2023-2024学年北京市大兴区八年级（上）期中数学试卷

2023-2024学年北京市大兴区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．下列图形不是轴对称图形的为（）A．线段 B．角 C．有一个锐角为30°的直角三角形 D．等边三角形2．下列各组线段的长，能组成三角形的是（）A．6，7，14 B．5，6，10 C．4，4，8 D．3，4，83．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A． B． C． D．4．有一个内角是36°的等腰三角形，其它两个内角的度数分别是（）A．36°，36° B．36°，72° C．36°，108°或72°，72° D．36°，144°5．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝14，则BC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．76．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知，△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，如果∠BAD+∠BCD＝160°，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形8．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，若90°＜∠BOC＜120°，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30° B．10°＜∠A＜30° C．0°＜∠A＜60° D．10°＜∠A＜60°二、填空题（共16分，每题2分）9．点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是．10．等腰三角形两边长分别为6和8，则这个等腰三角形的周长为．11．一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是边形．12．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的中点，若△ADE的面积是2，则△ABC的面积是．13．如图，在△ABC中，∠A＝89°，∠B＝40°，则∠ACD＝°．14．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝6，则△BCE的面积为．15．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．三、解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-25每题6分，第26-28每题7分）17．（5分）如图，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1各顶点的坐标：A1，B1，C1．18．（5分）把下列证明过程补充完整．已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠E＝∠F，EC∥FB．求证：EA＝FD．证明：∵AB＝CD（已知），∴AB+BC＝CD+BC．∴AC＝DB．∵EC∥FB（已知），∴∠1＝∠2（）．在△AEC和△DFB中，，∴△AEC≌△DFB（）．∴EA＝FD（）．19．（5分）把下列证明过程补充完整．已知：如图，AC＝AD，∠C＝∠D，∠1＝∠2．求证：AB＝AE．证明：∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD．∴∠＝∠EAD．在△ABC和△AED中，．∴．∴AB＝AE．20．（5分）把下列证明过程补充完整．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：AC平分∠BAD．证明：∵∠B＝∠D＝90°．∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（）．∴∠＝∠．∴AC平分∠BAD．21．（5分）把下列证明过程补充完整．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E．求证：∠CAD＝∠BCE．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠，∵AD是BC边上的中线，∴ADBC（三线合一）．∴∠ADC＝90°．∴∠CAD+∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°．∵∠+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠BCE．22．（5分）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，∠C＝65°，求∠BAC的度数．23．（5分）已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．求证：AC＝BE．24．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，BF平分∠ABC，AF∥DC，连接AC，CF．求证：（1）AF＝CF；（2）CA平分∠DCF．25．（6分）已知：如图，点A，B分别在线段CD，CE上，EA，DB分别为线段CD，CE的垂直平分线．求∠AEC的度数．26．（7分）已知：＝2，…，＝2，…，＝2，…，＝2⋯（1）观察上面式子的规律，把这个规律用含字母a的式子表示是；（2）若（1）中的a是△ABC的一边长，且4，8是△ABC的另两边长，①a的取值范围是；②当△ABC是等腰三角形时，按上述规律对应的等式是．27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，∠BAC＝60°，BC＝1，点E，F分别在AB，AC边上，且∠AED+∠AFD＝180°．（1）用等式表示线段DE与DF的数量关系，并证明；（2）求AE+AF的长．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：连接OP，过点O作OP的垂线OW，在垂线OW上取一点P′，使OP′＝OP，点P′在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“关联垂点”．已知点A（1，1），B（3，1），C（2，3）．（1）在点P1（﹣1，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2），P4（﹣1，3）中，点是线段AB关于原点O的“关联垂点”（只填写字母）；（2）如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“关联垂点”，求m的取值范围．2023-2024学年北京市大兴区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．下列图形不是轴对称图形的为（）A．线段 B．角 C．有一个锐角为30°的直角三角形 D．等边三角形【分析】根据轴对称图形的概念判断．解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．下列各组线段的长，能组成三角形的是（）A．6，7，14 B．5，6，10 C．4，4，8 D．3，4，8【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．解：A、6+7＜14，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；B、5+6＞10，故能构成三角形，故此选项符合题意；C、4+4＝8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；D、3+4＜8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三角形三边关系定理是解题的关键．3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．解：A选项中，BE与AC不垂直；B选项中，BE与AC不垂直；C选项中，BE与AC不垂直；∴线段BE是△ABC的高的图是D选项．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．4．有一个内角是36°的等腰三角形，其它两个内角的度数分别是（）A．36°，36° B．36°，72° C．36°，108°或72°，72° D．36°，144°【分析】由于36°的角可能是顶角，也可能是底角，因此根据等腰三角形的性质分类讨论．解：当36°的角是顶角时，底角为：×（180°﹣36°）＝72°，当36°的角是底角时，顶角为：180°﹣36°×2＝108°，所以等腰三角形其它两个内角的度数分别是72°，72°或36°，108°，故选：C．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝14，则BC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角可得∠A＝∠ABD，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝14，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，在Rt△BCD中，BC＝BD＝×14＝7．故选：D．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．6．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】直接利用已知网格结合三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，可得出原点位置．解：如图所示：原点可能是D点．故选：D．【点评】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确建立坐标系是解题关键．7．已知，△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，如果∠BAD+∠BCD＝160°，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形【分析】作出图形，根据轴对称的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，然后求出∠BAC+∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠B，然后判断三角形的形状即可．解：如图，∵△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∴∠BAC+∠ACB＝（∠BAD+∠BCD）＝×160°＝80°，在△ABC中，∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣80°＝100°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【点评】本题考查了轴对称的性质，根据成轴对称的两个图形能够完全重合得到相等的角是解题的关键，作出图形更形象直观．8．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，若90°＜∠BOC＜120°，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30° B．10°＜∠A＜30° C．0°＜∠A＜60° D．10°＜∠A＜60°【分析】由OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，利用角平分线的定义，可得出∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，结合∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，可得出∠ABC+∠ACB＝2（180°﹣∠BOC），再利用三角形内角和定理，可得出∠A＝2∠BOC﹣180°，结合90°＜∠BOC＜120°，可求出∠A的取值范围．解：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2（180°﹣∠BOC），∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠BOC）＝2∠BOC﹣180°，又∵90°＜∠BOC＜120°，∴0＜∠A＜60°．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，找出∠A＝2∠BOC﹣180°是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解．解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．10．等腰三角形两边长分别为6和8，则这个等腰三角形的周长为20或22．【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、8，能组成三角形，周长＝6+6+8＝20，②6是底边长时，三角形的三边分别为6、8、8，能组成三角形，周长＝6+8+8＝22，综上所述，这个等腰三角形的周长是20或22．故答案为：20或22．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．11．一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是4边形．【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．12．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的中点，若△ADE的面积是2，则△ABC的面积是8．【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可以得到△ABC的面积．解：∵点D、E分别是BC、AB的中点，∴S△ABC＝2S△ABD，S△ABD＝2S△AED，∵△AED的面积为2，∴△ABC的面积为8，故答案为：8．【点评】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．13．如图，在△ABC中，∠A＝89°，∠B＝40°，则∠ACD＝129°．【分析】直接根据三角形外角的性质即可得出结论．解：∵，△ABC中∠A＝89°，∠B＝40°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝89°+40°＝129°．故答案为：129．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．14．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝6，则△BCE的面积为6．【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC•EF＝×6×2＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．15．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是4．【分析】由AB＝AC，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得△ACD≌△ABD，△OCD≌△OBD，△AOC≌△AOB，又由EF是AC的垂直平分线，证得△OCE≌△OAE．解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，AD⊥BC，∴OC＝OB，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS）；同理：△COD≌△BOD，在△AOC和△AOB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS）；∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∠OEA＝∠OEC＝90°，在Rt△OAE和Rt△OCE中，，∴Rt△OAE≌Rt△OCE（HL）．故答案为：4．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有8个．【分析】建立平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．故答案为：8．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．三、解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-25每题6分，第26-28每题7分）17．（5分）如图，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1各顶点的坐标：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）．【分析】作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出△A1B1C1的各顶点坐标即可．解：如图所示．由图可知，A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）．故答案为：（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置．18．（5分）把下列证明过程补充完整．已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠E＝∠F，EC∥FB．求证：EA＝FD．证明：∵AB＝CD（已知），∴AB+BC＝CD+BC．∴AC＝DB．∵EC∥FB（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．在△AEC和△DFB中，，∴△AEC≌△DFB（AAS）．∴EA＝FD（全等三角形的对应角相等）．【分析】由AB＝CD推导出AC＝DB，由EC∥FB，根据“两直线平行，内错角相等”证明∠1＝∠2，而∠E＝∠F，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△AEC≌△DFB，再根据“全等三角形的对应角相等”证明EA＝FD，于是得到问题的答案．【解答】证明：∵AB＝CD（已知），∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝DB，∵EC∥FB（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），在△AEC和△DFB中，，∴△AEC≌△DFB（AAS），∴EA＝FD（全等三角形的对应角相等）．故答案为：两直线平行，内错角相等，AAS，全等三角形的对应角相等．【点评】此题重点考查等式的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△AEC≌△DFB是解题的关键．19．（5分）把下列证明过程补充完整．已知：如图，AC＝AD，∠C＝∠D，∠1＝∠2．求证：AB＝AE．证明：∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD．∴∠BAC＝∠EAD．在△ABC和△AED中，．∴△ABC≌△AED（ASA）．∴AB＝AE．【分析】利用ASA证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD．∴∠BAC＝∠EAD．在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（ASA），∴AB＝AE．故答案为：BAC；∠C＝∠D；AC＝AD；∠BAC；△ABC≌△AED（ASA）．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△AED是解题的关键．20．（5分）把下列证明过程补充完整．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：AC平分∠BAD．证明：∵∠B＝∠D＝90°．∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．∴∠BAC＝∠DAC．∴AC平分∠BAD．【分析】由∠B＝∠D＝90°，AC＝AC，AB＝AD，可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ADC，得∠BAC＝∠DAC，则AC平分∠BAD，于是得到问题的答案．【解答】证明：∵∠B＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC＝∠DAC，∴AC平分∠BAD，故答案为：HL，BAC，DAC．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明Rt△ABC≌Rt△ADC是解题的关键．21．（5分）把下列证明过程补充完整．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E．求证：∠CAD＝∠BCE．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC（三线合一）．∴∠ADC＝90°．∴∠CAD+∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°．∵∠BCE+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠BCE．【分析】根据“等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线合一”性质求解即可．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC（三线合一）．∴∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°．∵∠BCE+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠BCE．故答案为：ACB；⊥；BCE．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．22．（5分）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，∠C＝65°，求∠BAC的度数．【分析】先根据△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD求出∠BAD的度数，再由∠C＝65°求出∠CAD的度数，进而可得出结论．解：∵△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，∴∠BAD＝45°，∵∠C＝65°，∴∠CAD＝90°﹣65°＝25°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+25°＝70°．【点评】本题考查的是等腰直角三角形，熟知两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形是解答此题的关键．23．（5分）已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．求证：AC＝BE．【分析】证明△ABC≌△BDE（AAS），即可求解．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠CBA，而∠A＝∠DBE，AB＝BD，∴△ABC≌△BDE（ASA），∴AC＝BE．【点评】本题主要考查的是利用角角边定理，判断三角形全等，涉及到了平行线的性质，本题较为容易．24．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，BF平分∠ABC，AF∥DC，连接AC，CF．求证：（1）AF＝CF；（2）CA平分∠DCF．【分析】（1）根据BF平分∠ABC⇒∠ABF＝∠CBF，再加上AB＝BC，BF＝BF就可以推出△ABF≌△CBF，依据全等三角形对应边相等的性质可以推出AF＝CF；（2）根据（1）中所得出的结论可以推出∠FCA＝∠FAC；依据平行线的性质可以得出内错角∠FAC、∠DCA相等，等量代换后，就可推出CA平分∠DCF．【解答】证明：如图．（1）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF．（1分）在△ABF与△CBF中，∴△ABF≌△CBF（SAS）．∴AF＝CF．（2）∵AF＝CF，∴∠FCA＝∠FAC．（4分）∵AF∥DC，∴∠FAC＝∠DCA．∴∠FCA＝∠DCA，即CA平分∠DCF．（5分）【点评】主要考查全等三角形的判定定理，全等三角形的性质，根据条件很容易就可得出AF＝CF，继而推出∠FCA＝∠FAC，结合两直线平行内错角相等的性质，很容易就可以得出（2）中的结论．25．（6分）已知：如图，点A，B分别在线段CD，CE上，EA，DB分别为线段CD，CE的垂直平分线．求∠AEC的度数．【分析】根据线段垂直平分线的性质个等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．解：连接DE，∵EA，DB分别为线段CD，CE的垂直平分线．∴CE＝DE，DC＝DE，∴CD＝CE＝DE，∴∠C＝60°，∵∠CAE＝90°，∴∠AEC＝30°．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．26．（7分）已知：＝2，…，＝2，…，＝2，…，＝2⋯（1）观察上面式子的规律，把这个规律用含字母a的式子表示是；（2）若（1）中的a是△ABC的一边长，且4，8是△ABC的另两边长，①a的取值范围是4＜a＜12；②当△ABC是等腰三角形时，按上述规律对应的等式是．【分析】（1）观察等式中分子分母的数字，找出规律；（2）①根据三角形的三边关系求解；②根据等腰三角形的性质求出a的值，代入（1）中等式．解：（1），故答案为：；（2）①∵4，8是△ABC的另两边长，∴4＜a＜12，故答案为：4＜a＜12；②当△ABC是等腰三角形时，a＝8，∴，故答案为：．【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，∠BAC＝60°，BC＝1，点E，F分别在AB，AC边上，且∠AED+∠AFD＝180°．（1）用等式表示线段DE与DF的数量关系，并证明；（2）求AE+AF的长．【分析】（1）过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，利用等边三角形的性质得出∠B＝∠C＝60°，进而利用AAS证明△DEG与△DFH全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．解：（1）DE＝DF，理由如下：过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∵AB＝AC，D是BC中点，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，BD＝DC，∴∠B＝∠C＝60°，在△BDG与△CDH中，，∴△BDG