2021年中考数学考点一遍过-考点16 特殊的平行四边形

考点16特殊的平行四边形

”•考情分析与预测

本单元内容是考查重点，年年都会考查,分值为15分左右，预计2021年各地中考还将出现，并且在选择、填空

题中考查利用特殊四边形性质和判定求角度、长度问题的可能性比较大.解答题中考查特殊四边形的性质和

判定,一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大.对于本单元内容,

要注重基础，反复练习，灵活运用.

I

」知识整合

一、矩形的性质与判定

1.矩形的性质：

1）四个角都是直角；2）对角线相等且互相平分；3）面积=长乂宽=2S/MBD=4SA4O8.（如图）

2.矩形的判定：

1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；2）有三个角是直角；3）对角线相等的平行四边形.

二、菱形的性质与判定

1.菱形的性质：

I）四边相等：2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；3）面积=底x高=对角线乘积的一半.

2.菱形的判定：

1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；2）对角线互相垂直的平行四边形；3）四条边都相等的四边形.

三、正方形的性质与判定

1.正方形的性质：

1）四条边都相等，四个角都是直角；2）对角线相等且互相垂直平分；3）面积=边长X边长=2SAABD=4S“OB.

2.正方形的判定：

1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；2）一组邻边相等的矩形；

3）一个角是直角的菱形；4）对角线相等且互相垂直、平分.

四、联系

（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角.

五、中点四边形

1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.

2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.

3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.

4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

&重点考向,

考向一矩形的性质

1.矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的

对角线相等.

2.利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一

半.

典例引领

1.（2020•广东广州市•中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点、0,AB=6，BC=8,过

点。作交AO于点E，过点E作EELBZ），垂足为F,则OE+E/7的值为（）

ED

【答案】C

【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10,由矩形的性质得出A0=5,证明口4。七口口4）。得到0E的长，

再证明口。£/口口。84可得至IJEF的长，从而可得到结论.

【详解】•.•四边形ABCD是矩形，.•.AC=3。，ZABC=ZBCD=ZADC=NBAD=90。

•/AB=6»BC=8AD=BC=8,DC=AB=6

:.AC^\IAB2+BC2=10-30=1（），.•.QA=gAC=5，

•/OE1AC，ZAOE=90。，ZAOE=ZADC.

AQAPFQ

又NCAD=Z-DAC,.9[AOEI!ADC,/.----....----，

ADACCD

5Appn75157

・•・一=—==，=OE=一,：.DE=一,同理可证，口。所口口。&4，

8106444

7

,DEEFL.21.八厂厂厂152124…4

..=，4FF,..EF=—，..OE+EF=1=—，故选：C.

BDBA•二会=丁204205

10o

【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键.

2.（2020•山东济南市•中考真题）如图，在矩形纸片ABC。中，A£>=10,A8=8,将A8沿4£翻折，使点8

落在8'处,AE为折痕；再将EC沿£尸翻折，使点。恰好落在线段E8上的点C'处，EF为折痕,连接AC.若

CF=3,则tanNB'AC'=____.

___________________.D

【答案

【分析】连接4F，设CE=x,用x表示A£、EF,再证明/AEF=90。，由勾股定理得通过AF进行等量代换

列出方程便可求得x,再进一步求出B'C,便可求得结果.

【详解】解：连接AF,设C£=x,则C'E=CE=x,BE=B'E=10-x,

•四边形A8CD是矩形，.\AB=CD=S,AD=BC=\O,ZB=ZC=ZD=90°,

...AE2=A82+8¥=82+(10-X)2=164-20X+N,E7^=C¥+C产=/+32=9+9,

由折叠知，ZAEB=ZAEB',NCEF=NC'EF,

,：ZAEB+ZAEB'+ZCEF+ZC/EF=180°,ZAEF=ZAEB,+ZC'EF=90°

：.AF1=AEr+EF1=\M-20x+x2+x2+9=2x2-20x+173,

'：AF2=AD2+DF2=\O2+（8-3）2=125,：.2x2-20x+173=125,解得，x=4或6,

当x=6时，EC=EC'=6,BE=B，E=8-6=2,EOB'E,不合题意，应舍去，

：.CE=C'E=4,：.B'C'=B'E-C'E=（10-4）-4=2,

B'C'21s2”1

,.•NB'=N8=90°,A8'=48=8,/.tanZB'AC=-------故答案为：一.

A'B'844

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键.

变式拓展

1.（2020•贵州毕节市•中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BO相交于点。，点E,尸分别

是A。，AZ）的中点，连接石万，若AB=6c，n,BC=8cm,则EF的长是（）

BC

A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm

【答案】D

【分析】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的

长即可.

【详解】：四边形ABCD是矩形，.,.ZABC=90°,AC=BD,OA=OC=OD=OB,

*/AB-6cm»BC-8cm,'AOJ4g2+尾27G+82=10cm•'•BD=10cm,CD=*,

•.•点E，/分别是AO，AD的中点，.•.EF=L0D='x5=2.5a〃.故选：D.

22

【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.

2.（2020•内蒙古中考真题）如图，在顾ABC中，NACB=90°,。是AB的中点，BE上CD,交C£）的

延长线于点E.若AC=2,BC=26,则BE的长为（）

A.巫B.1C.eD.V2

32

【答案】A

【分析】根据题意将BD,BC算出来，再利用勾股定理列出方程组解出即可.

【详解】•..AC=2,BC=2V^.，AB=^22Z^2X/^=2瓜

BE2+DE2=3

：D是AB的中点,.・.AD=CD=BD=0.由题意可得，/广\2

BE?+（DE+6）=8

两式相减得：（OE+6『-DE?=8一3,解得DE=/,BE=2困，故选A.

【点睛】本题考查直角三角形中点性质和勾股定理，关键在于找出等式列出方程组.

考向二矩形的判定

1.矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.

典例引领

1.（2020•湖北中考真题）已知口438中，下列条件：①A5=BC：②AC=B。：③ACLBD：@AC

平分N班。，其中能说明口488是矩形的是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】根据矩形的判定进行分析即可.

【详解】A.AB=BC,邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；

B.=对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；

C.ACLBD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；

D.AC平分NWQ,对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误.故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键.

2.（2020•北京中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G在

AB上，EF±AB,OG〃EF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.

【分析】（1）先证明EO是ADAB的中位线，再结合已知条件OG〃EF,得到四边形OEFG是平行四边形，再

由条件EF1AB,得到四边形OEFG是矩形；

（2）先求出AE=5,由勾股定理进而得到AF=3,再由中位线定理得到OE=，AB=，AD=5,得至l」FG=5,最

22

后BG=AB-AF-FG=2.

【详解】解：（1）证明:；四边形ABCD为菱形，，点O为BD的中点，

二•点E为AD中点，；.OE为AABD的中位线，.\OE〃FG,

•••OG〃EF,.•.四边形OEFG为平行四边形「EFLAB,.•.平行四边形OEFG为矩形.

（2）；点E为AD的中点，AD=10,/.AE=-Ar>=5

2

2222

VZEFA=90°,EF=4,...在RsAEF中，/^p=AE-EF=yj5-4=3-

•四边形ABCD为菱形，；.AB=AD=10,，OE」AB=5,

2

.四边形OEFG为矩形，；.FG=OE=5,，BG=AB-AF-FG=1035=2.故答案为：OE=5,BG=2.

【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定属于

中考常考题型，需要重点掌握.

变式拓展

1.（2020•山东聊城•中考真题）如图，在Rt/XABC中，AB=2,NC=30°,将绕点A旋转

得到RtAA'B'C',使点3的对应点8'落在AC上，在8'。'上取点。，使BD=2,那么点。到BC的距

离等于（）.

A.2—+1B.4+1C.V3-1D.V3+1

I3）3

【答案】D

【分析】根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得AB'的长，进而可得8C的长，过点。作。M

于点M,过点8'作BZJ.BC于点E，RFLDMF点F,如图，则四边形彼是矩形，解Rt

△EEC可得B'E的长，即为根的长，根据三角形的内角和易得NB'DN=NC=30°,然后解

可求出。尸的长，进一步即可求出结果.

【解析】解：在中，VAB=2,ZC=30°，：.AC=2AB=4,

•.•将Rt^ABC绕点A旋转得到RtAA'B'C',使点3的对应点3'落在AC上，

.•.AB'=AB=2，,5'C=2,

过点。作于点M,过点5'作5'ELBC于点区于点F,交4c于点N,如图，则四

边形9是矩形，=

在RtZ\B'EC中，B'E=B'C-sin30°=2x—=1,FM-1,

2

•；ZDB'N=NCMN=90°,NB'ND=NMNC,：.NB'DN=ZC=30°,

在RtZ\67）F中，£>F=5,r>-cos30°=2x—=V3.:•DM=FM+DF="6

2

即点。到BC的距离等于G+l.故选：D.

rD

【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练学

握解直角三角形的知识是解题的关键.

2.（2020•山东聊城•中考真题）如图，已知平行四边形A8CD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC

的延长线于点F,且AF=A。，连接8凡求证：四边形ABFC是矩形.

【答案】见解析

【分析】先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理

与性质可得A6=CV，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABFC是平行四边形，又根据等量代换可得

BC=AF,最后根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）可得四边形ABFC是矩形.

【解析】..•四边形ABCD是平行四边形AB//CD,AB=CD,AD=BC

：.NBAE=ZCFE,ZABE=NFCE

：E为BC的中点，EB=EC:NABE^VFCE（AAS）：.AB=CF

•：AB//CF.•.四边形ABFC是平行四边形

\-AF=AD：.BC=AF二平行四边形ABFC是矩形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、矩形的判定等知识点，熟

练运用各判定与性质是解题关键.

考向三菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等;

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

典例引领

1.（2020•江苏无锡市•中考真题）如图，在菱形ABC。中，々=50。，点E在CD上，若AE=AC,则

ZBAE=.

【答案】115°

【分析】先根据菱形性质求出/BCD,ZACE,再根据AE=AC求出/AEC,最后根据两直线平行，同旁

内角互补解题即可.

【详解】解：四边形ABCD是菱形，NB=50。，；.AB〃CD,

/.ZBCD=180o-ZB=130°,ZACE=—ZBCD=65°，

2

AE^AC,.*.ZACE=ZAEC=65°,AZBAE=1800-ZAEC=115°.

【点睛】本题考查了菱形性质，等腰三角形性质，解题方法较多，根据菱形性质求解/ACE是解题关键.

2.（2020•广西中考真题）如图，在菱形ABC。中，点E,F分别是边A。，A8的中点.

（1）求证：口A8Eq]ADE;（2）若BE=6，/C=60°,求菱形ABC。的面积.

【答案】（1）详见解析；（2）273.

【分析】（1）利用菱形的性质，由SAS证明口A8E空ADP即可；

（2）证△A3。是等边三角形，得出求出4。即可.

【详解】（1）证明：；四边形ABCD是菱形，.•.4B=A£>,•..点E,尸分别是边A£>,48的中点，

AB=AD

在AABE和口ADE中，,NA=NA，，口至£知ADE(SAS)；

AE=AF

（2）解:连接8力，如图:

•.,四边形A8CD是菱形，...ABnAC,NA=NC=60。，,AA3D是等边三角形,

:点E是边A£>的中点，：.BE±AD,：.ZABE=30°,

4E/T

tanZABE=tan30°=——1AE=—BE=l,A8=2AE=2,：.AD=AB=2,

BE3

菱形ABC。的面积=ACXBE=2X7J=26.

【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的面积的计算，掌握以上知识是解题

的关键.

变式拓展

1.（2020•辽宁葫芦岛市•中考真题）一张菱形纸片A8CD的边长为6cm,高等于边长的一半，将菱形

纸片沿直线MN折叠，使点A与点8重合，直线MN交直线CO于点/，则DF的长为cm.

【答案】36+3或36-3

【分析】先根据题目中描述画出两种可能的图形，再结合勾股定理即可得解.

【详解】解：由题干描述可作出两种可能的图形.①MN交DC的延长线于点F,如下图所示

22

•.•高AE等于边长的一半.•.AE=gAO=3在RtZXADE中，pf=yjAD-AE=3^

又•沿MN折叠后，A与B重合EF=^AB=3：.DF=DE+EF=3^3+3

②MN交DC的延长线于点F,如下图所示

同理可得AE=3，DE=36，EF=3此时，DF=DE-EF=3>j3-3

故答案为：3G+3或36-3.

【点睛】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、勾股定理等相关知识点，根据题意作出两种图形是解题

关键.

2.（2020•甘肃金昌市•中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以

调节AE间的距离，若A石间的距离调节到60s,菱形的边长45=2（km,则的度数是（）

A.900B.100°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得AB=5C,AD〃5C,再根据全等的性质可得

AC=-AE^20cm,然后根据等边三角形的判定与性质可得4=60。，最后根据平行线的性质即可得.

3

【详解】如图，连接AC•.•四边形ABCD是菱形AB=BC=20cm,AD//BC

•••如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，AE=60cm

：.AC=-AE=2QcmAB=BC=AC.QABC是等边三角形，NB=60°

3

AD//BC：.ZDAB=180°-Z5=l80°-60°=l20°故选：C.

【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌

握菱形的性质是解题关键.

考向四菱形的判定

菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

典例引领

1.（2020•江苏南通市•中考真题）下列条件中，能判定。A8C。是菱形的是（）

A.AC=BDB.ABVBCC.AD=BDD.AC±BD

【答案】D

【分析】根据菱形的判定条件即可得到结果；

【详解】解：；四边形4BCO是平行四边形，...当4CL8O时，四边形A8CO是菱形；故选：D.

【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确理解条件是解题的关键.

2.（2020•山东滨州市•中考真题）如图，过nABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分

别交边AB、BC.CD、DA于点P、M、Q、N.（1）求证：UPBE^UQDE；（2）顺次连接点P、M、Q、

N,求证：四边形PMQN是菱形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）由ASA证aPBE丝4QDE即可；（2）由全等三角形的性质得出EP=EQ,同理△BMEgZ\DNE

（ASA）,得出EM=EN,证出四边形PMQN是平行四边形，由对角线PQLMN,即可得出结论.

【详解】（1）证明:•.•四边形ABCD是平行四边形,；.EB=ED,AB〃CD,/.ZEBP=ZEDQ,

ZEBP=ZEDQ

在APBE和aaDE中，＜EB=ED,.,.APBE^AQDE（ASA）；

NBEP=NDEQ

（2）证明：如图所示：

VAPBE^AQDE,，EP=EQ,同理：ZkBME名Z\DNE(ASA),，EM=EN,

...四边形PMQN是平行四边形，；PQ，MN,...四边形PMQN是菱形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的

判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

变式拓展

1.（2020•内蒙古通辽市•中考真题）如图，AD是DA5c的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列

条件，能判断口4。。£是菱形的是（）

AE

BI）C

A.NB4c=90°B.ZDAE=90°C.AB^ACD.AB=AE

【答案】A

【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.

【详解】解：A、若Nfi4c=90。，则AD=BD=CD=AE,1•四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE

为菱形，故选项正确；

B、若NZME=90°,则四边形ADCE是矩形，故选项错误：

C、若AB=AC，则NADC=90。，则四边形ADCE是矩形，故选项错误；

D、若A6=AE，而AB>AD,则AEWAD,无法判断四边形ADCE为菱形，故选项错误.故选A.

【点睛】本题考查了菱形的判定，还涉及到平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的

关键是掌握判定定理.

2.（2020•湖南郴州市•中考真题）如图，在菱形ABCO中，将对角线AC分别向两端延长到点E和尸，使

得AE=b.连接DE,DF,BE,BF.求证：四边形8石。尸是菱形.

【答案】见解析

【分析】连接BD,由菱形ABCD的性质得出OA=OC,OB=OD,AC1BD,得出OE=OF,证出四边形BEDF

是平行四边形，再由EFLBD,即可证出四边形BEDF是菱形.

【详解】证明：连接BD,交AC于O,如图所示：

•四边形ABCD是菱形，，OA=OC,OB=OD,AC1BD,

VAE=CF,.\OE=OF,，四边形BEDF是平行四边形，

VEF1BD,四边形BEDF是菱形.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与

性质.

考向五正方形的性质

正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质.

典例引领

1.(2020•浙江金华市•中考真题)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCO与正方

s

形EFGH.连结EG,8。相交于点。，8。与”C相交于点P.若GO=GP,则正—。的值是()

A.1+V2B.2+72C.5-72D.?

【答案】B

【分析】证明D8PG@DBCG(AM),得出PG=CG.设OG=PG=CG=X,则成7=左，FG=血，由

勾股定理得出BC2=（4+2应优，则可得出答案.

【详解】解：•••四边形EFGH为正方形，\?EG"45?,NFGH=90°,

QOG=GP,\?GOP?OPG67.5?,\?PBG22.5?,

又•/ZDBC=45°,\?GBC22.5?,\?PBG?GBC,

Q?BGP?BG90?,BG=BG，\DBPG@DBCG（ASA）,\PG=CG.

设OG=PG=CG=x,:。为EG,BO的交点，\EG=2x,FG=旧，

...四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图，，，\BF=CG=x,\BG=x+瓜，

\BC-=BG2+CG2=X2（V2+I）2+x2=（4+2近）£,：.5方姓品:=24）x=^.故选：台.

S正方形EFGH2X

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，宜角三角形的性质等知识，熟

练掌握勾股定理的应用是解题的关键.

2.（2020•内蒙古呼和浩特市•中考真题）如图，正方形A8C。，G是3C边上任意一点（不与B、C重合），

DE_LAG于点E,BFHDE,且交AG于点F.（1）求证：AF—BF=EF；（2）四边形BEDE是否可

能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）不可能，理由见解析

【分析】（1）证明AABF也4DAE,从而得到AF=DE,AE=BF,可得结果；

（2）若要四边形是平行四边形，则DE=BF,则NBAF=45。，再证明NBAF*5。即可.

【详解】解：（1）证明：：正方形ABC£＞，，AB=AD,ZBAF+ZDAE=90°,

VDE±AG,.•./DAE+NADE=90。，/.ZADE=ZBAF,

乂,：BFHDE,AZBFA=90°=ZAED,7.AABF^ADAE（AAS）,

；.AF=DE,AE=BF,:.AF-BF=AF-AE=EF；

（2）不可能，理由是：如图，若要四边形5EDE是平行四边形，

已知DE〃BF,则当DE=BF时，四边形BFDE为平行四边形，

VDE=AF,；.BF=AF,即止匕时NBAF=45。，而点G不与B和C重合,

Z.ZBAF#45°,矛盾，，四边形BEDE不能是平行四边形.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是找到三

角形全等的条件.

变式拓展

1.（2020•广西中考真题）如图，在口A5c1中,BC=120,高AO=6(),正方形EFG"一边在8c上,

点分别在AB,AC上，AD交EF于息N,则AN的长为（）

C.25D.30

【答案】B

【分析】证明△AEFs^ABC,根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得.

EFAN

【详解】解：•••四边形EFGH是正方形，；.EF〃BC,AAEF^AABC,/.——=——.

BCAD

设AN=x,则EF=FG=DN=60-x,.•.让三=二解得：x=20所以，AN=20.故选：B.

12060

【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键.

2.（2020•山东滨州市•中考真题）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为

2囱,0,4则正方形ABCD的面积为

【答案】4g+14

【分析】如图，将4ABP绕点B顺时针旋转90°得到ACBM,连接PM,过点B作BHJ_PM于H.首先证

明NPMC=90°,推出NCMB=NAPB=135°,推出A,P,M共线，利用勾股定理求出AB?即可.

【详解】解：如图，将4ABP绕点B顺时针旋转90°得到4©8乂，连接PM,过点B作BHLPM于H.

,.•BP=BM=V5，NPBM=9()。,；.PM=^PB=2,

VPC=4,PA=CM=27J,.\PC2=CM2+PM2,/.ZPMC=90°,

：NBPM=NBMP=45°,；.NCMB=NAPB=135°,；.NAPB+NBPM=180°,AA,P,M共线,

•；BH_LPM,；.PH=HM,，BH=PH=HM=I,；.AH=26+1,，AB2=AH2+BH2=(2石+1)2+12=14+46，

正方形ABCD的面积为14+4月.故答案为14+46.

【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的

关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题.

考向六正方形的判定

正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且

相等的四边形是正方形.证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方

法证明四边形是正方形.

典例引领

1.（2020•山东滨州市•中考真题）下列命题是假命题的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.B.对角线互相垂直的矩形是正方形.

C.对角线相等的菱形是正方形.D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

【答案】D

【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可.

【详解】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；

对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；对角线相等的菱形是正方形，正确；

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；可知选项D是错误的.故选：D.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

关键是要熟悉课本中的性质定理.

2.（2020•广西玉林市•中考真题）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,且

OA^OB=OC^OD=—AB.（1）求证：四边形ABCD是正方形；

2

（2）若H是AB上的一点（H与A,B不重合），连接DH,将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线

段HE,过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F,G,设四边形BGEF的面积为凡，以HB,

BC为邻边的矩形面积为S?,且S|=S2,当A8=2时，求AH的长；

【答案】⑴证明见解析；⑵AH=4S-\.

【分析】（1）由题根据。4=O8=OC=OD可得对角线相等且互相平分，可得四边形ABCD是矩形，又

因为在AAOB中，利用勾股定理逆定理可得出AAOB为等腰直角三角形，可得

ZAOB=ZBOC=ZDOC=ZDOA=90°,所以ABOC也是等腰直角三角形，可得AB=BC,所以得

出四边形ABCD是正方形；

（2）根据题意，易证得ADAH三AEG"，可得4）="G=A8=2,设AH=x,则

BH=AB—AH=2—x,BG=HG-BH=2-（2-x）=x,可得S1=f,则

S2=BHBC=2（2-x）=4-2x,令岳=邑，即：f=4一2x，解方程即可得出A"的长.

【详解】解：（1）依题意可得：•••04=05,0。=。。，二四边形ABCD为平行四边形；

乂Q4=08=0C=。£＞，；.AC=BD四边形ABCD为矩形；

又•.•在AAO8中，OA^OB,且三边满足QA2+O52=AB2

••・AAC®为等腰直角三角形：.•.NC4B=45。，

•.•/。班=90°一・.448=45。，.・.他=8。.，四边形438为正方形；即：四边形ABC。为正方形.

（2）由题可得：DH=HE,ADHE=90°,­.-ZAHB=180°.ADHA+A.EHG=90°

又ZAHD+ZADH=90°ZADH=NEHG，

NDAH=NEGH=90°

在ADAH1JAZMH中\NADH=NEHG：.ADAH=\EGH（AAS）

DH=HE

设■=%,则3"=AB—AH=2—x，BG=HG-BH=2-@-x）=x

2

可得：S,=X,S2=BHBC=2（2-X）=4-2X,令耳=&，可得f=4—2x，

解得：X,=75-1.£=一右一1（舍去）.即4/=右一1.

【点睛】本题考查正方形的判定以及与正方形相关的几何证明.在证明正方形的时候必须先证明四边形是矩

形或者菱形，然后得出正方形；如果题中涉及到边之间的关系是在或夜倍的关系，则利用勾股定理逆定

2

理验证是否是等腰直角三角形；如果遇到直角比较多的地方，注意观察题中是否有一线三垂直，要积累和

熟练应用这个全等模型.

变式拓展

1.（2020•四川眉山市•中考真题）下列说法正确的是（）

A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】B

【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐•判断后即可

确定正确的选项.

【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形错误，如等腰梯形；

B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；

C、对角线相等的四边形是矩形错误，如等腰梯形；

D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形错误，如一般四边形对角线也可以互相垂直且相等.

故选：B.

【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方

形的判定定理，难度一般.

2.(2020•山东威海市•中考真题)如图，在平行四边形中，对角线A3=10,AD=6,

。为8。的中点，E为边AB匕一点，直线E。交CZ)于点F,连结。E，BF.下列结论不成立的是()

A.四边形。石8厂为平行四边形B.若AE=3.6,则四边形OEBE为矩形

C.若AE=5,则四边形。石8F为菱形D.若AE=4.8,则四边形尸为正方形

【答案】D

【分析】根据平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理进行逐一判断即可得解.

【详解】A.•.•四边形ABCD是平行四边形.IDC//AB：.ZFDO=NEBO'：0为BD的中点，DO=BO

NFDO=ZEBO

在AFDO与/XEBO中,。。=3。GFDO=UEBO(ASA)DF=BE

NDOF=ZBOE

又•:DC//AB：.四边形DEBF为平行四边形，故A选项正确；

B.假设AB=10.AT>=6/.BD=VAB2-AD2=8

ii2s,__________

S=-A£)xBD=-x6x8=24/.DE==4.8:DELAB：.AE=AD2-DE2=3.6

ABD22AB

则当AE=3.6时，DErAB\•四边形DEBF为平行四边形，四边形DEB尸为矩形，故B选项正确；

C.VAE=5,AB=1()；.E是A8中点；BDYAD--DE=AE=BE

•；四边形尸为平行四边形，四边形DEBF为菱形,故C选项正确：

D.当AE=4.8时与AE=3.6时矛盾，则OE不垂直于48,则四边形DEB尸不为矩形，则也不可能为正方

形，故。选项错误，故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性侦及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理，熟练掌握相关

性质及定理的几何证明方法是解决本题的关键.

考向七中点四边形

1.中点四边形一定是平行四边形；

2.中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.

典例引领

1.（2020・山东荷泽•中考真题）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对

角线一定满足的条件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分

【答案】C

【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角

线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形.

根据题意画出图形如下：答：AC与BD的位置关系是互相垂直.

证明：•.•四边形EFGH是矩形，...NFEHngO。，

又•.•点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，；.EF是三角形ABD的中位线，

AEF/7BD,ZFEH=ZOMH=90°,

又•.•点E、H分别是AD、CD各边的中点，.，.EH是三角形ACD的中位线，

；.EH〃AC,/OMH=/COB=90°,即AC_LBD.故选C.

【点睛】此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题

的关键.

2.（2020•山东德州市♦中考模拟）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中

点四边形.

（1）如图1,四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证：中点四边形

EFGH是平行四边形；

（2）如图2,点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,ZAPB=ZCPD,点E,F,G,H分

别为边AB,BC,CD,DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使NAPB=/CPD=90。，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.（不

必证明）

【答案】（I）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形.

【分析】（1）如图1中，连接BD,根据三角形中位线定理只要证明EH〃FG,EH=FG即可.（2）四边形

EFGH是菱形.先证明△APCgZ\BPD,得至ljAC=BD,再证明EF=FG即可.（3）四边形EFGH是正方形,

只要证明NEHG=90。，利用△APCg/XBPD,得NACP=NBDP,即可证明NCOD=NCPD=90。，再根据平行

线的性质即可证明.

【详解】（1）证明：如图1中，连接BD.

•.•点E,H分别为边AB,DA的中点，；.EH〃BD,EH=-BD,

2

♦.•点F,G分别为边BC,CD的中点，，FG〃BD,FG=-BD,

2

.♦.EH〃FG,EH=GF,...中点四边形EFGH是平行四边形.

（2）四边形EFGH是菱形.

证明：如图2中，连接AC,BD.VZAPB=ZCPD,

，ZAPB+ZAPD=ZCPD+ZAPD,即ZAPC=ZBPD,

在AAPC和ABPD中，VAP=PB,ZAPC=ZBPD,PC=PD,AAPC^ABPD,；.AC=BD.

•.•点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点，.-.EF=-AC,FG=-BD,

四边形EFGH是平行四边形，，四边形EFGH是菱形.

（3）四边形EFGH是正方形.

证明：如图2中，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.

VAAPC^ABPD,.\ZACP=ZBDP,VZDMO=ZCMP,/.ZCOD=ZCPD=90°,

VEH/7BD,AC〃HG,AZEHG=ZENO=ZBOC=ZDOC=90°,

•••四边形EFGH是菱形，四边形EFGH是正方形.

考点：平行四边形的判定与性质；中点四边形.

变式拓展

1.（2020•全国九年级其他模拟）如图，四边形ABC。中，AC=m,BD=n,S.AC1BD,顺次连接四边形

ABCO各边中点，得到四边形ABiGDi,再顺次连接四边形A181C1D1各边中点，得到四边形Az&CzZh......,

如此进行下去，得到四边形485c5。5的周长是（）

【答案】A

【分析】根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形AiBiGDi是矩形，根据菱形的判定定理得到

四边形A?B2c2D2是平行四边形，得到四边形A5B5C5D5为矩形，计算即可.

【详解】解：点4,。分别是A3、AZ）的中点，A\D\=-BD=-n,

22

同理：B\C\//BD,B\C\^—BD=—n,：.A\D\//B\C\,A\D\=B\C\,

22

二四边形ASG。是平行四边形，•.•ACL8D,AC//AiBi,BD//A\D\,：.AtBi±A\Di,

...四边形AIBIGOI是矩形，其周长为2X（一/?H-----〃）=,〃+",

22

同理，四边形2c2。2是平行四边形，

YA2&=，4G,B2c2=，4G,二4&=82C2,...四边形432c2O2是菱形，

22

4-Hm4-n

同理，3c3。3为矩形，周长为-----，，矩形A585C5A的周长为------，故选：A.

24

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、菱形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，

并且等于第三边的一半是解题的关键.

2.（2020•广东珠海市•九年级二模）顺次连接菱形四边的中点得到的四边形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.以上都不对

【答案】C

【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于笫三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行

四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EFLFG,然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断.

【详解】解：如图，［四边形ABCD是菱形，，AC_LBD,

VE,F,G,H是中点，，EF〃BD,FG〃AC,AEFIFG,

同理：FG1HG,GH±EH,HE±EF,，四边形EFGH是矩形.故选：C.

【点睛】本题考查菱形的性质与判定定理，矩形的判定定理以及三角形的中位线定理.

考向八特殊四边形的动态问题

典例引领

1.（2020•江苏南通市•中考真题）如图①，E为矩形A