的中点O，AD中点H，连接OH，OB，OD，PH，

∵AB=3，BC=4，CD=1，AD=26，AC=5，

∴AD2+CD2=AC2，AB2+BC2=AC2，

则AD⊥CD，AB⊥BC，∴O到A，B，C，D的距离相等，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，

CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，

∵O，H分别为AC，AD的中点，∴OH//CD，

∴OH⊥平面PAD，又PA⊥PD，∴O到P、A、D的距离相等．

∴O练3(2022·湖北省武汉市联考)一边长为4的正方形ABCD，M为AB的中点，将△AMD,△BMC分别沿MD,MC折起，使MA,MB重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为__________．【思路点拨】先根据已知图象定出外接球的球心位置，然后通过勾股定理求解出四面体的外接球的半径，从而可求球的表面积．【规范解析】解：将折叠后的几何体(图一)旋转成(图二)如图所示，

由图可知，四面体A-CDM中，MA⊥AD，MA⊥AC且AD∩AC=A，AD，AC⊂平面ADC，

所以MA⊥平面ADC，

将图形旋转得如图所示的三棱锥M-ACD，且△ACD是边长为4的正三角形，

设其外心为E，过E作EF⊥平面ADC，垂足为E，过M作MF⊥EF，垂足为F，

则可得四边形AEFM为矩形，则EF的中点O满足OM=OA=OD=OC，即O为外接球的球心，

△ACD中由正弦定理可知，4sin60∘=2EC，所以EC=433，

Rt△OCE中，OE=12MA=1，OC=R，EC=43题型三：题型三：补形法此类题多数补成长方体，再利用长方体的对角线等于外接球的直径求出；若补成三棱柱，可利用等式R=r2+例3(2022·湖北省武汉市模拟)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1已知AA1=BB1=CC1=DD该四棱台外接球的体积为

．【思路点拨】先求出侧面等腰梯形的面积即可求出棱台的表面积；设AC∩BD=O，A1C1【规范解析】解：在等腰梯形DCC1D1中，过C1作C1H⊥DC，垂足为H，易求CH=12，C1H=72，

则四棱台的表面积为S=S上底+S下底+S侧=1+4+4×(1+2)2×72=5+3则SO=6，则OO1=则外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1上，

由于OO1=62，B1O1=22，则OB1=2=OB，即点O到点B与到点B1的距离相等，

同理O到A，A1练4(2023·浙江省温州市模拟)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=23，则该球的表面积为(

)A.8π B.16π C.32π D.36π【思路点拨】由题意把P-ABC扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积．【规范解析】解：由题意画出几何体的图形如下图：把P-ABC扩展为三棱柱，

上下底面中心连线EF的中点O与A的距离为球的半径，

PA=2AB=23，OE=3，△ABC是正三角形，∴AB=3，

∴AE=23AB2-1题型四：题型四：坐标法由球心与多面体所有顶点的距离都是球半径，建立适当的空间直角坐标系进而求出外接球半径R.例4(2022·四川省广安二中四模)直角△ABC中，AB=2，BC=1，D是斜边AC上的一动点，沿BD将△ABD翻折到△A'BD，使二面角A'-BD-C为直二面角，当线段A'C的长度最小时，四面体A'BCD的外接球的表面积为(

)A.13π4 B.21π5 C.13π【思路点拨】过点A'作A'H⊥BD交BD延长线于H，过点C作CM⊥BD交BD于M，再作NH//CM，CN//MH，使得CN与HN交于点N，得到A'C=5-2sin2θ≥3，当且仅当θ=π4时等号成立，再根据题意，以H为坐标原点，以HB，HN【规范解析】解：根据题意，图1的直角三角形沿BD将△ABD翻折到△A'BD使二面角A'-BD-C为直二面角，

所以，过点A'作A'H⊥BD交BD延长线于H，过点C作CM⊥BD交BD于M，

再作NH//CM，CN//MH，使得CN与HN交于点N，

所以，由二面角A'-BD-C为直二面角可得CM⊥A'H，

设∠ABD=θ，θ∈[0,π2]，即∠A'BD=θ，则∠CBD=π2-θ，

因为AB=2，BC=1，所以A'B=2，BC=1，

所以，在Rt△A'BH中，A'H=2sinθ，BH=2cosθ，

在Rt△BCM中，BM=cos(π2-θ)=sinθ,CM=sin(π2-θ)=cosθ，

所以MH=BH-BM=2cosθ-sinθ，

所以A'C=A'H2+MH2+CM2=5-4sinθcosθ故以H为坐标原点，以

HB,HN,HA'的方向为正方向建立空间直角坐标系，

则A'(0,0,2),B(2,0,0),C(22,22,0),D(23,0,0)，

所以，设四面体A'BCD的外接球的球心为O(x,y,z)，

则A'O=OB，OB=OC，OC=OD，

即x2+练5(2022·山西省太原市一模)如图①，在Rt△ABC中，C=π2，AC=BC=2，D,E分别为AC,AB的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DEA．2π B．23π C．26【思路点拨】由题意可知CD、DA、DE两两垂直,以D进而利用坐标法求球心坐标.【规范解析】依题意CD⊥DE，A1D⊥DE，A1D∩DC=D，A所以DE⊥平面A1DC，又如图建立空间直角坐标系，则D0,0,0、C1,0,0、E0,1,0、B1,2,0、依题意△DCE为直角三角形，所以△DCE的外接圆的圆心在CE的中点12设外接球的球心为M12,12即R=1解得m=0，所以R=2所以外接球的体积V=4故选：B<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.(2022·湖北省高三开学考试)在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠PAB，AC=2AB=4，PA=PB=2，BC=23，则三棱锥P-A．22π B．26π C．64π3 D．【解析】PA2+PB2在△PAC中，根据余弦定理得，PC∴PB2+P又PA∩PC=P，PA,PC⊂平面PAC，∴PB⊥平面故可将三棱锥BAPC补为直三棱柱BA则直三棱柱BA1C1设△PAC外接圆圆心为O2，△A1则直三棱柱的外接球球心为O1O2中点O在△PAC中，根据正弦定理可得2O2∴OA∴外接球表面积为：4π⋅故选：A．2.(2022·浙江省金华市模拟)设三棱柱ABC-A1B∠BAC=120∘,AA1A.46π B.35π C.43π D.39π【解析】由题意设底面△ABC外接圆的圆心为点O'，外接圆的半径为r，三棱柱ABC-A1B在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120∘，

由余弦定理得由正弦定理得BCsin∠BAC=2332=4=2r，所以r=2．由题意得R2=r2+(3.(2023·湖北省咸宁市联考)已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=23，AC=AD=4，CD=2，则球O的表面积为(

)A.3π B.13π3 C.1313【解析】如图所示，因为AB⊥平面BCD，且BC，BD⊂平面BCD，

所以AB⊥BC，AB⊥BD，

又因为AB=23，AC=AD=4，可得BC=BD=42-(23)2=2，

由CD=2，所以△BCD为边长为2的等边三角形，△BCD外接圆的圆心为O1，连接OO1，BO1，BO，

则OO1⊥平面BCD，则OO1=12AB=故选:D．4.(2022·山东省潍坊市模拟)《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中，BB1=BC=23，AB=2，AC=4，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑C1-ABC，现将鳖臑C1【解析】解：鳖臑C1-ABC经翻折后，与鳖臑C由已知求得底面三角形A'B1A是边长为4的正三角形，侧棱C1B1⊥底面A'B取C1B1

的中点N，过N作C1B1的垂线，

使两垂线相交于点O，则O为拼接成的几何体的外接球的球心．

B1M=23×23=45.(2022·广东省湛江市联考)在边长为2的菱形ABCD中，BD=23，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B-AC-D的余弦值为13，则所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为

．【解析】依题意在边长为2的菱形ABCD中，BD=23，所以∠ABC=∠ADC=如下图所示，易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．DN⋂BN=N，DN,BN⊂平面BND，所以AC⊥平面BND，所以∠BND是二面角B-AC-D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，由AC⊥平面BND，BO⊂平面BND，所以AC⊥BO，DN⋂AC=N，DN,AC⊂平面ACD，所以BO⊥平面ACD．因为在△BDN中，BN=DN=3所以BD则BD=2．故三棱锥A-BCD为正四面体，由BO⊥平面ACD，所以O为底面▵ACD的重心，所以OD=23DN=23设外接球的半径为R，则R2=OD因此，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为4πR故答案为：6π．6.(2021·广东省湛江市模拟)已知三棱锥P-ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC=2,PB=PC,PA=14，O1为△ABC的外接圆的圆心,cos∠PAO【解析】由题意O1是BC中点，则AO1=2，

因为AB=AC=2，PB=PC，所以BC⊥AO1，BC⊥PO1，

又AO1∩PO1=O1，AO1,PO1⊂平面PAO1，

所以BC⊥平面PAO1，而BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PA因为∠BAC=90∘，所以ABHC是矩形，

取PA中点O，连接OO1，则OO1//PH，从而OO1⊥平面ABC．

O就是三棱锥P-ABC也是四棱锥7.(2022·广东省茂名市模拟)如图所示，三棱锥P-ABC的顶点P、A、B、C都在球O的球面上，且△ABC所在平面截球O于圆O1，AB为圆O1的直径，点P在底面ABC上的射影为点O1，点C为AB的中点，点D为棱BC的中点．若cos∠PDO1=23，点P到底面ABC的距离为7【解析】连接PO1，则外接球的球心O在直线PO1上，如图所示，

因为所以sin∠PDO1=1-cos2∠PDO1=73，tan∠PDO1=sin∠PDO1cos∠PDO1=142，

在Rt△PDO1中，PO1=72，则O1D=PO1tan∠PDO1=72142=22，

因为AB8.(2022·河北省邯郸市模拟)在四面体ABCD中，∠ACB=60​∘，∠DCA=90二面角D-AC-B的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是

．【解析】∵在四面体ABCD中，∠ACB=60°，∠DCA=90°，DC=CB=CA=2，二面角D-AC-B的大小为120°，∴△ABC是等边三角形，AC⊥CD，

取AC中点E，AD中点F，连结EF，BF，B