人教A版高中数学必修第二册同步讲义第20讲 复数的三角形式（原卷版）

第20讲复数的三角形式目标导航目标导航课程标准课标解读1.掌握复数的三角形式,并能与代数形式进行相互转化;2.掌握复数的三角形式的运算法则和运算律并能熟练应用复数的代数形式化为三角形式;复数的三角形式的运算法则和运算律的应用知识精讲知识精讲知识点01复数的三角形式1.复数的辅角：设复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）对应向量SKIPIF1<0，以x轴的正半轴为始边，向量SKIPIF1<0所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数SKIPIF1<0的辐角，记作ArgSKIPIF1<0，其中适合SKIPIF1<0的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作SKIPIF1<0．说明：（1）不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍，即ArgSKIPIF1<0=SKIPIF1<0+argSKIPIF1<0．（2）当a∈R+时，arga=0，arg（-a）=π，argai=SKIPIF1<0，arg（-ai）=SKIPIF1<0，arg0不一定。【即学即练1】设函数SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知识点02复数的三角形式r(cosθ＋isinθ)叫做复数SKIPIF1<0的三角形式，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．定义本身告诉我们复数的三角形式和代数形式可以互化。【即学即练2】复数SKIPIF1<0的三角形式是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A知识点03复数三角形式的运算：设SKIPIF1<0=r(cosθ＋isinθ)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(cosθ1＋isinθ1)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(cosθ2＋isinθ2)．则（1）乘法：SKIPIF1<0（向量的旋转与伸缩）（2）除法：SKIPIF1<0（3）乘方：SKIPIF1<0（4）开方：SKIPIF1<0，其几何意义：复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点。【即学即练2】欧拉公式SKIPIF1<0是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0能力拓展能力拓展考法01【典例1】设复数z的辐角的主值为SKIPIF1<0，虚部为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式训练】在复平面内，复数SKIPIF1<0（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考法02辐角主值【典例2】复数SKIPIF1<0的辐角主值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式训练】复数SKIPIF1<0的辐角主值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考法03复数三角形式应用【典例3】欧拉公式SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位，SKIPIF1<0）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．SKIPIF1<0的虚部为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的共轭复数为SKIPIF1<0【变式训练】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0分层提分分层提分题组A基础过关练一、单选题1．已知复数z满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．复数SKIPIF1<0在复平面内对应向量SKIPIF1<0的坐标为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知复数满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），则SKIPIF1<0的共轭复数的模是（）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的实部为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题8．已知非零复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点分别为SKIPIF1<0为坐标原点，则（）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<09．下列说法中正确的有（）A．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），则复数SKIPIF1<0在复平面内所对应的点在第四象限；B．已知复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），则复数SKIPIF1<0在复平面内所对应的点在第三象限；C．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰或直角三角形；D．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰三角形.10．已知复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均为实数），下列说法正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的虚部为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题11．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为虚数单位，若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的二次方程SKIPIF1<0的一个虚根，则SKIPIF1<0______．四、解答题12．已知复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点分别为SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求a的值；(2)若复数SKIPIF1<0对应的点在第一、三象限的角平分线上，求a的值．题组B能力提升练一、多选题1．欧拉公式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为虚数单位，SKIPIF1<0）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．复数SKIPIF1<0对应的点位于第三象限 B．SKIPIF1<0为纯虚数C．复数SKIPIF1<0的模等于SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的共轭复数为SKIPIF1<02．设复数SKIPIF1<0，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．z是方程SKIPIF1<0的一个根 D．满足SKIPIF1<0最小正整数n为33．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位，SKIPIF1<0为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．以下不是复数SKIPIF1<0的三角形式是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如果非零复数z有一个辐角为SKIPIF1<0，那么下列对z判断错误的是（）A．辐角唯一 B．辐角主值唯一C．辐角主值为SKIPIF1<0 D．辐角主值为SKIPIF1<06．欧拉公式SKIPIF1<0（其中i为虚数单位，SKIPIF1<0）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．复数SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0为纯虚数C．复数SKIPIF1<0的模长等于SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）A．对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0在复平面内对应的点在第一象限C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<08．下列关于复数z的运算结论，正确的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．任何一个复数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，i为虚数单位）都可以表示成：SKIPIF1<0的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：SKIPIF1<0，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，若n为偶数，则复数SKIPIF1<0为纯虚数10．已知复数SKIPIF1<0，则下列关于复数z的结论中正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．复数z是方程SKIPIF1<0的一个根D．复数SKIPIF1<0的辐角主值为SKIPIF1<0题组C培优拔尖练一、单选题1．复数SKIPIF1<0的值是（）A．SKIPIF1<0 B．16 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．设复数SKIPIF1<0在复平面上对应向量SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0按顺时针方向旋转SKIPIF1<0后得到向量SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0对应的复数为SKIPIF1<0的辐角主值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题3．若SKIPIF1<0是虚数单位，复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是_____．4．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0是实系数一元二次方程SKIPIF1<0的一个根，则SKIPIF1<0______．三、解答题5．在复平面内，设复数SKIPIF1<0对应向量SKIPIF1<0，它的共轭复数SKIPIF1<0对应向量SKIPIF1<0．(1)若复数SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一个虚根，求出实数SKIPIF1<0的取值范围，并用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0点满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0所对应的复