关于g的群类及群类问题

关于g的群类及群类问题

如果只有一个子群h是g，则称为h。金石（x）h，即金石（x）=ch（x）。显然，g是其自身的cc-子群。我们称g是其自身的cc-子群。因此，在本规范中，对于具有未知cc-子群的有限组进行了研究。文献研究了具有三个cc-子群亚组的有限组，并将其分类为cc-子群的有限组。文献研究了具有cc-子群亚组的有限组。然而，很难对包含cc-子群的无限组进行完整分类。本文主要探讨一类含有CC-子群的无限群.我们发现不存在无限的局部有限群,其含有CC-子群,但是它的每一个真子群都不含有真的CC-子群.因此让我们感兴趣的是:是否存在无限的局部有限群G,其含有CC-子群,但是每一个无限真子群都不含有真的CC-子群?我们发现这类群是存在的,而且其每一个无限真子群都是阿贝尔群.引理1设G是可除阿贝尔p-群.则G存在阶为q的自同构的充要条件是G的秩大于或者等于q-1,其中p,q是素数.引理2设G是局部有限群.若存在g∈G使得CG(g)是有限的,则G是几乎局部可解群,即G存在指数有限的局部可解子群.下面的引理3是Frobenius定理在局部有限群上的推广.引理3设G是局部有限群,M≤G,且对任意g∈G-M有M∩Mg=1.令N=(G−∪g∈GMg)∪{1}Ν=(G-∪g∈GΜg)∪{1},则G=MN且N⊲¯¯¯GΝ⊲¯G,显然M∩N=1.含有CC-子群,但是其每一个真子群都不含有CC-子群的有限群是存在的,如pq阶的非阿贝尔群.下面探讨满足类似条件的局部有限群.定理1设G是局部有限群,若G存在CC-子群,但是其每一个真子群都不含有CC-子群,则G是阶小于或者等于pq-1的初等阿贝尔p-群被q阶循环群的扩张.证设N是局部有限群G的CC-子群,任取x∈N,y∈G-N,令子群H=〈x,y〉,则易得H∩N是H的CC-子群,且H∩N是H的真子群.因此G=H是有限群.显然N是极大子群.若N是正规子群,任取a∈G-N,则G=N〈a〉.易得〈a〉∩N=1,因此不妨设a是q阶元,q是素数.又因〈a〉通过共轭作用是N的一个无不动点的自同构,故N是幂零群,且N是特征单群,从而可得N是初等阿贝尔p-群,p是素数.对任意1≠b∈N,显然〈b〉G=N,而bbaba2…bap-1∈Z(G)∩N,于是1=bbaba2…bap-1,即|N|≤pq-1.若N不是正规子群,则对任意g∈G-N,有N∩Ng=1,故G是以N为Frobenius补的Frobenius群.设G的核为F,显然F也是G的CC-子群,因此G存在正规的极大CC-子群.类似上面的讨论,G是阶小于或者等于pq-1的初等阿贝尔p-群被q阶循环群的扩张.定理1表明不存在无限的局部有限群,其存在CC-子群,但是其每一个真子群不含有CC-子群.因此很自然地就会想到探讨一个无限的局部有限群,其存在CC-子群,但是其每一个无限真子群都不含有CC-子群.定理2设G是局部有限群,若G存在CC-子群,但是其每一个无限真子群都不含有CC-子群,则G是秩为q-1的可除阿贝尔p-群N被q阶循环群〈x〉的扩张,其中p,q是互不相同的素数,且G的每一个无限真子群都是阿贝尔群.证首先将证明G中一定存在无限的正规CC-子群.设N是G的CC-子群.若N是有限群,则对N中任意非单位元x有|CG(x)|=|CN(x)|≤|N|≤∞.因此由引理2,G中存在指数有限的正规子群M.易得M∩N=1,否则可得M∩N是M的CC-子群,而M是无限子群,矛盾.从而得到G=MN且M∩N=1.N通过共轭作用在M上是一个无不动点的自同构.因此可得M也是CC-子群.若N是无限群,同理,对任意g∈G-N,若有N∩Ng≠1,则N∩Ng是N的CC-子群.因此N∩Ng=1或者N∩Ng=N.若对任意g∈G-N有N∩Ng=1,则G中存在正规子群M,使得G=MN,且M是CC-子群且满足M∩N=1.因此易得M是无限子群.若存在g∈G-N,有N∩Ng=N,即G=〈g〉N,显然N⊲¯¯¯G.Ν⊲¯G.上面的讨论表明G中一定存在无限的正规CC-子群N.设x∈G-N,则〈x〉∩N=1.因此不妨假设x是阶为q的元,q是一个素数,则G=N〈x〉,且〈x〉通过共轭作用是N的一个q阶无不动点的自同构.设H是N的任意有限子群,令K=〈H,Hx,…,Hxq-1〉,则K是N的有限子群,且Kx=K.由此〈x〉是K的一个q阶无不动点的自同构.若q=2,显然K是阿贝尔群;若q≥3,由文献,K是幂零群且cl(K)≤(q−1)2q−1−1q−2(Κ)≤(q-1)2q-1-1q-2.由H的任意性,可得N是幂零群且cl(N)≤(q−1)2q−1−1q−2.(Ν)≤(q-1)2q-1-1q-2.显然在N中不存在无限的真子群是特征子群,否则假设N0是N中的无限的特征真子群,则N0是N0〈x〉的CC-子群,矛盾.因此易得N是p-群,且换位子群|N′|<∞.若|N′|≠1,则存在a∉Z(N),但是|N∶CN(a)|<∞,即|G∶CN(a)|<∞.令L=CN(a),从而易得|G∶LG|<∞,其中LG是L在群G中的核,显然LG是LG〈x〉的CC-子群.故N′=1,即N是阿贝尔群.令N的特征子群Ω1(N)=〈n|np=1,n∈N〉.若|Ω1(N)|=∞,则Ω1(N)是Ω1(N)〈x〉的CC-子群,即N=Ω1(N).此时易得N中存在一个G的指数有限的正规子群A,则类似可得G=A〈x〉,矛盾.故|Ω1(N)|<∞.于是N=D×F,其中D是秩有限的可除阿贝尔p-群,F是有限p-群.又D是N的特征子群,故F=1.即N=D是可除阿贝尔p-群.又对任意n∈N有nnxnx2…nxq-1∈Z(G),因此nnxnx2…nxq-1=1,即n-1∈〈nx,…,nxq-1〉,从而可得N是秩小于或者等于q-1的可除阿贝尔p-群,又由引理1,N是秩等于q-1的可除阿贝尔p-群.又若q=p,则〈Ω1(N),x〉是有限p-群,因此易得存在1≠n0∈Ω1(N)∩Z(G),这与N是C