选择性必修一《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议（杨秋灵首师滨州）

章节的内容结构、地位与作用

第一部分数学思想数形结合几何眼光代数方法数形结合研究过程知识结构背景曲线的几何特征曲线的标准方程用方程研究曲线的性质应用椭圆双曲线类比抛物线类

比定义内

容直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象课程标准的要求，课程目标分析

第二部分（一）课程标准，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。4.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。、抛物线的简单应用。（二）目标解析椭圆1.能说出圆锥曲线名称的由来，知道研究圆锥曲线的方法依然是坐标法；能举例说明圆锥曲线的广泛应用。2.能通过观察利用细绳画椭圆的过程，归纳出图形上的点所满足的几何条件，抽象出椭圆的几何特征，并据此理解椭圆的定义。3.能根据椭圆定义，通过椭圆的结构特征类比求圆的方程的过程，建立适当的坐标系，选择适当的参数，如2a，2c等，按照坐标法的五步骤，合理化简含有两个根式的等式推导出椭圆标准方程，知道曲线与方程的对应关系。，用代数法研究椭圆的简单几何性质，在研究过程中，充分应用数形结合的思想，即先用几何眼光观察椭圆的几何性质，再利用椭圆的标准方程进行代数论证理解参数a，b，c，e的几何意义及其相互关系，知道用椭圆的基本量表达离心率，也可以结合三角函数知识解决离心率大小和椭圆圆扁程度的关系，理解离心率大小对椭圆形状的影响，感悟联系的观点，体会数形结合与类比的思想，能说出用代数法探究圆锥曲线性质的基本思路，体会解析几何中代数运算是基于对形的特征的把握。5.通过对例题，习题中与椭圆性质有关题目的分析，能归纳提升感受椭圆更多的几何特征，了解圆锥曲线的统一定义，并会进行简单应用。6.能梳理出研究椭圆的架构，为后续双曲线，抛物线的研究形成示范，奠定类比的基础。基础性示范性（二）目标分析双曲线1.能类比椭圆的定义，通过改变其中的运算类型，由距离之和到距离之差提出值得研究的问题；通过绘制满足条件的点的轨迹，认识双曲线的几何特征，得出双曲线的定义。2.能推导双曲线的方程，能解释方程的结构特征。3.能在直观感知双曲线几何特征的基础上，依据双曲线的标准方程用代数方法推导双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等简单几何性质。、标准方程及简单几何性质解决简单的问题，能通过双曲线与方程的学习,体会建立曲线方程，用曲线方程研究曲线性质的方法,发展数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理素养。。6.能用直线的方程和双曲线的标准方程研究直线与双曲线的位置关系，会求解直线与双曲线的交点，弦长等问题。（二）目标分析抛物线、双曲线的性质（“统一定义”），发现和提出问题，通过具体实例得出抛物线的几何特征，形成抛物线的定义。。3.能通过方程研究抛物线的几何性质，并能通过代数运算证明抛物线的简单几何性质。、抛物线的方程研究它们的位置关系。。章节内容与前后知识的横纵联系

第三部分（一）与初中知识的联系1.与直线与圆的研究不同。直线与圆是学生在初中学习了大量的用纯几何的方法证明其几何性质，在高中阶段学习一种新的方法—坐标法，来研究初中已经获得的一些几何性质，让同学们来体会坐标法的应用。2.圆锥曲线研究的图形对于学生来讲是比较陌生的图形.虽然在初中阶段学习函数的时候，同学们听说过抛物线、双曲线的名词，当时的认识只是停留在直观的感受.从二次函数的图像，经过教师的授课，知道二次函数的图像叫做抛物线；学习反比例函数时，教师告知反比例函数的图像是双曲线，并且是以坐标轴为渐近线的.对于满足什么条件的点的轨迹是抛物线、双曲线学生的认识仍然是一片空白.只有学习了本单元内容之后，学生才会对圆锥曲线有一个全面、准确的认识.（二）本章在高考中地位与作用2020 全国新课标I卷（山东卷）9圆锥曲线的方程与性质

13直线与抛物线，求焦点弦长22直线与椭圆存在性问题、定值、定点问题2021全国新课标I卷（山东卷7省）5.椭圆的方程和性质

14准线方程21直线与双曲线2022年全国新高考（1）卷I卷（山东卷7省）16椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系

11抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系21（1）双曲线的标准方程、（2）直线与双曲线的位置关系、（3）三角形的面积公式。2023年全国新高考（1）卷5.椭圆的离心率16.双曲线的离心率22（1)抛物线

（2)直线与与抛物线，导数年份试卷类型椭圆双曲线抛物线直线与圆锥曲线综合应用二小一大

占

分

22（二）本章在高考中地位与作用圆锥曲线的标准方程椭圆的定义（二）本章在高考中地位与作用椭圆的性质，直线与椭圆抛物线的准线直线与椭圆（二）本章在高考中地位与作用离心率章节内容的重难点以及突破方法

第四部分（一）重点、难点（二）突破方法1.如何讲好“方法论”首先，在章、节引言及小节中，用明确的语言表述数形结合思想和坐标法思想。第二，随时强调坐标思想，加强“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的过程，并在“如何以直角坐标系为参照，确定问题中的几何要素上”加强引导，体现从推理几何到解析几何的过渡。第三，从圆锥曲线的标准方程出发，用坐标法研究圆锥曲线的性质及数学内外的各种应用问题，引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐标法的力量。章节引言,从宏观上提出问题,给出研究目标.探究中直观感知、动手操作。（二）突破方法2.设计系列化的教学活动，引导学生开展有结构，有逻辑的系统学习。明确a、b、c的几何意义，懂得引入b的合理性和必要性，加深对椭圆标准方程的理解。3.发挥信息技术的作用，为几何直观提供方便。解析几何是形数结合的学科，“通过几何建立直观，通过代数予以表达’是其基本理念。在圆锥曲线的研究中，对它们的几何特征的直观认识是第一步，但要画出这三种圆锥曲线，及相关的图形并非易事。为此,充分地发挥信息技术的作用，注意利用动态集合软件向学生展示动点的变化规律，引导学生观察方程中参数的变化,对方程所表示的曲线形状和大小的影响，通过信息技术探究图形之间的关系.双曲线的定义的引入不再利用拉链画图探究，而是借助信息技术软件《GeoGebra》进行探究，（见课本118页）：抛物线定义的引入不是从二次函数的图像引入而是利用椭圆、双曲线的统一定义，借助信息技术展示作图过程让学生抽象概括出定义，学生学习中出现的问题与解决方法

第五部分（一）对定义的理解和掌握不够深刻

（二）运算能力与技巧不足1.椭圆的标准方程的化简在本节课中，我们鼓励学生在认真分析方程特点的基础上，自己推导椭圆的标准方程，教师引导能把握化简整理的方向∶如何去掉方程中的双根号以及合并同类项。处理方法：

直接平方，移项平方，构造共轭无理数等方式处理。平方代换法（二）运算能力与技巧不足1.椭圆的标准方程的化简（人教b版）构造共轭无理数另外统一定义焦半径（二）运算能力与技巧不足2.直线与椭圆的位置关系，弦长问题，面积问题、中点弦问题等P114方程的思想、弦长公式（设而不求）P126必要的运算是不可避免的，这是由解析几何的学科特征决定的。①.运算能力的发展是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次的发展，因为要求学生要动笔算、去体验，不能仅限于知道方法。整体意识（二）运算能力与技巧不足2.直线与椭圆的位置关系，弦长问题，面积问题、中点弦问题等P116

②提高运算能力不仅从代数角度入手，还要努力提高学生的几何图形分析能力，也就是落实数形结合思想。公式的选择中点弦问题、参数方程课本P116（三）综合能力不足当前教学实际看，各种教辅资料中充斥着大量解析几何题，诸如单动点轨迹问题、双动点轨迹问题、多动点轨迹问题，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题、存在性问题……·些题目的解答往往需要一些特定技巧，需要学生投入大量时间和精力，但对理解圆锥曲线的定义与性质却起不了多大作用。甚至有些学生，一知半解直接代入辅导资料中公式结论应用，这对学生夯实基础，提高数学素养没有帮助，反而起了抑制作用，这种现状需要改变。突破方法：对圆锥曲线的教学建议分阶段进行，教学内容的难度要螺旋上升，不要一步到位，综合和联系的目光要聚焦在核心概念上。第一阶段，完成教材内容，重视教材中的例题和练习题，对于例题，要仔细讲解，适当拓展，对于练习题，要学生认真练习，多问问学生为什么，理解解题方法；第二阶段，补充练习，如弦长公式的练习，如何求三角形的面积，怎样解决椭圆中点弦的问题，如何求解以圆锥曲线为背景的简单范围问题等等，让学生掌握常规题型的求解。第三阶段，归纳总结，有对方法的总结，也可以对某种题型的解法进行总结，通性通法，不盲目拔高。第四阶段，整章教学完成后，可以进行两种曲线的综合练习。教学建议

第六部分教参给出本章教学约需13课时，建议增加3课时椭圆5课时双曲线3课时抛物线3课时直线与圆锥曲线（重点是直线与椭圆）2课时文献阅读与数学写作，解析几何的形成与发展1课时复习与小结2课时（一）课时分配1.新教材《曲线与方程》不再作为独立单元呈现.（二）教学建议相关点代入法直接法定义法交轨法但课本上编选了大量的求轨迹方程的题目，在解决这些问题的过程中要向学生渗透求曲线方程的一般步骤，建立曲线的方程后，就着建立方程的过程讨论“曲线上的点的坐标都满足方程”、“以方程的解为坐标的点都在曲线上“，使学生潜移默化中体验曲线与方程之间的一一对应关系。同时要向学生归纳求曲线方程的常用方法：直接法、相关点代入法、定义法、待定系数法、轨迹法等。改变运算类型，提出值得研究的问题，更加明确曲线的几何特征平面内到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹是什么？平面内到两定点的距离之商为常数的动点的轨迹是什么？卡西尼卵形线阿氏圆2、以坐标法为核心纽带3、重视对研究对象几何特征的分析

（二）教学建议教学中一定要注意“先用几何眼光观察，再用坐标法推理、论证和求解”的基本思路4、注意用好教科书中的例题、习题

教科书中的例题与习题，其选编的原则是帮助学生深入理解圆锥曲线的几何特征，熟练运用坐标法研究圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，并解决有一定综合性的问题。使学生认识到认真解答这些题目的重要性，必要时可以对有关题目进行适当的变式拓展。通过习题变式拓展补充一些常见的结论和方法。焦点三角形的周长、面积、顶角变化焦半径及其最值通径5、注意用好教科书中的阅读与应用题

6、要重视解题过程中思想方法的提炼与运用①方程思想：解析几何的求解问题基本都转化为求解方程问题，一般地，未知数的个数和方程（或题中独立条件）的个数一样．另外，有些探究性问题也常常转化为对方程解的讨论．

②函数思想：对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线段的长度及a、b、c、e之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效．从另一视角看，当题中独立条件的个数少于未知数的个数时，所研究的问题就会转化为某一个或几个未知数的函数问题．③分类讨论：解析几何问题常常需要分类讨论,例如涉及到直线的斜率是否存在，涉及到最值问题中某个参数是否为0，以及几何背景中某一位置关系是否具有多种可能，等等。④数形结合：解析几何是数形结合的典范，解决解析几何问题应充分挖掘图形的直观和曲线的几何性质，才能更好地简化解答过程．几何上多走一小步，代数上简化一大步．⑤对称思想:由于圆锥曲线和圆都具有对称性质,所以在有些问题中可以使分散的条件相对集中,减少一些变量和未知量,简化计算，提高解题速度，促成问题的解决．⑥参数思想：很多解析几何问题，在解题过程中可先引入适当的参数(如倾斜角，斜率，点的坐标，圆锥曲线方程中的参数等)刻画点、直线或圆