专题4.3期中全真模拟试卷03（压轴卷八上苏科第1-4章）-2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】（解析版）

2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题4.3期中全真模拟试卷03（压轴卷，八上苏科第1-4章）注意事项：本试卷满分150分，试题共28题，其中选择8道、填空8道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·江苏盐城·八年级期中）下列选项是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A．打喷嚏捂鼻子 B．喷嚏后慎揉眼C．戴口罩讲卫生 D．勤洗手勤通风【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义对各图案进行判断即可．【详解】解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形．A、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；B、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；C、该图案是轴对称图形，故选项正确，符合题意；D、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了轴对称图形的判别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．2．（2021·江苏南京·八年级期中）如图，AB＝AC，下列条件中，不能判定△ABE≌△ACD的是（

）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC【答案】C【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【详解】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；D、如添∠AEB＝∠ADC，利用AAS即可证明△ABE≌△ACD；故选：C．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2022·江苏南通·八年级期中）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比可能为（

）A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：7【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理，得：要能够组成一个直角三角形，则三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方．【详解】解：A、设a、b、c分别为2k，3k，4k，∵(2k)2+(3k)2=4k2+9k2=13k2≠(4k)2，∴不是直角三角形．故此选项不符合题意；B、设a、b、c分别为3k，4k，6k，∵(3k)2+(4k)2=9k2+16k2=25k2≠(6k)2，∴不是直角三角形．故此选项不符合题意；C、设a、b、c分别为5k，12k，13k，∵(5k)2+(12k)2=25k2+144k2=169k2=(13k)2，∴是直角三角形，故此选项符合题意；D、设a、b、c分别为4k，6k，7k，∵(4k)2+(6k)2=16k2+36k2=52k2≠(7k)2，∴不是直角三角形．故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，要求能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形．4．（2021·江苏南京·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AC＝5，则正方形ABDE和正方形CBGF的面积差为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】由勾股定理可求出AC2的值，即可得出答案．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=5，∴AB2-BC2=AC2=25，∴正方形ABDE和正方形CBGF的面积差为AB2-BC2=25．故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．5．（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC=4，AB=10，则△ACD的周长为（

）A．8 B．9 C．10 D．14【答案】D【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，进而可得△ACD的周长．【详解】解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线，∵MN是BC的垂直平分线，∴CD=DB，∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周长=CD+AD+AC=4+10=14，故选：D．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6．（2021·江苏扬州·八年级期中）如图，D为△ABC边BC上一点，AB＝AC，且BF＝CD，CE＝BD，则∠EDF等于（）A．90°﹣12∠A B．90°﹣∠A C．180°﹣∠A D．45°﹣∠【答案】A【分析】由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF，从而可得答案．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BFD和△EDC中，{BF=DC∠B=∠C∴△BFD≌△CDE（SAS），∴∠BFD=∠EDC，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°-∠B=180°-180°-∠A2=90°+1则∠EDF=180°-（∠FDB+∠EDC）=90°-12故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2A．13 B．12 C．11 D．10【答案】A【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．【详解】解：由折叠得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，AB=AE∠BAF=∠EAF∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴BF=A在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴S△ADE即S△ADG∵S△AEG=1∴S△ADG∴9=1∴AD=6，∴FD=AD-AF=6-4=2，在Rt△BDF中，BF=3，FD=2，∴BD故选：A．【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．8．（2021·江苏南京·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，M、N分别为边AB、AD的中点，点P在正方形的边上（包括顶点），且△MNP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：如图，∵△MNP是等腰三角形，∴符合条件的点P的个数有4个，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，找出符合条件的点P的个数是解题的关键．二、填空题9．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，若△ABC≌△DEB，点D在线段AB上，若DE＝7，AC＝5，则AD＝____．【答案】2【分析】根据全等三角形的性质得出AB=DE=7，AC＝DB=5，结合图形利用线段间的数量关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC≌△DEB，∴AB=DE=7，AC＝DB=5，∴AD=AB-DB=2，故答案为：2．【点睛】题目主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．10．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，在△ABC和△EDB中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝8，BC＝6，则AE＝____．【答案】2【分析】△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再由全等三角形的性质求出EB的长，便可解答；【详解】解：△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：AB=AC若△ABC≌△EDB，则对应边相等，即AC=EB=8，∴AE=AB－EB=10－8=2，故答案为：2；【点睛】本题考查勾股定理，和全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题关键．11．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，若S△ABD＝15，则CD＝______．【答案】3【分析】过点D作DE⊥AB，根据三角形面积得出DE=3，再由角平分线的性质即可得出结果．【详解】解：过点D作DE⊥AB，如图所示，∵AB=10，S△ABD＝15，∴12解得：DE=3，∵AD平分∠BAC，∴CD=DE=3，故答案为：3．【点睛】题目主要考查角平分线的性质，理解题意作出相应辅助线，运用角平分线的性质是解题关键．12．（2021·江苏镇江·八年级期中）课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB=90°，AC=BC，每块砌墙用的砖块厚度为10cm，小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离DE的长为____cm．【答案】50【分析】由砖的厚度可得AD=30cm，BE=20cm，利用同角的余角相等可得∠CAD=∠BCE，再用AAS判定△CAD≌△BCE，得到对应边相等，再由DE=DC+CE即可得出答案．【详解】解：由题意得，AD=30cm，BE=20cm，∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△CAD和△BCE中，∠∴△CAD≌△BCE（AAS）∴DC=BE=20cm，AD=CE=30cm∴DE=DC+CE=50cm故答案为：50．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，由同角的余角相等得出全等条件是关键．13．（2021·江苏盐城·八年级期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则芦苇长_____尺．【答案】13【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知B'C＝5尺，设水深AC＝x尺，则芦苇长（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【详解】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，在Rt△CAB′中，AC2+B′C2＝AB′2，即x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，∴x+1＝13，故芦苇长13尺，故答案为：13【点睛】本题考查勾股定理，和列方程解决实际问题，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏·宝应县城北初级中学八年级期中）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作a，若a=2，则该等腰三角形的顶角的度数为________．【答案】90°##90度【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和得出4∠B=180°，求解即可．【详解】在ΔABC中，∴∠B=∠C∵a=2∴∠A:∠B=2:1即4∠B=180°∴∠B=45°∴∠A=90°故答案为：90°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能熟练应用上述知识是解题的关键．15．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学八年级期中）如图，已知∠AOB＝a，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则θ2021﹣θ2020的值为__．【答案】180°-α【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A1B1O，再根据平角等于180°列式用α表示出θ1，再用θ1表示出θ2，并求出θ2﹣θ1，依此类推求出θ3﹣θ2，…，θ2021﹣θ2020，即可得解．【详解】解：∵OA1＝OB1，∠AOB＝α，∴∠A1B1O＝12（180°﹣α∴12（180°﹣α）+θ1＝180°∴θ1＝180o∵B1B2＝B1A2，∠A2B1B2＝θ1，∴∠A∵∠∴180o整理得：θ2∴θ2同理可求：θ3∴θ•••以此类推，θ故答案为：180o【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于能够准确找到规律求解.16．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO；④AO+AP=AC；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)【答案】①②③④【分析】连接OB，证明OP=OB，利用等腰三角形的性质可判断结论①；由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO与∠DCO的和等于30°，再证明ΔPOC是等边三角形，可判断结论②，③；,在线段AC上截取AE=AP，连接PE，证明△APO≌△EPC可判断结论④【详解】解：如图，连接OB，∵AD⊥BC，AB=AC，∴AD是BC的中垂线，∠ABC=∠ACB，∴OB=OC∴∠OBC=∠OCB∴∠ABO=∠ACO∵OP=OC∴OP=OB∴∠OBP=∠OPB∠APO=∠ACO，即结论①正确；连接BO，如图1所示：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠ABC=∠ACB=30°由∠APO=∠ACO∴∠APO+∠DCO=∠ACO+∠DCO=∠ACB=30°∴∠OPC+∠OCP=180°-30°-30°=120°∠POC=60°∵OP=OC∴Δ∴∠PCO=60°∴∠PCB+∠APO=∠PCO+∠DCO+∠APO=60°+∠DBO+∠ABO=60°+30°=90°即结论②正确；∵Δ∴PC=PO即结论③正确；在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图所示：∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，∴∠CAP=60°，∴△APE是等边三角形，∴AP=EP，又∵△OPC是等边三角形，∴OP=CP，又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC，在△APO和△EPC中，{AP＝∴△APO≌△EPC（SAS），∴AO=EC，又∵AC=AE+EC，AE=AP，∴AC=AO+AP，即结论④正确；综合所述，①，②，③，④都正确，故答案为：①②③④．【点睛】本题综合考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角的和差，线段的和差，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建等腰三角形，等边三角形，全等三角形．三、解答题17．（2014·江苏无锡·八年级期中）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）【答案】见解析【分析】根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等；线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作图即可得答案．【详解】解：连接AB，作线段AB的垂直平分线l，作∠MON的平分线OQ，OQ交直线l于P，P点即为所求．【点睛】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法，掌握这两种尺规作图方法是解题关键．18．（2020·江苏·南通西藏民族中学八年级期中）如图，已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF．求证：AB=DE．【答案】证明见解析.【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，进而根据ASA证明△ABC≌△DEF，即可得证．【详解】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF，在△ABC和△DEF中，&&∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握ASA证明三角形全等是解题的关键．19．（2018·江苏南通·八年级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB＝FC．【答案】见解析【分析】首先由角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB＝FC．【详解】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△DFC中，BD=CD∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴EB＝FC．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解．20．（2022·江苏南通·八年级期中）如图是一块四边形绿地的示意图，其中AB=24，BC=15，CD=20，DA=7，∠C=90°．求此绿地ABCD的面积．【答案】234【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．【详解】解：连接BD.如图所示：∵∠C=90°，BC=15，CD=20，∴BD=B在△ABD中，∵BD=25，AB=24，DA=7，∴242+∴△ABD是直角三角形．∴S=1=1=84+150=234；即绿地ABCD的面积为234．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形ABCD的面积是解题关键．21．（2021·江苏宿迁·八年级期中）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，连接BD、CE．（1）求证：BD=CE；（2）延长BD、CE交于点P．求∠BPC的度数．【答案】（1）见解析；（2）40°【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE即可；（2）由（1）得出∠ABD=∠ACE，再根据三角形内角和证明∠BPC=∠BAC=40°即可．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE∴BD=CE（2）∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵∠AMB=∠PMC，∴∠BPC=∠BAC=40°。【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等．22．（2020·江苏淮安·八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)海港C会受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)会，理由见解析(2)7h【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，从而判断出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．（1）解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D点，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC∴△ABC为直角三角形，∴12∴300×400=500CD，∴CD=240km∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C会受到台风影响；（2）由（1）得CD=240km，如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，此时△ECF为等腰三角形，∵ED=E∴EF=140km，∵台风的速度为20km/h，∴140÷20=7h，∴台风影响该海港持续的时间有7h．【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．23．（2021·江苏南京·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，且AB＝PC，BP＝CD．（1）求证：AP⊥PD；（2）利用此图形验证勾股定理．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据SAS可证得△ABP≌△PCD，从而得到∠APB＝∠PDC，进而得到∠APB+∠DPC＝90°，即可求证；（2）AB=a,BP=b,AP=c，可得到S直角梯形＝(a+b)(a+b)2，再由SΔABP+S【详解】（1）在△ABP和△PCD中，AB=PC∴△ABP≌△PCD（SAS）∴∠APB＝∠PDC∵∠PDC+∠DPC＝90°∴∠APB+∠DPC＝90°∴∠APD＝90°即：AP⊥PD；（2）假设AB=a,BP=b,AP=c由（1）可知CP=a,CD=b,DP=c∴S直角梯形＝(a+b)(a+b)2∵SΔABP+S∴(a+b)(a+b)2∴a∴AB2+BP2＝AP2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，勾股定理的证明是解题的关键．24．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，△ABC的两条高线BD、CE，延长CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，连接AP、AQ，请判断AQ与AP的数量与位置关系？并证明你的结论．【答案】AP＝AQ，AP⊥AQ，见解析【分析】根据垂直的定义得到∠ADB＝∠AEC＝90°，得到∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．∵BP＝AC，CQ＝AB，在△APB和△QAC中，BP=AC∠ABD=∠ACQ∴△APB≌△QAC（SAS），∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA，∵∠CQA+∠QAE＝90°，∴∠BAP+∠QAE＝90°．即AP⊥AQ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．25．（2021·江苏·无锡市江南中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE；②若AC⊥DE，求证：BD=DC；（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数（直接写出结果）【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）100°或40°或20°【分析】（1）①根据SAS即可证明；②利用等腰三角形的三线合一得到∠DAC=∠EAC，再根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠EAC，利用等腰三角形的性质得到BD=DC；（2）分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【详解】解：（1）①∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE；②如图，∵AE=AD，AC⊥DE，∴∠DAC=∠EAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠BAD=∠EAC，∴∠DAC=∠BAD，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）如图，当D在线段BC上时，∵CE∥AB，∴∠ACE=∠BAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ABD=∠BAC，又∠ABC=∠ACB，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ADB=180°-60°-20°=100°；如图，当点D在CB的延长线上时，同理可得，∠ABC=60°，∴∠ADB=40°，当△ABD中的最小角是∠ADB时，∠ADB=20°，当点D在BC的延长线上时，只能∠ADB=20°，∴∠ADB的度数为100°或40°或20°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题．26．（2021·江苏盐城·八年级期中）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．①当t为何值时，△AMN是等边三角形；②当t为何值时，△AMN是直角三角形；（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．【答案】（1）当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①t=2，△AMN是等边三角形；②当t=32或125时，△AMN是直角三角形；（【详解】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；（2）①根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；②分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+6＝2x，解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，∵AB＝AC＝BC＝6cm，∴∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，∴t＝6﹣2t，解得t＝2，∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图2，若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，∴AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得t=3如图3，若∠ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得t=12综上所述，当t为32或125s时，（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．27．（2022·江苏无锡·七年级期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．

①；②．(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线．(3)在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数．【答案】(1)△ACD与△CBD；△ACD与△ABC(2)理由见解析(3)60°；30°；140°3；【分析】（1）由题意知∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，∠CAD=∠BCD，∠ACD=∠CBD可说明△ACD与△CBD是“等角三角形”，根据∠CAD=∠BAC，可说明△ACD与△ABC是“等角三角形”，进而可得答案；（