古典概型的教学体会

古典概型的教学体会

经典素描是第一位提出概率统计的问题，也是最简单的实验模型。它有两个特点：一是基本事件总数有限，二是各个基本事件出现的可能性相等。在古典概型中如果事件A是由全部n个基本事件中的某k个基本事件组成的，则概率P(A)可以如下计算：由于古典概型的计算公式相对简单，可能会使初学者对于它的学习重视不够，领会不透，加之有的概率统计教材对于如何掌握古典概型未能充分地说明，这些教材仅仅在介绍了古典概型的定义式之后只是列举了几个例题一带而过，致使目前的古典概型的教学效果不尽理想。本文结合教学实践，浅谈古典概型的教学体会。以作为抛砖引玉与教学同行商讨。一、计算古典风格的原则为了正确地求解古典概型问题，应遵循以下原则：1、符合三种类型的古典概型对于古典概型问题所建立的样本空间，在计算n与k时，要求都用排列数，或者都用组合数，二者必须保持一致。许多表面上提法不同的古典概型问题，实际上可以大致归并为三类，每一类都具有典型的意义：第一类是抽球问题，如产品质量的抽样检查就属于这种类型；第二类是分房问题，如班级学生过生日问题便属于这一类型；第三类是组数问题，即从m个自然数中抽取少数几个数组成符合条件的多位数问题。对于上述三种类型的古典概型，求n与k时通常的解法是这样：抽球问题一般用组合数，而分房问题与组数问题都是用排列数。当然，同一个问题用组合数求出的n及k与用排列数计算的结果一般是不一致的，但它们的比值必定是相同的。2、求取概率的注意事项在求解古典概型问题时，当审明题意并明晰样本空间与有利事件A的构成之后，针对问题的类型，要求准确无误地计算出n与k，具体说应做到以下几点：(1)求n与k既不重复又不遗漏,(2)书写的求概率的事件与问题的要求应完全一致，(3)计算与化简过程应保持恒等变形，(4）当计算结果准确值系分数时不一定非得用小数表示。教学中应当向学生强调：要准确地计算n与k，关键在于如何根据问题的条件区分两个不同的基本事件，只有这样才能计算出该随机试验中所有不同基本事件总数以及事件A所包含的基本事件数。3、改换用多题一解、一题多解古典概型的求概公式虽然简单，但是怎样简便地计算有时却是富有技巧性的。例如：建立的样本空间应当尽可能地简明直观，当事件A的构成较为复杂而事件A軍相对简单时,常用公式P(A)=1-P(A軍)来计算P(A),当条件许可时，可以改换用二项分布或其它概型进行分析处理，以使计算简捷，等等。由此可见，当教师在讲授古典概型问题求解方法时，适当地向学生说明多题一解与一题多解，这对于启迪学生思维，提高分析问题与解决问题的能力是有益的。例1:一枚硬币连掷3次，求既出现正面又出现反面的概率。分析问题,建立样本空间设Ai表示第i次出现正面，i=1、2、3A：正反面都有样本空间:解法（一）：解法（二）：解法（三）：改用二项式分布计算，设X表示三次中出现的正面数，则例2:将2封信随机地投入3个信箱,求第一个信箱恰有一封信的概率。解法（一）：用古典概型计算解法（二）：改用二项分布求解每一封信放入第一个信箱概率为P=1/3，记X为投入第1个信箱的信件数，X～B(2,1/3)二、计算错误的后果人们在求解古典概率问题时，如果违背了上述解题原则，便会得出错误的结果。有时即使结果错了也一时找不出原因。下面仅举一个典型案例说明这类情况。例3:从4双不同的鞋子中任取4只，求此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率。错解：首先从4双鞋中任取1双，其2只全部取出，然后在剩下的6只鞋中任取2只，于是总的取法为，并且这样取出的4只鞋中可保证至少有两只配成一双，故所求的概率为上述求解思路似乎没有问题，但它与正确答案相比竟高出3/35，相对误差达11.11%。错解的原因就在于计算K时，出现了重复违背了准确性。下面我们来揭示错解的过程。我们用A、B、C、D代表4双不同鞋子，左脚记下标1，右脚记下标2，将上述解题的分子项所有可能情况排列于下：假如先取第1双，然后从余下的6只中任取2只，按C62计算所有可能的取法，图示如下：若先取定的是第2双：若先取出的是第3双：若先取出的是第4双：相对于先取定第一双鞋A1A2，从余下的鞋子中任取2只共有C62种取法，相对于先取定第二双鞋子B1B2，从余下的鞋子中任取2只，也有C62种取法，但其中有一种取法与前面相同；相对于先取定第三双鞋子C1C2，从余下的鞋子中任取2只，也有C62种取法