广西专版2023-2024学年新教材高中数学第四章数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式训练提升新人教版选择性必修第二册

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式课后·训练提升基础巩固1.在等比数列{an}中,若a2022=8a2021,则公比q的值为()A.2 B.3 C.4 D.8答案:D解析:由等比数列的定义,知q=a2022a20212.在等比数列{an}中,若|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则通项公式为an等于()A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1 C.(-2)n D.-(-2)n答案:A解析:设等比数列{an}的公比为q,由a5=-8a2,知a5a2=-8=q3,得q=-2,因为a5>a2,所以a5>0,a2<0,即a1=a5q4>0,所以a1=1,故an=3.若正数a,b,c组成等比数列,则log2a,log2b,log2c一定是()A.等差数列B.既是等差数列又是等比数列C.等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列答案:A解析:由题意得b2=ac(a,b,c>0),则log2b2=log2ac,即2log2b=log2a+log2c,故log2a,log2b,log2c成等差数列.4.已知a,b,c∈R,如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9答案:B解析:根据题意,得b2=(-1)×(-9)=9,且b与首项-1同号,即b=-3,且a,c必同号.故ac=b2=9.5.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9 B.10 C.11 D.12答案:C解析:在等比数列{an}中,∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=a15q10=q∵am=a1qm-1=qm-1,∴m-1=10,∴m=11.6.(多选题)下列说法中,正确的是()A.等比数列中的每一项都不可以为0B.等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞)C.若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列答案:AC解析:对于A,因为等比数列中的各项都不为0,所以A正确;对于B,因为等比数列的公比不为0,所以B不正确;对于C,若一个常数列是等比数列,则这个常数不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以C正确;对于D,只有当a,b,c都不为0时,a,b,c才成等比数列,所以D不正确.故选AC.7.已知等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于()A.2 B.4 C.6 D.8答案:B解析:根据题意,得an=(n+8)d,且ak2=a1·a2即[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.8.已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=,d=.

答案:23-解析:∵a2,a3,a7成等比数列,∴a32=a2a∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),即2d+3a1=0.①又2a1+a2=1,∴3a1+d=1.②由①②解得a1=23,d=-19.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为.

答案:64解析:设等比数列{an}的公比为q,由a解得a故a1a2…an=a1nq1+2+…+(n-1)=8n×12n(n-1)2=2-12n2+72n,10.已知数列{an}为等比数列,且an>0,满足a3=4,a5,3a4,a6构成等差数列,数列{bn}满足bn=log2an+log2an+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意,得a5+a6=6a4⇒q+q2=6,解得q=2或q=-3(舍).由a3=4,得a1=1,故an=a1qn-1=2n-1.(2)因为bn=log2an+log2an+1=n-1+n=2n-1,所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列,Sn=n(b111.已知数列{an},{bn}满足a1=0,a2=1,an+2=an+an+12,bn(1)求证:{bn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.(1)证明根据题意,得b1=a2-a1=1,且bn=an+1-an≠0.∵an+2=an∴bn+1b∴{bn}是公比为-12的等比数列(2)解由(1)知公比q=-12故bn=1×-1能力提升1.如图所示,在“三角形数阵”中,每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,设第i行第j列的数为aij(i,j∈N*),则a53的值为()113……A.116 B.1C.516 D.答案:C解析:因为第一列构成首项为14,公差为14的等差数列,所以a51=14+(5-1)又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为54,公比为12的等比数列,故a53=2.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以12为首项的等比数列,则mn等于(A.32 B.C.23 D.答案:B解析:不妨设12是x2-mx+2=0的根,则m=92,其另一个根为4,对方程x2-nx+2=0,设其根为x1,x2(x1<x2),则x1x2=2,等比数列为12,x1,x设其公比为q,可得q3=412=8,q=2,则x1=1,x2=2,可得n=x1+x2=1+2=3,故同理,若x=12是方程x2-nx+2=0的根,则mn=23.若{an}为公比大于1的等比数列,a3=2,a2+a4=203,则数列{an}的通项公式为.答案:an=2×3n-3解析:设等比数列{an}的公比为q,且q>1,则a2=a3q=2q,a4=a即2q+2q=203,解得q1=13(舍去)或q2由q=3,知a1=29,故an=29×3n-1=2×3n-4.若k,2k+2,3k+3是等比数列的前三项,则第四项为.

答案:-27解析:因为k,2k+2,3k+3成等比数列,所以k(3k+3)=(2k+2)2,解得k=-4或k=-1(舍去),所以公比q=-6-4=32,即该等比数列的前三项依次为-4,-6,-9,所以第四项为-5.若数列{an}的前n项和为Sn,且an=2Sn-3,则数列{an}的通项公式是.答案:an=3×(-1)n-1解析:令n=1,得a1=2a1-3,解得a1=3.由an=2Sn-3,得an-1=2Sn-1-3(n≥2),两式相减得an-an-1=2an(n≥2),即an=-an-1(n≥2),则an≠0,anan-1=-故{an}是公比为-1的等比数列,an=3×(-1)n-1.6.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,且Sn+1=qSn+1,其中q>0.若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式.解:由Sn+1=qSn+1①,可知当n≥2时,Sn=qSn-1+1②,由①-②,可得an+1=qan,当n=1时,S2=qS1+1,即a1+a2=qa1+1,解得a2=q≠0,则an≠0,an+1an=q(因为a2a1=q,所以{an}是公比为根据2a2,a3,a2+2成等差数列,由等差数列的性质,可得2a2+a2+2=2a3,即2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-12由q>0可知,q=2,故an=2n-1.7.设数列{an}的首项a1=a≠14,且an+1=设bn=a2n-1-14,n=1,2,3,…(1)求a2,a3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.解:(1)根据题意,可知a2=a1+1