有限群的结构和交换子群的中心化子和正规化子

有限群的结构和交换子群的中心化子和正规化子

交换组的中心化子和正规化子对有限组的结构有非常重要的影响。现在有很多研究。例如，zasenhaush证明，g的每个交换组a都具有g（a）=ng（a），g是交换的。陈崇穆在《理论》0.3中证明，当每个交换组p-p的正规化子对应于中心化子时，g是交换的。当存在p-sylp（g）时，当cg（p）=ng（p）时，g是零。miyamot模型证明，g的每个交换组a都具有ng（a）、cg（a）ut（a）的完整分类。李世荣在中提供了一组有限的a-c（a）或cg（a）ut（a）的完整分类。杜妮证明，如果每个极小组x的十个元素中有一个g（x）=ng（x），则g是2-封闭的。李世荣在中指定每个交换组a，包括：。本文给出了若干由交换子群的中心化子或正规化子满足某些条件所确定的有限群的结构描述.文中所使用的符号G=[N]H表示G是N与H的半直积,Nᐊ-G.其他符号都是标准的,同.本文所讨论的群都是有限群.2交换子群的关系定义2.1称群G为A-群,若G可解且其每个Sylow子群均交换.定义2.2设G是有限群,H≤G,称H为G的反正规子群,若∀g∈G,有g∈〈H,Hg〉.引理2.1设有限群G的每个真子群均p-幂零,但G非p-幂零,则1)G的每个真子群幂零;2)|G|=paqb,其中p,q为互异素数,a,b均为正整数;3)Pᐊ-G,其中P∈Sylp(G),且若p>2,exp(P)=p,若p=2,exp(P)≤4;4)Q循环,其中Q∈Sylq(G).引理2.2设G为有限群,若对G的每个循环子群A恒有Aᐊ-G,则G为交换群或Hamilton群.证明若G非交换,设H为G的任一子群,由假设∀x∈H,〈x〉ᐊ-G,从而Hᐊ-G,由H的任意性,G为Hamilton群.引理2.3设G为有限群,A为G的极大交换子群,则A=CG(A).证明若CG(A)>A,取x∈CG(A)A,令B=〈x,A〉,则B交换且B>A,矛盾于A的选取,故A=CG(A).引理2.4(,第4章,定理2.7)设G为幂零群,若H<G,则H<NG(H).引理2.5(,第2章,定理5.4)设G为有限群,P∈Sylp(G),若CG(P)=NG(P),则G为p-幂零.引理2.6设G为有限群,且对每个交换子群H均有CG(H)=NG(H)或Hᐊ-G,设A为F(G)的极大交换子群,则Aᐊ-G.证明反证.若A不正规于G,由假设CG(A)=NG(A),所以NF(G)(A)=CF(G)(A),又A为F(G)的极大交换子群,由引理2.3,CF(G)(A)=A,从而NF(G)(A)=A,由引理2.4,A=F(G),于是Aᐊ-G,矛盾.引理2.7设G幂零,且对每个交换子群A均有CG(A)=NG(A)或Aᐊ-G,则对G的每个非交换子群H,Hᐊ-G.证明若存在H的极大交换子群A不正规于G,由假设CG(A)=NG(A),从而NH(A)=CH(A)=A,由引理2.4,H=A交换,矛盾,故H的每个极大交换子群均正规于G,从而Hᐊ-G.引理2.8(,第2章,定理5.5)设p为|G|的最小素因子,P∈Sylp(G),若P循环,则G有正规p-补.引理2.9设G为有限群,H≤G,若H在G中反正规,则NG(H)=H.证明若H在G中反正规,则∀g∈G,有g∈〈H,Hg〉,取g∈NG(H),即推出NG(H)=H.引理2.10设G为幂零群,若对每个非循环子群的极大交换子群H均有CG(H)=NG(H)或Hᐊ-G,则对G的每个非交换子群K,Kᐊ-G.证明设H为K的任一极大交换子群,若CG(H)=NG(H),则H=CK(H)=NK(H),由引理2.4,K=H交换,矛盾,故K的每个极大交换子群均正规于G,从而Κ⊲-G.引理2.11(,第5章,定理6.2)设有限群G的所有Sylow子群皆为循环群,若G交换,则G为循环群;若G非交换,则G为由下列定义关系确定的亚循环群:G=〈a,b〉,am=bn=1,b-1ab=ar,((r-1)n,m)=1,rn≡1(modm),|G|=nm.引理2.12(,第3章,定理6.7)设G是有限内循环群,则G只有下列三种互不同构的类型:1)G≅Zp×Zp;2)G为8阶四元数群;3)G=〈a,b〉,ap=1,bqm=1,b-1ab=ar,其中p,q为互异素数,m,r为正整数,且r≢1(modp),rq≡1(modp)引理2.13设G为有限群,若对G的每个非循环Sylow子群的极大交换子群P均有CG(P)=NG(P),则G有超可解型Sylow塔.证明令|G|=pα11pα22…pαss,p1<p2<…<ps,αi≥1,i=1,2,…,s.对s进行归纳,s=1时,显然成立.故设s>1,p1为|G|的最小素因子,设P1∈Sylp1(G),若P1循环,由引理2.8,G有正规p1-补;若P1非循环,设P11为P1的极大交换子群,由假设CG(P11)=NG(P11),所以P11=CP1(P11)=NP1(P11),由引理2.4,P1=P11,所以CG(P1)=NG(P1),由引理2.5,G为p1-幂零,由此,可假设G1为正规p1-补.G1ᐊ-G,|G1|=pα22…pαss,由归纳假设,G1有超可解型Sylow塔,令G1>G2>…>Gs=1为其Sylow塔群,Gi-1=Pi…Ps,|Gi-1/Gi|=pαii,且Gi-1ᐊ-G1,其中Pi∈Sylpi(G),i=2,…,s.又因为(|Gi-1|,|G1/Gi-1|)=1,所以Gi-1charG1,从而Gi-1ᐊ-G,i=2,…,s,故G有超可解型Sylow塔.引理2.14设G为内超可解群,则1)G=PM,P∈Sylp(G),Pᐊ-G,M超可解,P/Φ(P)为G/Φ(G)的极小正规子群,且P非循环.2)若p>2,exp(P)=p;若p=2,exp(P)≤4,此时G为内幂零群.3)当P为abel群时,P为初等abel群.4)当P为非abel群时,Φ(P)=Z(P)=P′.5)存在x∈P\Φ(P),使得〈x〉不正规于G.3n、n/ai交换及非亚交换群定理3.1令G为有限群,若G的每个非正规交换子群A均满足CG(A)=NG(A),那么G是导长不超过3的可解群,G′幂零,且G=[N]H,其中H为交换Hall-子群,N为下列群之一:(a)交换群;(b)类2亚交换群;(c)类3亚交换群;(d)类3非亚交换群.证明1)设P∈Syl2(G).若Pᐊ-G,则G为2-闭,G/P可解,从而G可解.若P不正规于G,则必存在P的极大交换子群P1不正规于G,由假设CG(P1)=NG(P1),由引理2.3,P1=CP(P1)=NP(P1),由引理2.4,P=P1,所以CG(P)=NG(P),由引理2.5,G为2-幂零,设H为正规2-补,H可解,又G/H≅P,G/H可解,故G可解.下证G′幂零.由G可解,令G=[N]K,其中N=〈Pi∈Sylpi(G)|Piᐊ-G〉,K=〈Pj∈Sylpj(G)|Pj不正规于G〉.显然N幂零,下证K交换.若Pj不正规于G,则存在Pj的极大交换子群Pj1不正规于G,由假设CG(Pj1)=NG(Pj1),所以Pj1=CPj(Pj1)=NPj(Pj1),由引理2.4,Pj=Pj1,故CG(Pj)=NG(Pj),从而CK(Pj)=NK(Pj),由引理2.5,K为pj-幂零,由pj的任意性,K为幂零,从而K交换.又G/N≅K,所以G′≤N,故G′幂零.2)由G可解,令G=[N]H,其中N=〈Pi∈Sylpi(G)|Piᐊ-G〉,H=〈Pj∈Sylpj(G)|Pj不正规于G〉.N幂零,由1)知H交换.显然N亦满足定理条件,设A1,A2,…,An为N的所有极大交换子群.若N非交换,由引理2.6,Aiᐊ-N,i=1,2,…,n.∀1<K/Ai≤N/Ai,则K非交换,由引理2.7,Kᐊ-N.所以∀K/Ai≤N/Ai,K/Aiᐊ-N/Ai,故N/Ai为交换群或Hamilton群,i=1,2,…,n.(a)∀Ai,N/Ai均交换.由于1<N/Z(N)=N/∩Ai,又N/∩Ai同构于(N/A1)×(N/A2)×…×(N/An)的一个子群,所以N/Z(N)交换,此时N为类2亚交换群.(b)∀Ai,N/Ai不全为交换.设N/Ai交换,N/Aj为Hamilton群,i≠j.由于N/Ai交换,所以N′≤Ai,故N为亚交换.又N/Aj为Hamilton群,类为2,所以N3Aj/Aj=[N/Aj,N/Aj,N/Aj]=1,其中N3=[N,N,N],故N3≤Aj.又N3≤N′≤Ai,由i和j的任意性,有N3≤∩Ai=Z(N).所以N4=[N3,N]=1.但N3≠1,若N3=1,则N′≤Z(N)=∩Ai,从而∀Ai,N/Ai交换,矛盾.此时N为类3亚交换群.(c)∀Ai,N/Ai均为Hamilton群.N/Ai类为2,故N3Ai/Ai=[N/Ai,N/Ai,N/Ai]=1,故N3≤Ai.所以1<N3≤∩Ai=Z(N).又N4=[N3,N],所以N4=1,N幂零类为3,但N非亚交换.否则,N′交换,存在Ai,使N′≤Ai,则N/Ai交换,矛盾.此时N为类3非亚交换群.3)由2)知,G=[N]H,其中H交换,N幂零,且N4=1,又G/N≅H,所以G/N交换,G′≤N,G(2)≤N′=N2,从而G(3)≤N(2)=[N2,N2]≤N4.故G(3)=1.证毕.注11)交换群、Hamilton群、内交换群、对称群S3、交错群A4均满足定理3.1条件,但An(n≥5)和Sn(n≥4)不满足定理3.1条件.2)定理3.1中的群G不一定超可解,例如交错群A4满足定理条件,但A4非超可解.定理3.2令G为有限群,若G的每个非正规循环子群A均反正规,那么G是导长不超过3的可解群,G′幂零,且G=[N]H,其中H为循环Hall-子群,N为循环群或交换群或Hamilton群.证明1)先证G可解.设P∈Syl2(G),若Pᐊ-G,则G为2-闭,G/P可解,从而G可解.若P不正规于G,则存在x∈P,使得〈x〉不正规于G,由假设〈x〉在G中反正规,由引理2.9,〈x〉=NG(〈x〉),从而〈x〉=NP(〈x〉).由引理2.4,P=〈x〉.所以P=CG(P)=NG(P),由引理2.5,G为2-幂零,设H为正规2-补,H可解,又G/H≅P,故G可解.下证G′幂零,令G=[N]H,其中N=〈Pi∈Sylpi(G)|Piᐊ-G〉,H=〈Pj∈Sylpj(G)|Pj不正规于G〉.显然N幂零.对于H,Pj不正规于G,则存在x∈Pj,使得〈x〉不正规于G,由假设〈x〉在G中反正规,由引理2.9,〈x〉=NG(〈x〉),从而〈x〉=NPj(〈x〉),由引理2.4,Pj=〈x〉,所以NG(Pj)=CG(Pj),CH(Pj)=NH(Pj),由引理2.5,H为pj-幂零,由pj的任意性,H幂零,从而H循环.又G/N≅H,所以G′≤N,故G′幂零.2)由1)知G=[N],H,N幂零,H为循环Hall-子群.对于N,若N中存在循环子群〈x〉不正规于G,则〈x〉在G中反正规,所以〈x〉=NG(〈x〉),从而〈x〉=NN(〈x〉),由引理2.4,N=〈x〉,此时G=[N],H为亚循环群.否则,N中的所有循环子群都正规于G,由引理2.2,N为交换群或Hamilton群.3)由2)知,G=[N],H,其中H循环,N幂零,且N3=1,其中N3=[N,N,N],又G/N≅H,所以G/N循环,G′≤N,G(2)≤N′=N2,从而G(3)≤N(2)=[N2,N2]≤N4≤N3=1.故G(3)=1.证毕.注2由于Hamilton群的每个循环子群都是正规的,故Hamilton群满足定理3.2条件.定理3.3令G为有限群,若G的每个非循环子群的极大交换子群K均满足CG(K)=NG(K)或Kᐊ-G,那么G可解;且G=[N],H,其中H为A-群且有超可解型Sylow塔,N为下列群之一:(a)循环群;(b)交换群;(c)类2亚交换群;(d)类3亚交换群;(e)类3非亚交换群.证明1)先证G可解,设P∈Syl2(G),若P循环,由引理2.8,G为2-幂零,设K为正规2-补,K可解,又G/K≅P,故G可解.下设P不循环,若Pᐊ-G,则G为2-闭,G/P可解,从而G可解.若P不正规于G,则必存在P的极大交换子群P1不正规于G,由假设CG(P1)=NG(P1),由引理2.3,P1=CP(P1)=NP(P1),由引理2.4,P=P1,所以CG(P)=NG(P),由引理2.5,G为2-幂零,故G可解.2)由G可解,令G=[N],H,其中N=〈Pi∈Sylpi(G)|Piᐊ-G〉,H=〈Pj∈Sylpj(G)|Pj不正规于G〉.显然N幂零.对于H,∀Pj∈Sylpj(H),若Pj非循环,由于Pj不正规于G,则存在Pj的极大交换子群Pj1不正规于G,由假设CG(Pj1)=NG(Pj1),所以Pj1=CPj(Pj1)=NPj(Pj1),所以Pj=Pj1,Pj交换,由Pj的任意性知H为A-群,且由引理2.13知H有超可解型Sylow塔.对于N,N亦满足定理条件.若N非循环,如果存在N的极大交换子群K,使得CG(K)=NG(K),则K=CN(K)=NN(K),由引理2.4,N=K,N交换.故若N非交换,则对N的任一极大交换子群Ai,均有Aiᐊ-G,i=1,2,…,n.∀K/Ai≤N/Ai,若K/Ai>1,则K非交换,由引理2.10,Kᐊ-N,所以∀K/Ai≤N/Ai,K/Aiᐊ-N/Ai,从而N/Ai为交换群或Hamilton群,i=1,2,…,n.1)∀Ai,N/Ai均交换.由于1<N/Z(N)=N/∩Ai,又N/∩Ai同构于(N/A1)×(N/A2)×…×(N/An)的一个子群,所以N/Z(N)交换,此时N为类2亚交换群.2)∀Ai,N/Ai不全为交换.设N/Ai交换,N/Aj为Hamilton群,i≠j.由于N/Ai交换,所以N′≤Ai,故N为亚交换.又N/Aj为Hamilton群,类为2,所以N3Aj/Aj=[N/Aj,N/Aj,N/Aj]=1,其中N3=[N,N,N],故N3≤Aj.又N3≤N′≤Ai,由i和j的任意性,有N3≤∩Ai=Z(N).所以N4=[N3,N]=1.但N3≠1,若N3=1,则N′≤Z(N)=∩Ai,从而∀Ai,N/Ai交换,矛盾.此时N为类3亚交换群.3)∀Ai,N/Ai均为Hamilton群.N/Ai类为2,故N3Ai/Ai=[N/Ai,N/Ai,N/Ai]=1,故N3≤Ai.所以1<N3≤∩Ai=Z(N).又N4=[N3,N],所以N4=1,N幂零类为3,但N非亚交换.否则,N′交换,存在Ai,使N′≤Ai,则N/Ai交换,矛盾.此时N为类3非亚交换群.证毕.注3定理3.3中的群G不一定超可解,例如交错群A4满足定理条件,但A4非超可解.定理3.4令G为有限群,若G的每个非循环子群A均满足A=NG(A),则G超可解;且G是p-幂零的,其中p为|G|的最小素因子;并且若G幂零,则G为循环群或p2阶初等交换群或四元数群Q8;若G非幂零,则G为下列群之一:1)G=[H]K,H为循环Hall-子群,K为引理2.11定义的循环群或亚循环群;2)G=[H]K,H为循环Hall-子群,K=[L]P,L为引理2.11定义的循环群或亚循环群,P∈Sylp(G),P为p2阶初等交换群;3)G=[H]K,H为循环Hall-子群,K=LQ8,K为L与四元数群Q8之积,L为引理2.11定义的循环群或亚循环群,Q8∈Syl2(G).证明1.设G为极小阶反例,显然定理条件对子群遗传,则G为内超可解群,由引理2.14知存在P∈Sylp(G),使得Pᐊ-G,且P非循环,由假设P=NG(P),又Pᐊ-G,于是P=NG(P)=G,G幂零,矛盾,因此极小阶反例不存在,故G为超可解群.2.若G非p-幂零,则存在K≤G,使得K为内p-幂零,由引理2.1,K=[P]Q,P∈Sylp(K),Q∈Sylq(K),Q循环.若P循环,由于p为|G|的最小素因子,p亦为|K|的最小素因子,由引理2.8,K为p-幂零,矛盾.若P非循环,由假设,P=NG(P),于是P=NK(P)=K,K幂零,矛盾.综上,G为p-幂零.3.若G幂零,∀A<G,若A非循环,由假设A=NG(A),由引理2.4知矛盾,故A循环,于是若G非循环,则G为内循环群,设G=P1×P2×…Pr,Pi∈Sylpi(G),若r>1,则每个Pi均循环,从而G循环,矛盾,故r=1,G为内循环p-群.由引理2.12知,G为p2阶初等交换群或四元数群Q8.4.若G非幂零,∀P∈Sylp(G),由3知P为循环群或为p2阶初等交换群或四元数群Q8.1)∀P∈Sylp(G),P<G,若Pᐊ-G,则P循环,否则,由假设P=NG(P)=G,矛盾,故P循环.2)若G有Sylow子群为内循环群,不妨设为P,P∈Sylp(G),则∀Q∈Sylq(G),q≠p,Q不为内循环群.否则,设Q∈Sylq(G),q≠p,Q为内循环群,令M=〈P,Q〉,M可解,则存在M的极大子群M1ᐊ-M,NM(M1)=M>M1,由假设知M1循环,又|M/M1|=素数,不妨设|M/M1|=p,则Q≤M1,于是Q循环,矛盾,故Q不为内循环群.由G可解,令G=[H]K,K>1,H=〈Pi∈Sylpi(G)|Piᐊ-G〉,K=〈Pj∈Sylpj(G)|Pj不正规于G〉.显然H幂零,由1)知,∀Pi≤H,Pi循环,于是H循环.对于K,若∀Pj≤K,Pj均循环,则K为引理2.11定义的循环群或亚循环群,否则,存在P≤K,P∈Sylp(G),P为内循环,且∀Q≤K,Q∈Sylq(G),q≠p,Q循环,若P为p2阶初等交换群,由假设P=NG(P),于是P=CK(P)=NK(P),由引理2.5,K为p-幂零,设L为正规p-补,K=[L]P,由2)知L的每个Sylow子群皆循环,于是L为引理2.11定义的循环群或亚循环群,若P=Q8,则存在Hall-子群L≤K,使得K=LQ8.证毕.注4定理3.4中的群G不一定幂零,例如对称群S3满足定理条件,但S3非幂零.定理3.5设有限群G可解,若G的每个非交换子群A均满足A=NG(A),那么G为亚交换群;且若G幂零,则G为交换群或内交换p-