复变函数 留数和留数定理

§5-2留数和留数定理一Δ、留数的定义和计算二、留数定理三*、函数在无穷远点的留数2021/5/91设为的一个孤立奇点;内的Laurent级数:在.的某去心邻域包含的任一条正向简单闭曲线C.一Δ

、留数的定义和计算2021/5/920(高阶导数公式)0(柯西积分定理)2021/5/931.定义

记作包含的任意一条简单闭曲线C的积分的值后所得的数以的一个孤立奇点,如果(Residue)则沿内，除称为2021/5/942.计算留数的一般公式由Laurent级数展开定理,定义留数的积分值是f(z)在环域内Laurent级数的负一次幂系数c-1(1)若z0为函数f(z)的可去奇点,(负幂项的项数为零个),则它在点z0的留数为零.注：当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时,若为偶函数,则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z-z0的偶次幂,其奇次幂系数都为0,得2021/5/95如果为的一级极点,那么规则1成Laurent级数求(2)如果为的本性奇点,(3)如果为的极点,则有如下计算规则展开则需将2021/5/96规则2

若z0为f(z)

的m级极点,则对任意整数有说明

将函数的零阶导数看作它本身,规则1可看作规则2当n=m=1时的特殊情形,且规则2可取m=1.2021/5/97规则3

如果设及在都解析，那么为的一级极点,

且有2021/5/98为的一级极点,的一级零点,为的一级极点，为证2021/5/993.典型例题例1求在的留数.解2021/5/910例2

求在的留数.分析是的三级零点由规则2得计算较麻烦.2021/5/911如果利用Laurent展开式求较方便:解2021/5/912注意:

如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开Laurent级数求来计算留数.2.在应用规则2时,取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则.

为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取2021/5/913例3．求下列函数在指定点处的留数(1),;解：是函数的一级零点,

又是函数的五级零点.于是它是的四级极点,可用规则计算其留数,其中,为了计算简便应当取其中,这时有2021/5/914另解：在点的去心邻域内的Laurent级数为

,其中的项的系数为,从而也有.例3．求下列函数在指定点处的留数(1),;2021/5/915(2),;解：在点的去心邻域内的Laurent级数为显然为它的本性奇点,其中的项的系数为,于是得2021/5/916(3),.解：显然是的一级极点;可是不能用规则求其留数,由规则得2021/5/917思考：有关因式分解问题？1.2.2021/5/918二、留数定理定理1

若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析，在C的内部除有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外解析，则有留数概念的重要性在于下面的留数定理.它使得一些积分的计算变得十分容易.2021/5/919例4.计算下列积分(1)解：被积函数的奇点和都在圆的内部,由规则1,2可得以下结果

;

于是由留数定理得积分值为2021/5/920(2)解：在圆的内部有一个二级极点和两个一级极点,于是利用留数的计算规则和得2021/5/921(2)最后由留数定理得积分值为2021/5/922例5

计算积分C为正向圆周:解被积函数有四个一级极点都在圆周的内部,所以由规则32021/5/923例6

计算积分C为正向圆周:解

除被积函数点外,无其他奇点，在圆外。所以2021/5/924因此2021/5/9251

若z0为函数f(z)的可去奇点，(负幂项的项数为零个)，则它在点z0的留数为零.2

当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若为偶函数，则f(z)在点z0的留数为零.小结：留数的计算3

若z0为f(z)

的一级极点，则有4

若z0为f(z)

的m级极点，则对任意整数有2021/5/9265

设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。若，Q(z0