江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一下学期第二次联合调研（5月）数学试题（ 含答案解析 ）

2022-2023学年第二学期六校联合体第二次联合调研高一数学一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标加减及数乘运算即可.【详解】，，.故选：C.2.若，i是虚数单位，是z的共轭复数，则（）A.2 B.1 C.－1 D.－2【答案】A【解析】【分析】首先求复数，再根据共轭复数的特征，即可求解.【详解】由题可知，，，所以.故选：A3.下列说法中正确的是（）A.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点．B.若直线上有无数个点不在平面内，则直线l与平面平行．C.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行．D.若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行．【答案】A【解析】【分析】根据线线，线面平行的定义和关系，即可判断选项.【详解】根据线面平行的定义，可知A正确；若直线上有无数个点不在平面内，则直线l与平面平行或相交，故B错误；若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行或异面，故C错误；若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线与这个平面平行或在平面内，故D错误.故选：A4.已知角，满足，，则（）A. B.1 C.－3 D.3【答案】C【解析】【分析】根据两角差的正切公式，即可求解.【详解】.故选：C5.已知m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.m

⊥l，n⊥l，则mn B.α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC.mα，nα，则mn D.αγ，βγ，则αβ【答案】D【解析】【分析】根据各选项中线线、线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断各项正误即可.【详解】A：m

⊥l，n⊥l，则相交、平行、异面均有可能，错；B：α⊥γ，β⊥γ，则平行、相交都有可能，错；C：mα，nα，则相交、平行、异面均有可能，错；D：αγ，βγ，根据面面平行的传递性，则αβ，对.故选：D6.已知，则（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式、辅助角公式化简作答.【详解】由，得，即，所以.故选：B7.如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点（其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面）．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得．已知C处距地面10m，则旗杆高（）A.12m B.15m C.16m D.18m【答案】B【解析】【分析】首先求，在中，根据正弦定理求，最后在中求.【详解】由题意可知，，，，所以，在中，，，所以，由正弦定理可知，，即，解得：，在直角三角形中，，，则.故选：B8.在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：如果只有一个是假命题，则该命题为（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】首先由甲命题为真命题开始，由点是的中点，结合平面向量基本定理的推论，结合三点共线的向量表示，即可判断.【详解】若甲为真命题，，则点为的中点，由可得，，因三点共线，故可得，即，由三点共线，可得，所以，得，即，所以，故乙为真命题；故，可知命题丙为真命题；由共线，故可设，即,因为三点共线，故可设，所以，得，即，故命题丁为假命题.综上，甲乙丙为真命题，丁为假命题.故选：D二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9.已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C. D.若，则的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D.【详解】对于A，设，则，故A正确；对于B，令，满足，故B错误；对于C，设，，则，所以，故C正确；对于D，设，则，即，表示以为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.故选：ACD10.若向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.当时，，的夹角为锐角D.当时，在上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】根据向量垂直，平行，投影向量的定义，即可判断选项.【详解】A.若，则，得，A正确；B.若，则,得，B正确；C.由B知，当时，，此时夹角不是锐角，C错误；D.当时，，，在上的投影向量为，D正确.11.已知中，，，，D在AC上，BD为∠ABC的角平分线，E为BC中点，下列结论正确的是（）A.的面积为 B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】对于A，利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的关系可得，再利用三角形的面积公式可求得结果，对于B，由中线的性质可得，平方化简可得答案，对于C，在中利用余弦定理求解，对于D，利用两个三角形面积比分析判断.【详解】对于A，在中，，，，则，因，所以，所以，所以A错误，对于B，因为E为BC中点，所以，所以，所以，所以B正确，对于D，因为BD为∠ABC的角平分线，所以，所以，所以D错误，对于C，因为，所以，在中由余弦定理得，所以，所以C正确，故选：BC12.已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（）A.直线平面APDB.异面直线EF、PD所成角的大小为C.直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为D.存在点M使得平面MEF【答案】AC【解析】【分析】利用线面平行的判定定理进行证明可判断选项A；利用异面直线夹角的定义进行求解可判断选项B；利用线面角的定义进行求解可判断选项C；要使存在点M使得平面MEF，需满足，用反证法说明不成立，即可判断选项D.【详解】对于选项A，取PD中点N，连接EN，AN，因为E是PC中点，所以且，又因为四边形是正方形，F是AB的中点，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于选项B，因为，所以就是异面直线EF、PD所成的角（或其补角）.因为是边长为的正三角形，点N是PD中点，所以，所以异面直线EF、PD所成角的大小为，故B错误；对于选项C，连接交于点，连接，则为四棱锥的高，取中点，连接.又因为点N是PD中点，所以,且，即平面，又因为，所以就是直线EF与平面ABCD所成的角，，所以，在中，，所以.又，所以在中，，即直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为，故C正确；对于选项D，要使存在点M使得平面MEF，需满足，但与不垂直，所以不存在点M使得平面MEF，下面用反证法证明与不垂直.假设，则，又因为，，，平面，所以平面.又平面，所以，又，平面，所以平面.又平面，所以，而在中，点分别是的中点，所以，矛盾，所以假设不成立，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题综合考查空间中的平行关系、垂直关系和空间角，理解并熟练应用平行、垂直的判定定理和性质定理，以及空间角的定义和求法是解决题目的关键.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置．13.______．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式及逆用正弦差角公式得到答案.【详解】由诱导公式得，所以.故答案为：14.在中，，，，则______．【答案】【解析】【分析】由已知三角形三边的关系判断三角形为直角三角形，得到向量夹角的余弦值，然后利用向量的数量积的定义求值即可．【详解】由的三边分别为，，，则，所以，得，则，，所以．故答案为：．15.如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为______．【答案】【解析】【分析】取，的中点分别为，连接，先证明四边形是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面平面，可得平行四边形即为所求的截面，再计算其面积即可.【详解】取，的中点分别为，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以四边形是平行四边形，因为，平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为，平面，所以平面平面，因此过点作与平面平行截面，即是平行四边形，连接，作于点，由，，可得，所以，所以平行四边形的面积为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找出过与平面平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形，先求四边形一半的面积，乘以即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积.16.天文学家设计了一种方案可以测定流星的高度．如图，将地球看成一个球，半径为，两个观察者在地球上，两地同时观察到一颗流星，仰角分别是和（，表示当地的地平线），由平面几何相关知识，，，，设弧长为，，，则流星高度为______．（流星高度为减去地球半径，结果用表示）【答案】【解析】【分析】由扇形的弧长公式求出，解得，在中由正弦定理求出，在中由余弦定理求出即可.【详解】由题意知，的弧长，所以，因为，所以为等腰直角三角形，所以，所以，在中，，，所以，由正弦定理：，得：，在中，，由余弦定理：，所以，所以流星的高度为：，故答案为：.四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）．（1）求复数；（2）复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）待定系数结合实数、纯虚数的概念即可求解.（2）由（1）可知，从而可以化简，结合已知即可求出实数的取值范围．【小问1详解】设复数，实数，所以，则，所以，因为为纯虚数，所以且，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，,在复平面上对应的点为，又已知在复平面上对应的点在第二象限，所以，解得，即实数m的取值范围为.18.已知向量，满足，，且．（1）若，求实数k的值；（2）求与的夹角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量的垂直的数量积表示，即可求解；（2）利用向量的数量积运算律和夹角公式，即可求解.【小问1详解】因为，，即，解得：，解得：【小问2详解】，，∴∵，∴19.已知．（1）求的周期；（2）若，其中，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先化简函数，再求函数的周期；（2）由（1）知，再根据三角恒等变换，即可化简求值.【小问1详解】

所以的周期为.【小问2详解】，∴，由得，由，得，∴，∴

.20.如图，在中，，，，P为内一点，．（1）若，求PA的长；（2）若，求PA的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，，中由余弦定理即可求得；（2）设，利用正弦定理表示出，即可化简求.【小问1详解】由已知得，，，∴，在中，由余弦定理得，∴；【小问2详解】设，由已知得，，在中，由正弦定理得，化简得，，又由，，得所以.21.如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，且有，，，为中点．（1）证明：面；（2）求二面角的平面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，根据三角形的中位线性质，可判断，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据二面角的定义，找出二面角的平面角，利用三角形的边角关系进行求解即可.【小问1详解】证明：设与交于点，连接，因为，分别为，的中点，所以，又因为底面，且、底面，所以，，又因为，所以，，，所以底面，又四边形为菱形，所以，则，，且，，平面，所以平面；【小问2详解】过作于，连接，由（1）知底面，且、底面，所以，，又，、平面，所以平面，又平面，所以，即为二面角的平面角，因为底面为菱形，，，所以是边长为1的等边三角形，则，，又，则，在直角三角形中，，则，所以，故所求二面角的正弦值为．22.如图，已知是边长为2的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点．（1）若，求实数的值；（2）求的最小值；（3）求周长的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）结合图形，利用平面向量基本定理，以及向量的线性运算，即可求解；（2）首先用基底向量表示向量和，再结合数量积的运算律表示为函数求最值问题，即可求解；（3）首先在△QPC中，设，，，再根据正弦定理，利用三角函数表示的周长，结合三角函数恒等变换以及函数