平面向量的概念及运算

平面向量的概念及运算向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量（它的方向是任意的）.||向量的模：向量的大小（长度）.单位向量：

向量(Vector)的概念或或在同一平面内,如果把所有单位向量的起点放在同一点,则所有单位向量的终点将构成什么图形?相等向量：大小相等且方向相同的向量.相反向量：大小相等但方向相反的向量.∥一、概念巩固：1、下列各量中是向量的是()(A)面积(B)时间(C)质量(D)速度D2、下列说法中正确的是()(A)平行向量就是向量所在直线都平行的向量

(B)长度相等的向量叫做相等向量

(C)零向量的长度为0(D)共线向量就是在同一直线上的向量C3、下列说法中错误的是()(A)零向量是没有方向的

(B)零向量的长度为0(C)零向量与任一向量平行

(D)零向量的方向是任意的A4、判断正误(1)零向量的方向是任意的.(2)若,则(3)若,则(√)(√)(√)(4)单位向量都平行.(×)(5)单位向量都相等.(×)(6)单位向量的模都相等.(√)(8)若,则(×)(9)若,则(√)(√)(10)零向量与任何向量都平行.(11)平行向量一定是共线向量.(×)(√)(√)1加法(Addition)：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向

向量的线性运算（OperationsofVectors)OAB向量OB

就表示这两次位移的合成.

以O为起点作向量OA表示由O到A的位移，再以A为起点作向量AB表示由A到B的位移，那么2、三角形法则向量加法的基本性质：

对于任意向量α、β、γ，有

(1)α+β=β+α(交换律)；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)(结合律)；(3)α+0=0+α=α；

(4)α+(-α)=0.γαβα+β(α+β)+γ=α+(β+γ)三个向量α，β，γ的和可以简记为α+β+γ,n个向量α1，α2，…，αn的和可以简记为α1+α2+…+αn

。α1α2α5α3s=α1+α2+α3+α4+α5α4s例如2减法(Subtraction)(MultiplicationbyNumbers)3向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算律（1）结合律：（2）分配律：（3）分配律：向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算..平面向量的基本定理

若是平面上两个不共线向量，则此平面上的任意一个向量均可表示为下列形式：证充分性.如果β=mα，由数乘向量的定义知，β与α共线，充分性得证.必要性.由于β与α共线，且|α|≠0，因而有非负实数λ使得

λ.

当β与α同向时，可取m=λ；

定理设向量α≠O，向量β与α共线的充分必要条件是，存在唯一的实数m，使β=mα.当β与α反向时，可取m=-λ，最后证明β=mα中的m是唯一的.

若β=m1，α=m2，则(m1-m2)α=0,因为α≠0，所以m1=m2.

推论

向量α1、α2共线的充分必要条件是存在不全为零的实数k1,k2，使得k1α1+k2α2=0.于是都有β=mα1、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+）λ∈[0，+∞）则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心向量的夹角

两个非零向量a和b

，作，，则

叫做向量a

和b

的夹角．OABabOABba若，a

与b

同向OABba若，a

与b

反向OABab若，a

与b

垂直，记作平面向量的数量积的定义

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为

，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．

（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定

（3）

a·b不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算．（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．3、投影的定义

叫做向量在方向上的投影

OC=

4、向量的数量积的几何意义：

向量的模乘以向量在方向上的投影，等于与的数量积讨论总结性质：（1）e·a=a·e=|a|cos

（2）a⊥ba·b=0

(判断两向量垂直的依据)

（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=—|a|·|b|

．特别地（4）（5）a·b≤|a|·|b|例题选讲：

例⒈已知，当①∥；②⊥；③与夹角为600时,

分别求与的数量积。故选B例3、已知a、b都是非零向量，且a+3b

与7a–5b

垂直，a–4b

与7a–2b垂直，求a与b的夹角。

解：∵（a+3b

）⊥（7a–

5b）（a–

4b

）⊥（7a–

2b

）

∴（a+3b

）·（7a–5b）

=0且（a–

4b

）·

（7a–

2b

）=0

即7a·a+