广西专版2023-2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第2课时函数的最大小值训练提升新人教版选择性必修第二册

第2课时函数的最大(小)值课后·训练提升基础巩固1.函数f(x)=elnx-x在区间(0,2e]内的最大值为()A.1-e B.-1 C.-e D.0答案:D解析:函数f(x)=elnx-x,则f'(x)=ex-1=e当x∈(0,e)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e,2e)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故当x=e时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,最大值为f(e)=elne-e=0,故选D.2.函数f(x)=x4-4x(|x|<1)()A.有最大值,无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,有最小值D.既无最大值,也无最小值答案:D解析:f'(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).令f'(x)=0,得x=1.∵x∈(-1,1)且1∉(-1,1),∴该方程无解,故函数f(x)在区间(-1,1)内既无极值也无最值,故选D.3.若函数f(x)=x3-3x在区间(-2,m)内有最大值,则m的取值范围是()A.(-1,+∞) B.(-1,1]C.(-1,2) D.(-1,2]答案:D解析:由于f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),故函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)内单调递增,在区间(-1,1)内单调递减,f(-1)=f(2)=2,画出函数图象大致如图所示,由于函数f(x)在区间(-2,m)内有最大值,根据图象可知m∈(xB,xA],即m∈(-1,2],故选D.4.若关于x的不等式x3-3x+3+a≤0恒成立,其中-2≤x≤3,则实数a的最大值为()A.1 B.-1 C.-5 D.-21答案:D解析:若关于x的不等式x3-3x+3+a≤0在区间[-2,3]上恒成立,则a≤-x3+3x-3在区间[-2,3]上恒成立,令f(x)=-x3+3x-3,x∈[-2,3],则当x∈(-2,3)时,f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),令f'(x)>0,解得-1<x<1,令f'(x)<0,解得x>1或x<-1,故f(x)在区间[-2,-1)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增,在区间(1,3]内单调递减,而f(-2)=-1,f(-1)=-5,f(1)=-1,f(3)=-21,故a≤-21,故a的最大值为-21.5.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是()A.15 B.-15 C.10 D.-13答案:D解析:f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值,知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,解得a=3,由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在区间[-1,0)内单调递减,在区间(0,1]内单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为直线x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.故f(m)+f'(n)的最小值为-13.6.(多选题)设函数f(x)=exlnx,则下列说法正确的是A.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方B.f(x)存在单调递增区间C.f(x)有且仅有两个极值点D.f(x)在区间(1,2)内有最大值答案:AB解析:因为f(x)=exlnx,当x∈(0,1)时所以f(x)<0,即f(x)在区间(0,1)内的图象都在x轴的下方,所以A正确;f'(x)=exlnx-1x(lnx)2,因为f'(x)所以B正确;令g(x)=lnx-1x,则g'(x)=1x+1x2(x>0),所以g'(x)>0,函数g(x)单调递增,则只有一个根x0,使得f'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)由g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12>0,得函数f(x)在区间(1,2)内先减后增,没有最大值,所以D不正确,故选AB7.已知函数f(x)=2x-sinx,当x∈[0,1]时,函数y=f(x)的最大值为.

答案:2-sin1解析:因为f'(x)=2-cosx>0,所以函数f(x)=2x-sinx是R内的增函数,故当x∈[0,1]时,函数y=f(x)的最大值为f(1)=2-sin1.8.函数f(x)=4xx2+1(x∈[-2,2])的最大值是,答案:2-2解析:f'(x)=4(令f'(x)=0,得x1=-1,x2=1.由f(-2)=-85,f(-1)=-2,f(1)=2,f(2)=85,得f(x)max=2,f(x)min=-9.已知函数f(x)=13x3-x2-x+m在区间[0,1]上的最小值为13,则实数m的值为答案:2解析:由f(x)=13x3-x2-x+m,可得f'(x)=x2-2x-1,令x2-2x-1=0,可得x=1±2当x∈(1-2,1+2)时,f'(x)<0,即函数f(x)在区间(1-2,1+2)内单调递减,即f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1),所以13-1-1+m=13,解得m=10.已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,π解:(1)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x∈0,π2时,h'(x)<0,所以h(x)在区间所以对任意x∈0,π2,有h(x)<h(0)=0,即当x∈0,π2时,f'所以函数f(x)在区间0,π因此f(x)在区间0,π2上的最大值为f(0)=1,最小值为fπ能力提升1.若函数f(x)=-x3-3x2+1在区间[a,+∞)内的最大值为1,则a的取值范围是()A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)C.(-3,0) D.[-3,0]答案:D解析:∵f(x)=-x3-3x2+1,∴f'(x)=-3x2-6x,令f'(x)=0,解得x=0或x=-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减由f(x)=-x3-3x2+1在区间[a,+∞)内的最大值为1,得-x3-3x2+1=1,解得x=0或x=-3.当x>0时,f(x)<f(0)=1,当x<-3时,f(x)>f(-3)=1,∴a的取值范围为[-3,0].2.关于函数f(x)=(2x-x2)ex的说法:①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};②f(-2)是极小值,f(2)是极大值;③f(x)没有最小值,也没有最大值.其中正确的是()A.①② B.①②③ C.②③ D.①③答案:A解析:①因为ex>0,所以要想f(x)>0,只需2x-x2>0,解得{x|0<x<2},故①中说法正确.②f(x)=(2x-x2)ex的定义域是R,f'(x)=(2-2x)ex+(2x-x2)ex=(2-x2)ex,令f'(x)=0,得x=-2或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.x(-∞,-2)-2(-2,2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减故f(-2)是极小值,f(2)是极大值,所以②中说法正确.③由图象(图略)知f(2)为最大值,无最小值,故③中说法错误.3.若实数m的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点,则称函数f(x)具有“凹凸趋向性”.已知f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(x)=mx-2lnx,当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时,m的取值范围是(A.-2e,C.-∞,-2e D答案:B解析:f'(x)=mx-2lnx=m-2xlnxx(x>0),若函数f(x)具有“凹凸趋向性”,则m=2xlnx在区间(0,令g(x)=2xlnx,则g'(x)=2(1+lnx),由g'(x)>0,解得x>1e,由g'(x)<0,解得0<x<1e,得g(x)在区间0,1e内单调递减故g(x)的最小值是g1e=-2当x>0,且x→0时,g(x)<0,且g(x)→0,故-2e<m<04.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-axa>12,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为答案:1解析:∵f(x)是奇函数,且当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,∴当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.在区间(0,2)内,令f'(x)=1x-a=0,得x=1a,当0<x<1a时,f'(x)>0;当1a<x<2时,f'(x∴f(x)max=f1a=-lna-1=-1,解得a=15.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是.

答案:(-∞,2ln2-2]解析:由题意知ex-2x+a=0有根,即存在x满足a=2x-ex,令g(x)=2x-ex,则g'(x)=2-ex,令g'(x)=0,解得x=ln2.则g(x)在区间(-∞,ln2)内单调递增,在区间(ln2,+∞)内单调递减,∴g(x)max=2ln2-eln2=2ln2-2,∴a≤2ln2-2.6.已知函数f(x)=2x2-lnx.若f'(x0)=3,则x0=,若f(x)在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是.

答案:11解析:∵函数f(x)=2x2-lnx,x∈(0,+∞),∴f'(x)=4x-1x由f'(x0)=3,x0>0,解得x0=1.令f'(x)=0,得x=12当0<x<12时,f'(x)<0,当x>12时,f'(x)∴当x=12时,f(x)取得极小值,也是最小值由题意可知,k-1<12<∴实数k的取值范围是1≤k<32,即k∈17.已知函数f(x)=x3-92x2+6x+a,若∃x0∈[-1,4],使f(x0)=2a成立,则实数a的取值范围是.答案:-解析:f(x0)=2a,即x03-92x02可化为x03-92x设g(x)=x3-92x2+6x,则g'(x)=3x2-9x+6,令g'(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2)=0,得x=1或x=2又g(1)=52,g(2)=2,g(-1)=-232,g(4)由题意,g(x)min≤a≤g(x)max,则-232≤a≤168.已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-a若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.若a>0,则当x∈0,1a时,f'(x)当x∈1a,+∞时,f'(x所以f(x)在区间0,1a内单调递增,在区间1综上,当a≤0时,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,当a>0时,f(x)在区间0,1a内单调递增,在区间1(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在区间(0,+∞)内无最大值;当a>0时,f(x)在x=1a处取得极大值且为最大值最大值为f1a=ln1a+a1-1a因此-lna+a-1>2a-2,即lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,则g(a)在区间(0,+∞)内单调递增,且g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).9.已知函数f(x)=ax2+x+aex,若当x∈[0,2]时,f(x)解:当x∈[0,2]时,f(x)≥1e2恒成立,即a≥ex-设g(x)=ex-2-x则有g(x)max≤a,当x∈(0,2)时,g'(x)=(e令h(x)=ex-2(x-1)+(x+1),x∈[0,2],则当x∈(0,2)时,h'(x)=xex-2+1>0,∴h(x)在区间[0,2]上单调递增,∴h(x)≥h(0)=1-1e2>令g'(x)>0,解得1<x<2,此时函数g(x)单调递增;令g'(x)<0,解得0<x<1,此时函数g(x)单调递减.而g(0)=1e2,g(2)=-∴g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)=1e∴a≥1e2,故a的取值范围是10.已知函数f(x)=lnx+ax(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是32,求a的值解:函数f(x)=lnx+ax的定义域为(0,+∞),f'(x)=1(1)若a≤0,则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若a>0,令f'(x)=0,即x-ax2=当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.(2)当x∈[1,e]时,分如下情况讨论:①当a<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a<1,这与函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是32相矛盾②当a=1时,由(1)知,函数f(x)在区间[1,e]上