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文档简介
第05讲4.5.1函数的零点与方程的解课程标准学习目标①了解函数的零点与方程的解的关系,并能结合函数的图象判定函数的零点。②能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定,同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题。通过本节课的学习,要求能判定函数零点的存在,同时能解决与函数零点相结合的综合问题知识点01:函数零点的概念1、函数零点的概念对于一般函数SKIPIF1<0,我们把使SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的零点.几何定义:函数SKIPIF1<0的零点就是方程SKIPIF1<0的实数解,也就是函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴的公共点的横坐标.
这样:方程SKIPIF1<0有实数解SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0有零点SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴有公共点2、已学基本初等函数的零点①一次函数SKIPIF1<0只有一个零点SKIPIF1<0;②反比例函数SKIPIF1<0没有零点;③指数函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)没有零点;④对数函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)只有一个零点1;⑤幂函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,有一个零点0;当SKIPIF1<0时,无零点。知识点02:函数零点存在定理及其应用1、函数零点存在定理如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象是一条连续不断的曲线,且有SKIPIF1<0,那么函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内至少有一个零点,即存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,这个SKIPIF1<0也就是方程SKIPIF1<0的解.说明:定理要求具备两个条件:①函数在区间SKIPIF1<0上的图象是连续不断的;②SKIPIF1<0.两个条件缺一不可.2、函数零点的求法①代数法:根据零点定义,求出方程SKIPIF1<0的实数解;②数形结合法:作出函数图象,利用函数性质求解【即学即练1】(2023春·四川广安·高一校考阶段练习)函数SKIPIF1<0的零点为.【答案】2【详解】令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<03、函数零点个数的判断①利用代数法,求出所有零点;②数形结合,通过作图,找出图象与SKIPIF1<0轴交点的个数;③数形结合,通过分离,将原函数拆分成两个函数,找到两个函数图象交点的个数;④函数零点唯一:函数存在零点+函数单调.知识点03:二次函数的零点问题一元二次方程SKIPIF1<0的实数根也称为函数SKIPIF1<0的零点.当SKIPIF1<0时,一元二次方程SKIPIF1<0的实数根、二次函数SKIPIF1<0的零点之间的关系如下表所示:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的实数根SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)SKIPIF1<0方程无实数根SKIPIF1<0的图象SKIPIF1<0的零点SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数无零点【即学即练2】(2023·高一课时练习)若函数SKIPIF1<0的一个零点是1,则它的另一个零点是.【答案】3【详解】由SKIPIF1<0,所以令SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,故另一个零点为3故答案为:3题型01求函数的零点【典例1】(2023·全国·高三专题练习)函数SKIPIF1<0的零点为.【答案】4【详解】依题意有SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故答案为:4.【典例2】(2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末)已知函数SKIPIF1<0,则函数SKIPIF1<0的零点为.【答案】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,且SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有且仅有一个零点2;综上所述:函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【变式1】(2023春·浙江·高一校联考期中)函数SKIPIF1<0的零点是【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<0.【变式2】(2023·江苏·高一假期作业)求下列函数的零点.(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)9(2)答案见解析【详解】(1)由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0.(2)由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,①当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,函数有唯一零点SKIPIF1<0;②当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,函数有两个零点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.题型02函数零点个数的判断【典例1】(2023·全国·高一假期作业)函数SKIPIF1<0的零点个数为()A.1 B.2C.1或2 D.0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,函数的零点个数为SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,函数的零点个数为SKIPIF1<0.所以该函数的零点个数是1或2.故选:C【典例2】(2023·高一课时练习)方程SKIPIF1<0的实数解的个数是(
)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【详解】在同一直角坐标系中画出函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象,由图象可知:两个函数图象只有一个交点,故方程SKIPIF1<0的实数解的个数为1,故选:B
【典例3】(2023·全国·高三专题练习)已知SKIPIF1<0,方程SKIPIF1<0的实根个数为.【答案】2【详解】由SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,分别作出它们的图象如下图所示,
由图可知,有两个交点,所以方程SKIPIF1<0的实根个数为2.故答案为:2.【典例4】(2023春·山东德州·高二校考阶段练习)若函数SKIPIF1<0,则函数SKIPIF1<0的零点个数是.【答案】2【详解】作出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数图像如图:
由图像可知两函数图像有SKIPIF1<0个交点,所以函数SKIPIF1<0有两个零点.故答案为:SKIPIF1<0【变式1】(2023·全国·高一假期作业)函数SKIPIF1<0的零点的个数是(
)A.0 B.1 C.2 D.无数个【答案】C【详解】令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的零点为1和SKIPIF1<0,故有两个零点,故选:C【变式2】(2023·江苏·高一假期作业)已知函数SKIPIF1<0.(1)作出函数SKIPIF1<0的图象;(2)就a的取值范围讨论函数SKIPIF1<0的零点的个数.【答案】(1)作图见解析(2)答案见解析【详解】(1)先作出SKIPIF1<0的图象,然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方,原x轴上及其上方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象.
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(2)由图象易知,函数SKIPIF1<0的零点的个数就是函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0的交点的个数.SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的零点的个数为0;当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的零点的个数为2;当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的零点的个数为4;当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0的零点的个数为3.【变式3】(2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)若SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0至多有个零点.【答案】4【详解】当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.综上所述,SKIPIF1<0的零点可能是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以,SKIPIF1<0的零点至多有4个.故答案为:4.【变式4】(2023·全国·高三对口高考)函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象的交点个数为个.【答案】2【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图,它们交点个数为2.
故答案为:2.题型03判断函数零点所在的区间【典例1】(2023春·云南楚雄·高一统考期末)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解,则SKIPIF1<0(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为函数SKIPIF1<0在定义上单调递增,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0的零点所在区间是SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.故选:C.【典例2】(2023春·天津红桥·高二统考学业考试)设SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的解,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可知SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解,所以SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,再根据SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<0.【变式1】(2023秋·重庆长寿·高一统考期末)函数SKIPIF1<0的零点所在区间是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【详解】易知函数定义域为SKIPIF1<0,且函数SKIPIF1<0单调递增,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0上没有零点;SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由零点存在定理可知SKIPIF1<0,所以零点所在区间是SKIPIF1<0.故选:D【变式2】(2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末)函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则k的值为(
)A.1 B.2 C.0 D.3【答案】A【详解】解:因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故选:A题型04已知零点个数求参数的取值范围【典例1】(2023·全国·高一假期作业)若方程SKIPIF1<0有两个不同的实数根,则实数SKIPIF1<0的取值范围为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【详解】令SKIPIF1<0,由于当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,作出函数SKIPIF1<0的图象如图所示,则当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个交点,即方程SKIPIF1<0有两个不同的实数根,SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选:C.【典例2】(2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测)设SKIPIF1<0表示m,n中的较小数.若函数SKIPIF1<0至少有3个零点,则实数SKIPIF1<0的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意可得SKIPIF1<0有解,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,必有SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,必有SKIPIF1<0,不等式组无解,综上所述,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选:A【典例3】(2023·高一课时练习)若函数SKIPIF1<0有2个零点,求实数a的取值范围.【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,画出SKIPIF1<0的大致图象如下:由图象可知:当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个交点,符合题意,故a的取值范围为SKIPIF1<0,
【典例4】(2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习)已知函数SKIPIF1<0是偶函数.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式;(2)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调,求实数a的取值范围;(3)已知SKIPIF1<0,试讨论SKIPIF1<0的零点个数,并求对应的m的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(3)答案见解析【详解】(1)设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0为偶函数∴SKIPIF1<0综上,有SKIPIF1<0(2)由(1)作出SKIPIF1<0的图像如图:因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上具有单调性,由图可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(3)由(1)作出SKIPIF1<0的图像如图:由图像可知:当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0有两个零点;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0有四个零点;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0有六个零点;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0有三个零点;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0没有零点.【变式1】(2023·北京·高三专题练习)设SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0恰有一个零点,则SKIPIF1<0的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【详解】画出函数SKIPIF1<0的图象如下图所示:函数SKIPIF1<0可由SKIPIF1<0分段平移得到,易知当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0恰有一个零点,满足题意;当SKIPIF1<0时,代表图象往上平移,显然没有零点,不符合题意;当SKIPIF1<0时,图象往下平移,当SKIPIF1<0时,函数有两个零点;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0恰有一个零点,满足题意,即SKIPIF1<0;综上可得SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选:D【变式2】(多选)(2023·全国·高三专题练习)已知函数SKIPIF1<0,若关于x的方程SKIPIF1<0恰有两个互异的实数解,则实数a的值可以是(
)A.0 B.1 C.SKIPIF1<0 D.2【答案】BCD【详解】函数SKIPIF1<0的图象,如图所示:由题意知,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有2个交点.当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.结合图象如图可知,当SKIPIF1<0时,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有2个交点,如图所示:又当直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切在第一象限时,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象也有2个交点,如图所示:SKIPIF1<0,化简可得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,又由图可知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,此时切点的横坐标为2符合.综上,实数a的取值范围是SKIPIF1<0.故选:BCD.【变式3】(2023·全国·高一假期作业)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有且只有一个零点,则SKIPIF1<0的取值集合是.【答案】SKIPIF1<0【详解】
由已知得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.由二次函数图象及函数零点存在定理可知,该函数在SKIPIF1<0内只有一个零点,只需SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【变式4】(2023·高一课时练习)已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数.(1)求SKIPIF1<0的值;(2)画出SKIPIF1<0的图象,并指出其单调减区间;(3)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有2个不相等的实数根,求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)作图见解析;答案见解析(3)SKIPIF1<0【详解】(1)因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0;(2)由(1)得SKIPIF1<0,列表:SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<001234…SKIPIF1<0…521252125…描点连线得图象如图所示:由图象可得单调减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0;(3)因为关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有2个不相等的实数根,所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点,由(2)中的图可知SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.题型05已知零点所在区间求参数的取值范围【典例1】(2023春·河南信阳·高一统考期末)函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在零点,则实数SKIPIF1<0的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【详解】由零点存在定理可知,若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在零点,显然函数为增函数,只需满足SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选:D【典例2】(多选)(2023秋·高一单元测试)函数SKIPIF1<0的一个零点在区间SKIPIF1<0内,则实数a的可能取值是(
)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】BC【详解】因为函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上单调递增,所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,由函数SKIPIF1<0的一个零点在区间SKIPIF1<0内,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故选:BC【典例3】(2023·全国·高三专题练习)设SKIPIF1<0为实数,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点,则实数SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增,且有零点,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<0【变式1】(2023·高一课时练习)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恰有一个零点,则a的取值范围(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0只有一个零点SKIPIF1<0,不符合题意,当SKIPIF1<0时,若SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0只有一个零点SKIPIF1<0,不符合题意,因函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恰有一个零点,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以a的取值范围是SKIPIF1<0.故选:A【变式2】(2023春·上海青浦·高一统考开学考试)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解,则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解,等价于函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有交点,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0【变式3】(2023秋·湖北襄阳·高一统考期末)若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有零点,则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意得:SKIPIF1<0为连续函数,且在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增,故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以只需SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0题型06二次函数的零点问题【典例1】(2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末)已知函数SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的取值范围为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0开口向上,对称轴为SKIPIF1<0,要想满足SKIPIF1<0,则要SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0.故选:B【典例2】(2023·高一课时练习)方程SKIPIF1<0的一根大于1,一根小于1,则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】∵方程SKIPIF1<0的一根大于1,另一根小于1,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【典例3】(2023·江苏·高一假期作业)(1)判断二次函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是否存在零点;(2)若二次函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的两个零点均为正数,求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)存在;(2)SKIPIF1<0【详解】(1)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以二次函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内存在零点.(2)因为二次函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的两个零点均为正数,所以二次SKIPIF1<0SKIPIF1<0有两个正实数根.设为SKIPIF1<0,由一元二次方程的根与系数的关系得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.【变式1】(2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测)已知关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0,SKIPIF1<0存在两个不同的实根,则实数SKIPIF1<0的取值范围为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可得,SKIPIF1<0即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有2个不同的解,设SKIPIF1<0,根据双勾函数的性质可知,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减,SKIPIF1<0单调递增,且SKIPIF1<0,要使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有2个不同的解,则SKIPIF1<0,故选:D.【变式2】(2023·高一课时练习)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有解,则实数SKIPIF1<0的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有解,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选:A.【变式3】(2023·江苏·高一假期作业)已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)若该函数有两个不相等的正零点,求SKIPIF1<0的取值范围;(2)若该函数有两个零点,一个大于1,另一个小于1,求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】(1)因为二次函数SKIPIF1<0有两个不相等的正零点,且对称轴SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(2)因为二次函数SKIPIF1<0有两个零点,一个大于1,另一个小于1,所以SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.题型07函数与方程综合【典例1】(2023秋·高一单元测试)已知函数SKIPIF1<0,常数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是奇函数,求SKIPIF1<0的值;(2)若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有且仅有一个零点,求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】(1)①若SKIPIF1<0有定义,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0符合题意;②若SKIPIF1<0无定义,则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,不关于原点对称,故SKIPIF1<0不是奇函数,不符合题意.综上,SKIPIF1<0.(2)当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍),所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有且仅有一个零点,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.【典例2】(2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试)已知函数SKIPIF1<0(1)证明:函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减;(2)讨论关于x的方程SKIPIF1<0的实数解的个数.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【详解】(1)任取SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.(2)关于x的方程SKIPIF1<0的实数解的个数,等价于函数SKIPIF1<0与常函数SKIPIF1<0的交点个数,由(1)可得:SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,结合(1)可得:函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,在SKIPIF1<0上单调递增,故SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,故函数SKIPIF1<0的图像如图所示:可得函数SKIPIF1<0的图像如图所示:对于函数SKIPIF1<0与常函数SKIPIF1<0的交点个数,则有:当SKIPIF1<0时,交点个数为0个;当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,交点个数为2个;当SKIPIF1<0时,交点个数为3个;当SKIPIF1<0时,交点个数为4个.【变式1】(2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末)已知函数SKIPIF1<0为奇函数.(1)求实数a的值;(2)若方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上无解,求实数m的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】(1)若函数SKIPIF1<0为奇函数,即SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.(2)由(1)可得:SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,构建SKIPIF1<0,对SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0,故方程SKIPIF1<0无解,则实数m的取值范围SKIPIF1<0.【变式2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数,且当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴左侧的图象如图所示.(1)求函数SKIPIF1<0的解析式;(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个不相等的实数根,求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】(1)由图象知:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的偶函数,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;综上所述:SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0为偶函数,SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0轴对称,可得SKIPIF1<0图象如下图所示,SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个不相等的实数根,等价于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个不同的交点,由图象可知:SKIPIF1<0,即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1.(2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试)已知函数SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的零点所在的区间为(
).A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以由零点存在性定理知,SKIPIF1<0的零点所在的区间为SKIPIF1<0.故选:B.2.(2023·全国·高一假期作业)已知方程SKIPIF1<0的解在SKIPIF1<0内,则SKIPIF1<0(
)A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【详解】令函数SKIPIF1<0,显然函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,而SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因此函数SKIPIF1<0的零点SKIPIF1<0,所以方程SKIPIF1<0的解在SKIPIF1<0内,即SKIPIF1<0.故选:C3.(2023·江苏·高一假期作业)已知函数SKIPIF1<0的两个零点都大于2,则实数m的取值范围是()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为二次函数图象的开口向上,对称轴SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0的两个零点都大于2,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故选:C4.(2023·高一课时练习)已知二次函数SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内的零点情况是(
)A.有两个零点 B.有唯一零点 C.没有零点 D.不确定【答案】C【详解】因为函数SKIPIF1<0开口向下,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内没有零点.故选:C5.(2023春·山东聊城·高二统考期末)已知函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的零点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象交点的横坐标,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象交点的横坐标,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象交点的横坐标,分别作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象,则由图象可得SKIPIF1<0,
因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,所以SKIPIF1<0,故选:B6.(2023春·浙江温州·高二统考学业考试)设实数a为常数,则函数SKIPIF1<0存在零点的充分必要条件是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为函数SKIPIF1<0存在零点,等价于方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在零点,注意到SKIPIF1<0的图像开口向上,对称轴为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,故上述条件等价于SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.所以函数SKIPIF1<0存在零点的充分必要条件是SKIPIF1<0.故选:A.7.(2023春·江苏南通·高二统考期末)已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0有五个零点,则实数SKIPIF1<0的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【详解】当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故问题转为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0共有四个零点,画出函数图象如下可知:则SKIPIF1<0,故选:D
8.(2023春·河南驻马店·高一河南省驻马店高级中学校考阶段练习)享有“数学王子”称号的德国数学家高斯,是近代数学奠基者之一,SKIPIF1<0被称为“高斯函数”,其中SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数,例如:SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的零点,则SKIPIF1<0(
)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【详解】因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则存在唯一零点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,由高斯函数的定义可知,SKIPIF1<0.故选:B.二、多选题9.(2023·全国·高一假期作业)函数SKIPIF1<0的零点可以是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】CD【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的零点是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,故选:CD10.(2023·高一课时练习)设SKIPIF1<0为定义在R上的奇函数,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0为常数),则(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF
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