2020年中考数学一轮复习培优训练：《圆》

2020年中考数学一轮复习培优训练：《圆》1．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．2．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．3．（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结PA、PB、PC．①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．4．感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．5．已知：AB是⊙O直径，点E、F是弦AD、CD延长线上的点，∠F＝∠BAD；（1）求EF与AC的位置关系．（2）连接CE交⊙O于G，连接BD，若2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，求证：AC＝CE．（3）在（2）的条件下，延长AB、EF交于K，EK＝2AC，AK＝10，△AEK的面积＝18，求线段EK的长度．6．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．7．（2019秋•如皋市期中）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若∠BAO＝30°，CD＝2．（1）求⊙O的半径；（2）若点P在上运动，设点P到直线BC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．8．如图：已知△ADC内接于⊙€O，AO是€⊙O的半径．点E是CD上一点，连接AE，∠DAE＝∠CAO．（1）求证：AE⊥CD；（2）如图2，延长AO交CD于点G，交€⊙O于点B，过B作BF⊥CD于F．求证：CF＝DE；（3）如图3，M是弧CD的中点，连接CM交AB于点H，连接AM交CD于点N，连接DM．若CN＝DM，AD＝，tan∠CGB＝，求€⊙O的半径．9．已知，如图△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，BD＜DC，过点A、D、C三点的⊙O交AB于点F，点E在上，连接DF、AE、DE、CE．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）若，请用题意可以推出的结论说明命题：“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．10．如图1，在⊙O中，弦AB与半径OC交于点E，连接AC、OB，∠BOE＝2∠OEB．（1）求证：AC＝EC；（2）如图2，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，垂足为M，连接CB，求证：CD＝CB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DO并延长DO交AB于点F，连接CF、BD，过点M作MP⊥DB于点P，交DF于点Q，连接OP，若∠DFC＝90°，QO＝1时，求线段OP的长度．11．已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E为弧AC上一点，连接BE．（1）如图1，求证：∠CEB＝∠DEB；（2）如图2，若弦CD经过圆心O，过点A作AF⊥AE交DE于，求证：CE＝DF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交ED、EB于点H、G，连接BF，若CG＝2，AH＝3，求BF的长．12．已知，△ABC内接于€O，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点D．（1）如图1，求证：AD⊥BC；（2）如图2，过点B作AC的垂线，交AD于点E，交⊙O于点F，垂足为点G，连接CF，求证：CF+FG＝BG；（3）如图3，在（2）的条件下，P为弧AC上一点，弧PF＝弧CF，连接PA、PB、PC，PB交AD于点M，交AC于点N，若PB＝16，PC＝10，求△AMN的面积．13．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点O，以点O为圆心，OB的长为半径作圆，与AB边交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点P为⊙O上的动点（含点E，B），连接BD、BP、DP．①当点P只在BE左侧半圆上时，如果BC∥DP，求∠BDP的度数；②若Q是BP的中点，当BE＝4时，直接写出CQ长度的最小值．14．如图，AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，C是切点，EA交弦BC于点D、交⊙O于点F，连接CF：（1）如图1，求证：∠ECB＝∠F+90°；（2）如图2，连接CD，延长BA交CE于点H，当OD⊥BC、HA＝HE时，求证：AB＝CE；（3）如图3，在（2）的条件K在EF上，EH＝FK，S△ADO＝，求WE的长．15．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦且与AB交于点E（E不与O重合），CE＝DE，点F在弧AD上，连接AD、CF、DF，CF交AB于点H，交AD于点G．（1）如图1，求证：∠CFD＝2∠BAD；（2）如图2，过点B作BN⊥CF于点N，交⊙O于点M，求证：FN＝CN+DF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CF至点Q，连接QA并延长交BM的延长线于点P，若∠Q＝∠ADF，HE＝BE，AQ＝2DG＝10，求线段PN的长．

参考答案1．（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DFA，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．2．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．3．解：（1）①PA+PB＝PC，理由如下：∵线段PC经过点O，∴PC是⊙O的直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∴PA＝PC，PB＝PC，∴PA+PB＝PC；②PA+PB＝PC，理由如下：在PC上截取PD＝PA，连接AD，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠APD＝∠ABC＝60°，∵PD＝PA，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠PAD＝60°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠PAB，在△ACD和△ABP中，，∴△ACD≌△ABP（SAS），∴DC＝PB，∴PA+PB＝PD+DC＝PC；（2）在AC上截取ED＝AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，如图3所示：∵PE⊥AC，DE＝AE，∴PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA＝∠CDG．∵∠PAD＝∠G．∴∠CDG＝∠G，∴CG＝CD，又∵PA平分∠FAC，∴∠BAC＝180°﹣2∠PAD＝180°﹣（∠PAD+∠PDA）＝∠APG．∴∴，∴AB＝CG．∴AC﹣AB＝AC﹣CD＝AD＝2AE，即2AE＝AC﹣AB＝7﹣4＝3，∴AE＝．4．（1）①证明：如图1中，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠A+2∠ABD＝90°，∴△ABD为“类直角三角形”．②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°，∴∠ABE+2∠A＝90°，∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°∴∠A＝∠CBE，∴△ABC∽△BEC，∴＝，∴CE＝＝，（2）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AD＝6，AB＝10，∴BD＝＝＝8，①如图2中，当∠ABC+2∠C＝90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA，∵∠DBF+∠DAF＝180°，且∠CAD＝∠AOD，∴∠CAD+∠DAF＝180°，∴C，A，F共线，∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°∴∠C＝∠ABF，∴△FAB∽△FBC，∴＝，即＝，∴AC＝．②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，∴∠C+2∠ABC＝90°，∵∠CAD＝∠CBF，∠C＝∠C，∴△DAC∽△FBC，∴＝，即＝，∴CD＝（AC+6），在Rt△ADC中，[（ac+6）]2+62＝AC2，∴AC＝或﹣6（舍弃），综上所述，当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．5．解：（1）如图1，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD＝∠ABD，且∠F＝∠BAD，∴∠HCD+∠F＝90°，∴∠H＝90°，∴AC⊥EF；（2）如图2，延长FE，AC交于点H，连接BD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠HCD＝∠ABD，∵2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，且∠HCD＝∠CAE+∠ADC，∴∠CAE+∠ADC＝2∠CAE+∠DAG，∴∠ADC＝∠CAE+∠DAG，且∠AGC＝∠ADC，且∠AGC＝∠AEC+∠GAD，∴∠CAE+∠DAG＝∠GAD+∠AEC，∴∠AEC＝∠CAE，∴AC＝CE；（3）如图3，过点K作KM⊥AE，过点E作EN⊥AK，过点A作AP⊥CE，交EC的延长线于P，∵∠H＝∠AMK＝90°，∠AEH＝∠MEF，∴∠HAE＝∠MKE，且∠HAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠MKE，∵PA⊥AE，∠HAE＝∠CEA，∴∠CPA＝∠CAP，∴PC＝AC，且AC＝CE，∴PE＝2AC，且EK＝2AC，∴PE＝EK，且∠PAE＝∠KME＝90°，∠CEA＝∠MKE，∴△PAE≌△EMK（AAS）∴AE＝MK，∵AK＝10，△AEK的面积＝18，∴AK×EN＝×10×EN＝18，AE×MK＝×AE2＝18，∴EN＝，AE＝6，∴AN＝＝＝，∴KN＝AK﹣AN＝，∴EK＝＝＝2．6．（1）证明：连接OC．∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线．（2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF．（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴＝3，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，在RT△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN+MN＝9，∴CD＝＝＝3．7．解：（1）连结OB，如图，∵AB、CD是⊙O的切线，∴DB＝DC＝2，OB⊥AB，CD⊥OA，∴∠ABO＝∠ACD＝90°，∵∠BAO＝30°，∴AD＝2CD＝2BD，∴AD＝4，AB＝AD+BD＝6，∴OB＝AB＝2，即⊙O的半径为2；（2）∵∠BAO＝30°，∴∠BOC＝60°，∵点P到直线BC的距离为x，∴△PBC的面积为×2×x＝x，弓形BC的面积＝扇形COB的面积﹣△COB的面积＝＝2，∴y＝x+2，当点P到BC的垂线经过圆心O时，其值最大，即2+3，∴自变量x的取值范围是0≤x≤2+3．8．（1）证明：如图1中，延长AO交⊙O于M，连接CM．∵AM是直径，∴∠ACM＝90°，∴∠CAM+∠M＝90°，∵∠CAO＝∠DAE，∠D＝∠M，∴∠DAE+∠D＝90°，∴∠AED＝90°，∴AE⊥CD．（2）证明：如图2中，连接BC，延长AE交⊙O于H，连接DH．∵∠CAO＝∠DAE，∴＝，∴DH＝BC，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°＝∠ACB，∴∠ACD+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACD＝∠CBF，∵∠H＝∠ACD，∴∠H＝∠CBF，∵∠DEH＝∠BFC＝90°，∴△BFC≌△HED（AAS），∴CF＝DE．（3）解：如图3中，作GM⊥AD于M，作NJ⊥AB于J，连接BC．∵∠CGB＝∠AGE，AE⊥CD，∴tan∠CGB＝tan∠AGE＝＝，设AE＝4k，EG＝3k，则AG＝5k，∵＝，∴DM＝CM，∠DAM＝∠MAC，∵CN＝DM，∠ACN＝∠AMD，∴△ACN≌△AMD（AAS），∴AN＝AD，∵AE⊥DN，∴DE＝EN，∠DAE＝∠NAE＝∠CAB＝∠MAB，∵NE⊥AE，NJ⊥AB，∴NE＝NJ，∵＝＝＝＝，∴EN＝EG＝k，∴DN＝k，DG＝k，∴AD＝＝＝k，∵•AD•GM＝•DG•AE，∴GM＝＝，∴AM＝＝＝k，∵∠GAM＝∠CAE，∠AMG＝∠AEC＝90°，∴△AEC∽△AMG，∴＝，∴＝，∴AC＝k，∵△ACB∽△AED，∴＝，∴＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径为5．9．解：（1）∵AB＝AC，∠B＝∠C，∵四边形AFDC是圆内接四边形，∴∠AFD+∠C＝∠BFD+∠AFD＝180°，∴∠BFD＝∠C，∴∠BFD＝∠B，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；（2）如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，则四边形ABDE是平行四边形是假命题；∵＝，∴DE＝AC，∵AB＝AC，∴AB＝DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠C＝∠E，∴∠B＝∠E，﹣＝﹣，∴＝，∴AE＝CD＞BD，但四边形ABDE不是平行四边形，∴“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．10．（1）证明：如图1中，延长CO交⊙O于T，连接BT．∵OT＝OB，∴∠T＝∠OBT，∵∠EOB＝∠T+∠OBT＝2∠T，∠EOB＝2∠OEB＝2∠AEC，∴∠T＝∠AEC，∵∠A＝∠T，∴∠A＝∠AEC，∴CA＝CE．（2）证明：如图2中，作OH⊥BC于H，OF⊥CD于F．∵OC＝OB，OH⊥BC，∴∠COH＝∠BOH，∵∠EOB＝2∠OEB＝2∠CEM，∴∠COH＝∠CEM，∴∠CEM+∠OCF＝90°，∠OCH+∠OCH＝90°，∴∠OCH＝∠OCF，∵OF⊥CD，OH⊥CB，∴OF＝OH，∵OC＝OC，∠OFC＝∠OHC＝90°，∴Rt△COF≌Rt△COH（HL），∴CF＝CH，∵DF＝CF，CH＝BH，∴CD＝CB．（3）延长CO交BD于T，连接TF，TM．∵CD＝CB，∠DCO＝∠BCO，∴CT⊥BD，DT＝BT，∵OC＝OD，∴∠FDC＝∠TCD，∵∠DFC＝∠CTD＝90°，CD＝DC，∴△CDT≌△DCF（AAS），∴DT＝CF，∠TDC＝∠FCD，DF＝CT，∴∠TDF＝∠FCT，∵△TDF≌△FCT（SAS），∴∠DFT＝∠CTF，∵∠DOC＝∠FOT，∴∠OCD＝∠OTF，∴CD∥TF，∴∠BTF＝∠BDC＝∠FCM，∵CF＝BT，∠CMF＝∠TFB，∴△CMF≌△TFB（AAS），∴FT＝CM，∴四边形FTMC是平行四边形，∴TE＝EC，EM＝EF，∵DF＝CT，OD＝OC，∴OT＝OF，∴∠OTF＝∠OFT，∵∠OTF+∠FET＝90°，∠OFT+∠OFE＝90°，∴∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF＝OT，∵OE∥MO，EF＝EM，∴OQ＝OF＝1，∴ET＝EC＝2，∴OD＝OC＝3，∴DQ＝2，∵QP∥OT，∴＝＝，∴＝＝，∴PQ＝，∴DP＝＝＝，DT＝2，∴PT＝DT﹣DP＝2﹣＝，∴OP＝＝＝．11．解：（1）如图1中，∵CD⊥AB，AB是直径，∴＝，∠CEB＝∠DEB．（2）如图2中，连接AC、AD，∵AB⊥CD，OC＝OD，∴AC＝AD，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∵AE⊥AF，∠EAF＝∠AOD＝45°，∴∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠EAC＝∠FAD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴CE＝DF．（3）过点A作AS⊥CE交CE的延长线于S，AT⊥ED于T，过点E作EN⊥AC于N．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠DEG＝90°，∠SEA+∠CEB＝90°，∵∠CEG＝∠DEG，∴∠AES＝∠AED，∵AS⊥ES，AT⊥ET，∴AS＝AT，∴＝＝，∴＝，同法可证＝∴，设HG＝x，，∴x＝1，∴AC＝6，tan∠ECA＝，tan∠EAC＝，AE＝，EF＝，BE＝BF＝＝＝．12．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴＝，∵AD经过圆心O，∴AD⊥BC．（2）如图2中，设BF交AD于H，连接CH．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴HB＝HC，∵BF⊥AC，∴∠AGH＝∠BDH＝90°，∴∠HAG+∠AHG＝90°，∠DBH+∠BHD＝90°，∵∠AHG＝∠BHD，∴∠HAG＝∠DBH，∵∠GAF＝∠DBH，∴∠GAF＝∠GAH，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠GAF+∠AFG＝90°，∴∠AHG＝∠AFG，∴AH＝AF，∵AC⊥FH，∴GH＝FG，∴CH＝CF＝BH，∴BG＝BH+GH＝CF+FG．（3）如图3中，作MK⊥AB于K，MJ⊥AC于J．∵＝，∴∠PBF＝∠CBF，∴∠PBC＝2∠PBF＝2∠CAD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠CAD，∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝2∠DAC，∴∠CBP＝∠CPB，∴CB＝CP＝10，∵∠BCN＝∠CBA＝∠CBN+∠ABN，∠CNB＝∠ABN+∠BAN，∠BAN＝∠CBN，∴∠BCN＝∠BNC，∴BN＝BC＝10，∵PB＝16，∴PN＝16﹣10＝6，∵∠BCN＝∠BCA，∠CBN＝∠CAB，∴△CBN∽△CAB，∴＝，设CN＝x，∴＝，∴AC＝，∵∠ABN＝∠PCN，∠ANB＝∠PNC，∴△ANB∽△PNC，可得AN•NC＝BN•PN，∴（﹣x）＝10×6，∴x＝2（负根已经舍弃），∴CN＝2，AC＝AB＝5，AN＝3，在Rt△ADC中，AD＝＝＝15，∴S△ABC＝•AD•BC＝75，∵AN：CN＝3：2，∴S△ABN＝×75＝45，∵MJ⊥AC，MK⊥AB，∠MAB＝∠MAC，∴MJ＝MK，∴＝＝＝＝∴S△AMN＝×45＝．13．（1）证明：如图1中，连接OC．∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵OD垂直平分线段AC，∴OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝30°，∴∠OCB＝∠OCD＝30°，∵∠ODC＝∠OBC＝90°，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC（AAS），∴OD＝OB，∴AC是⊙O的切线．（2）①解：如图1中，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠DBC，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴BD＝DC＝AD，∵∠DCB＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠BDP＝60°．②解：如图2中，连接OP，取OB的中点J，连接JQ．∵BE＝4，∴OB＝OE＝OD＝OP＝2，JO＝JB＝1，∵∠OBC＝90°，∠OCB＝30°，∴BC＝OB＝2，∴JC＝＝＝，∵QP＝QB，JO＝JB，∴JQ＝OP＝1，∵CQ≥JC﹣JQ，∴CQ≥﹣1，∴CQ的最小值为﹣1．14．解：（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC∴∠OCB＝∠B∵＝∴∠F＝∠B∴∠OCB＝∠F∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE∴∠OCE＝90°∵∠ECB＝∠OCB+∠OCE∴∠ECB＝∠F+90°；（2）证明：如图2，过点C作CG⊥EF于G，连接BF，则∠CGE＝∠CGD＝90°∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°＝∠CGE＝∠CGD∵OD⊥BC∴BD＝CD在△BDF和△CDG中，∴△BDF≌△CDG（AAS）∴BF＝CG∵HA＝HE∴∠EAH＝∠E∵∠BAF＝∠EAH∴∠BAF＝∠E在△ABF和△ECG中，∴△ABF≌△ECG（AAS）∴AB＝CE；（3）如图3，过点C作CG⊥EF于G，连接AC，OC，OF，BF，由（2）知：AB＝CE，∠BAF＝∠E∵OA＝OC∴∠OCA＝∠OAC∵AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，∴∠ACB＝∠ECO＝90°，即∠ECA+∠OCA＝∠A