人教A版高中数学必修第二册同步讲义第03讲 平面向量的减法运算（原卷版）

第3课平面向量的加法运算目标导航目标导航课程标准课标解读1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算．1、通过阅读课本在向量加法的基础上，理解向量减法与数量减法的异同，并学会有加法理解减法的运算与意义，提升数学运算能力.2、熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在减法运算的题目中灵活的作两个向量的加法与减法两种运算.3、在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法，减法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法与减法的运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广.知识精讲知识精讲知识点01相反向量1．定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.2．性质(1)零向量的相反向量仍是零向量．(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【即学即练1】如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.反思感悟求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．知识点02向量的减法1．定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的向量，求两个向量的运算，叫做向量的减法．2．减法法则：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如图所示．3．几何意义：如果把两个向量的放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为，被减向量的终点为的向量．【即学即练2】（1）[多选]下列各向量运算的结果与eq\o(AC,\s\up6(→))相等的有()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)) D.eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))(2)化简下列各式：①eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))；②(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))．知识点03用已知向量表示其他向量【即学即练3】如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))及eq\o(CE,\s\up6(→)).反思感悟用已知向量表示其他向量的步骤(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．能力拓展能力拓展考法01向量减法法则【典例1】1．在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上任一点，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式训练】已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.考法02向量减法的运算律【典例2】化简SKIPIF1<0______．反思感悟(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和．②起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．【变式训练】1．（多选）下列能化简为SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．空间任意四点A、B、C、D，则SKIPIF1<0________．考法03向量减法的几何意义与应用【典例3】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试用向量SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【变式训练】1．如图所示，单位圆上有动点A，B，当SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0等于（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．22．如图，等腰梯形ABCD中，SKIPIF1<0，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0分层提分分层提分题组A基础过关练1．在SKIPIF1<0中，点D在BC边上，且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可用基底SKIPIF1<0表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上一点，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．下列化简结果错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．下列说法错误的是（

）A．若SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0C．互为相反向量的两个向量模相等D．SKIPIF1<05．SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（多选）化简以下各式，结果为SKIPIF1<0的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（多选）给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．若线段SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0B．若向量SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0C．若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则线段SKIPIF1<0D．若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向共线，则SKIPIF1<09．已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.10．已知SKIPIF1<0为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.11．如图所示，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0是该平行四边形外一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试用向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0.12．已知点SKIPIF1<0是平行四边形SKIPIF1<0内一点，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及SKIPIF1<0．题组B能力提升练1．在平行四边形ABCD中，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．-SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．0.6 B．0.8 C．0.4 D．0.53．（多选）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，下列计算错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（多选）在平行四边形SKIPIF1<0中，下列结论中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知非零向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________.6．如图所示，中心为O的正八边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．（结果用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示）7．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值为________________．8．在三角形ABC中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______9．已知SKIPIF1<0的对角线AC和BD相交于点O，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝________，SKIPIF1<0＝________．(用SKIPIF1<0表示)10．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试以SKIPIF1<0为基底表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.题组C培优拔尖练1．已知正六边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．

八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中SKIPIF1<0，则给出下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．其中正确的结论为（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．（多选）已知SKIPIF1<0是平面内两两不相等的向量，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），则