第7章 直梁弯曲

思政教育7直梁弯曲

剪力和弯矩的计算方法——截面法直梁弯曲时的强度条件本章要点：剪力和弯矩的计算方法；剪力方程和弯矩方程；横力弯曲时正应力和切应力计算。应掌握内容：7.1梁的类型及计算简图1.弯曲变形

杆件受到垂直轴线的外力或位于轴线所在平面的力偶作用，杆件轴线变弯。此类变形称为弯曲变形，通常将承受弯曲变形的杆件称为梁。2.工程实例

杆件都是受到与杆轴线相垂直的外力（横向力）或外力偶的作用。

其变形为杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。受力特点：变形特点：

梁的类型及计算简图以弯曲为主要变形的杆件称为梁。

梁的类型及计算简图

梁的类型及计算简图3.简单静定梁的分类1）简支梁

梁的两端分别为固定铰支座和活动铰支座，如图(a)所示。

2）外伸梁

简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁，如图(c)所示。

3）悬臂梁

梁的一端为固定端，另一端为自由端的梁，如图(b)所示。7.2梁弯曲时的内力7.2.1.弯曲内力——剪力和弯矩如图所示简支梁AB受集中力P作用，设其约束反力分别为RA，RB。在距左支座x处用假想截面将梁截开，取左脱离体进行分析。由梁的平衡可知，在m-m截面上必存在内力Q和力偶M。对右脱离体也有同样的结果。由此可知梁的内力有两项：一项为与横截面相切的力，称为剪力，记为Q；另一项是矩矢垂直于轴线的力偶，称为弯矩，记为M。

梁弯曲时的内力

可以看出，剪力Q在数值上，等于截面m-m以左所有外力在梁轴垂线（y轴）上投影的代数和。弯矩M在数值上，等于截面m-m以左所有外力对截面形心的力矩的代数和。所以，Q和M可用截面左侧的外力来计算。如以右段为研究对象，用相同的方法也可求得截面m-m上的剪力Q和弯矩M。且在数值上，Q等于截面m-m以右所有外力在梁轴垂线上投影的代数和；M在数值上，等于截面m-m以右所有外力对截面形心力矩的代数和。因为剪力Q和弯矩M是左段与右段之间在截面上相互作用的内力，所以，右段作用于左段的剪力Q和弯矩M，必然在数值上等于左段作用于右段的剪力Q和弯矩M，但方向相反。

梁弯曲时的内力剪力、弯矩的正负号规定如下：使梁的脱离体产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负；使梁的脱离体下侧受拉而上侧受压的弯矩规定为正，反之为负，如图所示。对某一指定的截面来说，在它左侧向上的外力，或右侧向下的外力将产生正的剪力；反之，即产生负的剪力。至于弯矩，则无论在指定截面的左侧或右侧，向上的外力产生正的弯矩，而向下的外力产生负的弯矩。

梁弯曲时的内力

【例7-1】用截面法计算图示梁1-1，2-2，3-3截面上的内力。三个面到支座A的距离分别为x1，x2，x3。【解】根据先外力后内力的原则，先计算约束反力RA，RB。列平衡方程

梁弯曲时的内力

梁弯曲时的内力再利用截面法，分别在1-1，2-2，3-3截面处截开，取左脱离体，受力图见图(a~c)。

图(b)：图(c)：图(d)：

梁弯曲时的内力对于截面3-3的内力计算，也可取右脱离体，如图(e)所示。代入RA，RB，M0和P的值即可得到各截面的剪力和弯矩的表达式。若把x1，x2，x3看作是沿轴线方向的变量x，则得到的内力就是截面位置x的函数，称为内力方程：

梁弯曲时的内力【例7-2】求下列图中指定截面的剪力和弯矩，并确定其正、负号。正正

梁弯曲时的内力正正正正正

梁弯曲时的内力7.2.2.剪力方程和弯矩方程以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为x的函数，即：，这就是梁的剪力方程和弯矩方程。7.2.3剪力图和弯矩图梁弯曲时，横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分别称为剪力图和弯矩图。

梁弯曲时的内力【例7-3】外伸梁及其所受荷载如图所示。试作梁的剪力图和弯矩图。【解】

（1）求支座反力：RA=7kN，RB=5kN

梁弯曲时的内力

梁弯曲时的内力【例7-4】已知：G,a,b,l,画梁AB内力图解：1〉求A,B支座反力(a+b=l)2〉求x截面内力

a)0<x<a

b)a<x<l

梁弯曲时的内力根据以上条件，画出剪力图、弯矩图最大剪力Qmax在AC(b>a)（或CB,a>b）段Qmax=Gb/l最大弯矩在C截面处Mmax=Gab/l本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即：Q=Q(x)

M=M(x)

梁弯曲时的内力【例7-5】作图示梁的内力图。求支座反力FAy,FBy得：FAy=-FBy=M/lAC段x截面处剪力Q=FAy,同理可求得BC段剪力与AC段相同，剪力图如左AC段弯矩方程M1M1=FAy·x=M

·x/LBC段弯矩方程M2M2=FAy

·x-M=M(x-

L)/L

梁弯曲时的内力【例7-6】悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图写出A点x处截面的剪力方程和弯矩方程剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在B点，且

梁弯曲时的内力M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m求A、B处支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN剪力图：如图，将梁分为三段AC：q=0,FQC=FAYCB：q<0,FQB=-8.5kNBD：q<0,FQB=6kN弯矩图：AC：q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.MCB：q<0,抛物线,FQ=0,MB=6.04BD：q<0,开口向下，MB=-6kN.m7.3梁纯弯曲时的强度条件平面弯曲横力弯曲纯弯曲剪力Q≠0弯矩M≠0剪力Q=0弯矩M≠0纯弯曲：平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度

梁纯弯曲时的强度条件纯弯曲正应力公式推导：如上图1、2得纵向变形：根据胡克定律，可知：由图3得：几何关系物理关系即对照以上各式，得：其中：Iz为截面对z轴的惯性矩

梁纯弯曲时的强度条件由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正应力应该在其上下边缘：即|y|的最大值处.引入弯曲截面系数Wz=Iz/ymax，最大正应力公式为：惯性矩计算：A定义式：B积分式：矩形截面Iz的计算：如图

梁纯弯曲时的强度条件梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应力，故有：和对于等截面梁，可以写成：对于脆性梁，其抗拉、抗压性能不等时，应分别予以设计。通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。弯曲正应力

梁纯弯曲时的强度条件图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝30MPa，许用压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。分析：1、画出梁的弯矩图（确定最大弯矩及其所在截面）2、求出梁的最大拉应力和最大压应力值3、校核强度解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，画出弯矩图如b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即：

C点为上压下拉，而B点为上拉下压FAFB

梁纯弯曲时的强度条件2、求出B截面最大应力最大拉应力（上边缘）：最大压应力（下边缘）：

第5章

梁纯弯曲时的强度条件3、求出C截面最大应力在截面C上虽然弯矩MC的绝对值小于截面B上MB

，但MC是正弯矩，最大拉应力发生于截面C的下边缘各点处，而这些点到中性轴的距离比较远，因而就有可能发生比截面B上还要大的拉应力：

故梁强度足够

梁纯弯曲时的强度条件

梁纯弯曲时的强度条件

梁纯弯曲时的强度条件

梁纯弯曲时的强度条件

梁纯弯曲时的强度条件

梁纯弯曲时的强度条件

梁纯弯曲时的强度条件

梁纯弯曲时的强度条件

7.2弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

7.2.1梁的纯弯曲

当梁的横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的情况，称为纯弯曲。

7.2.2纯弯曲时梁横截面上的正应力当y=ymax时，

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

形心轴惯性矩弯曲截面系数7.2.3惯性矩和弯曲截面系数

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

7.2.4梁的弯曲强度计算

在横力弯曲的情况下，弯矩将沿梁轴线变化，对于等截面梁，此时的最大正应力应发生在最大弯矩所在的截面（危险截面）上，即

或

max≤[

]

强度条件

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

（1）对塑性材料

（2）对脆性材料

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

图示为一矩形截面简支梁。已知：F=5kN，a=180mm,b=30mm，h=60mm，试求竖放时与横放时梁横截面上的最大正应力。例题7

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

解：（1）求支反力FAy=FBy=5kN（2）画弯矩图

例题7

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

竖放时最大正应力

横放时最大应力

例题7

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

下图为T型铸铁梁。已知：F1=9kN，F2=4kN，铸铁的许用拉应力[

t]=30MPa，许用压应力[

c]=60MPa，截面对形心轴z的惯性矩Iz=763cm4，y1=52mm。试校核梁的强度。例题8

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

解：（1）求支反力∑MC=0，FAy=2.5kN∑MA=0，FCy=10.5kN（2）画弯矩图MA=MC=0MB=FAy×1m=2.5kN·mMC=F2×1m=－4kN·m例题8

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

（3）强度校核Mmax=MC=－4kN·mC截面例题8

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

B截面

梁满足强度条件。

例题8

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

一单梁吊车由32b号工字钢制成，见右图，梁跨度l=0.5m，梁材料为Q235钢，许用应力[

]=140MPa，电葫芦自重G=15kN，梁自重不计，求该梁可能承载的起重量F。例题9

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

解：（1）求支反力（2）求最大弯矩

（3）计算许可载荷F

Mmax

Wz例题9FAyFByMmaxMx

弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算

Mmax

Wz=（140×106N/m2）×（726.33×10-6m3）

=1.02×105N·m=102kN·m由得例题97.3弯曲变形的概念7.3.1挠曲线

7.3.2挠度和转角

轴线上任一点在垂直于x轴方向的位移，即挠曲线上相应点的纵坐标，称为该截面的挠度，用w表示。

挠