2021年陕西省渭南市高考数学质检试卷（文科）（一） （解析版）

2021年陕西省渭南市高考数学第一次质检测试试卷(文科)

一、选择题(共12小题).

1.已知集合A={x|x-2>0},B=\x\(x-4)(x+1)<0},则AOB=()

A.{x\-l<x<2}B.{x|2<x<4}C.{x\-l<x<4}D.{x|x>2}

2.泰+3i=()

A.2+2/B.2-2iC.-2+2zD.-2-2z

3.记S“为等差数列{斯}的前〃项和，已知S“=2〃2+3〃，则数列{斯}的公差为()

A.4B.2C.1D.—

2

4.已知函数/(x)=3«+帆3,是奇函数，则/(2)=()

A.—B.C.—D.

9999

5.在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面

临巨大损失.2011〜2020年上半年的票房走势如图所示，则下列说法正确的是()

A.自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加

B.自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年

C.2018年上半年的票房收入增速最大

D.2020年上半年的票房收入增速最小

A.

22

7.已知点A（/»,〃）在椭圆—5—=1上，则/+〃2的最大值是（）

42

A.5B.4C.3D.2

8.同时抛掷两枚骰子，正面朝上的点数都大于3的概率是（）

A•■—-B•—C,—D.—

12642

9.我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与

一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果内部小正方形的内切圆面积为JT;，外

部大正方形的外接圆半径为主返，直角三角形中较大的锐角为a,那么tan[-=（）

22

10.在三棱锥P-ABC中，PAJ_平面ABC,PA=AC=4,AB=BC=a/5,则三棱锥P-ABC外

接球的表面积是()

A."B.412Lc.41nD.处巫

436

11.已知函数/(x)=e"+sin无，若。=/(log311),c=f(--log23)»则。，

b,c的大小关系是()

A.a>c>bB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

22

12.已知双曲线C：二_2—=1的左焦点为F,点M在双曲线C的右支上，A(0,4),当

88

△M4F的周长最小时，△AMF的面积为()

A.12B.8C.6D.4

二、填空题(共4小题).

13.已知向量二E满足1口=2咱=4，且Z・E=-4V§，则向量之，E的夹角是.

‘x-y>0

14.若x,y满足约束条件<x+y-440，则2=工-丁的最大值为.

y>l

15.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”若S令=雪，a三且彳吟，则数列｛斯｝的公比q

Sm32a35m+7

16.如图，在正方体A8C£>-ABCQi中，点E在棱上，且2£>E=Ea,F是线段85

上一动点，现给出下列结论：

①EF_LAC；

②存在一点尸，使得AE〃CF；

③三棱锥。=AEF的体积与点F的位置无关.

其中所有正确结论的序号为

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求

作答.(一)必考题：共60分.

17.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,8C边上的高为叵z,/\ABC

2

的面积为〃sinAcosC+csirt4cos8=J*cosA.

(1)求。和角A；

(2)求AABC的周长.

18.为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得

的水果重量分成[15.5,16.5),[16.5,17.5),[17.5,18.5),[18.5,19.5),[19.5,20.5),

[20.5,21.5]六组进行统计，得到如图所示的统计图.

(1)估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)；

(2)从样本中重量不小于19.5克的水果中任取2个，求至少有1个水果的重量不小于

20.5克的概率.

19.如图，PAJ_平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形，A£)=2BC=2AB=6,AD//BC,

ABLBC.

(1)证明：PCA.CD.

(2)若PC=A£>,点E在线段CD上，且CE=2ED,求三棱锥A-PBE的体积.

20.已知动点M到点尸(3,0)的距离比它到直线/：x+5=0的距离小2.

(1)求动点M的轨迹E的方程.

(2)过点尸作斜率为左(AW0)的直线/'与轨迹E交于点4,B,线段AB的垂直平分线

交x轴于点M证明：一为定值.

IFN

21.已知函数f(x)=ax2+sinx-］(〃eR).

TTTT

(1)当。=1时，求曲线)，=/(x)在点(亍，f(方•))处的切线与两坐标轴围成的三

角形的面积；

(2)若对于任意的实数x恒有/(无)》sinx-cosx,求a的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

(V=1—+

22.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为《"为参数)，以坐标原点为极点，

ly=2+t

以X轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2-2pcos0-6psin0+8

=0,已知直线/与曲线C交于不同的两点M,N.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵设”,2),求情T扁的值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.设函数，(x)=|2x+3|-|x-1|.

(1)求不等式/(x)>0的解集；

(2)若f(x)的最小值是且a+2加■3c=2|m|,求/+/+『的最小值.

参考答案

一、选择题(共12小题).

1.己知集合4=国入-2>0},B={x|(x-4)(x+1)<0},则AAB=()

A.{x\-l<x<2}B.{x|2<x<4}C.{x|-l<x<4}D.{x\x>2]

解：’.•A={x|x>2},8={x|-lVx<4},

.".AAB={x\2<x<4}.

故选：B.

A.2+2zB.2-2iC.-2+2/D.-2-2/

解：危+3i=2-i+3i=2+2L

故选：A.

3.记S“为等差数列｛为｝的前〃项和，已知£=2/+3〃，则数列｛斯｝的公差为()

A.4B.2C.1D."

2

解：设d为数列｛%｝的公差，

中文,c,n(n-l),d2,/d、

0/^Sn=na^------d=yn+(a「q)n，

所以?=2,则"=4.

故选：4.

4.已知函数/(x)=3是奇函数，则/(2)=()

A82口82「80

999

解：根据题意，函数/(x)=37+少3”是奇函数，则/(-x)=-/(x),

即3'+/3*=-(3*+。3*),变形可得(a+1)(3V+3-V)=0,

解得“=-1,

则f(2)=3-2-32=察，

y

故选：D.

5.在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面

临巨大损失.2011〜2020年上半年的票房走势如图所示，则下列说法正确的是（)

A.自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加

B.自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年

C.2018年上半年的票房收入增速最大

D.2020年上半年的票房收入增速最小

解：对于选项A：由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减,

所以选项A错误，

对于选项由图易知自2011年以来，增速为负的有3年，所以选项B错误，

对于选项C：2017年上半年的票房收入增速最大，所以选项C错误，

对于选项。：2020年上半年的票房收入增速最小，所以选项。正确.

故选：D.

c.

x

令/(x)=0,则/川x|=0,即x=l或-1,

：.f(x)过点(1,0)和(-1,0),排除选项O,

故选：B.

22

7.已知点4(w,n)在椭圆三_二_=］上，则，/+/的最大值是()

42

A.5B.4C.3D.2

22

解：由题意可得至则毋=4-2〃2,故,〃2+〃2=4-〃2.

42

因为-所以0W『W2,所以2W4-/W4,即2・病+〃2・4.

故选：B.

8.同时抛掷两枚骰子，正面朝上的点数都大于3的概率是()

A.——B.--C.—D.—

1264

解：两枚骰子正面朝上的点数分别记为a,b,则(a,b)的所有情况有36种，

其中符合条件的情况有(4,4),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,4),(6,5),(6,6),共9种，

故所求概率P洛0.

364

故选：C.

9.我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与

一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果内部小正方形的内切圆面积为:，外

部大正方形的外接圆半径为反但，直角三角形中较大的锐角为a,那么tanW=()

2

3

解：。由题意可知小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,

设直角三角形短的直角边为x,则长的直角边为x+1,

由勾股定理得x?+(%+1)2=25,

解得x=3,

43

所以sina==，cosa=-r-)

bb

.a

sin77

故选：D.

10.在三棱锥尸-ABC中，PAJ_平面ABC,PA=AC=4,AB=BC=a/5,则三棱锥P-ABC外

接球的表面积是()

C.41nD冗

解：如图，设O为三棱锥P-A8C外接球的球心，

O'为aABC外接圆的圆心，连接00',OB,O'B.

在△A8C中，AC=4,AB=BC=2v用，

(2V5)2+(2V5)2-423

则由余弦定理可得COS/AK>

2X275X2V5-5

从而sinNABC=4,故△ABC的外接圆半径“0,B=0.A：J

52sinZABC2

因为PA=4,所以。。'=2,

所以外接球半径R=OB=―B2O702=Y/1,

故三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4TTR2=41TT.

故选：C.

11.已知函数/(x)=Z+siar,若a=/(log311),b=c=f(ylog23)，则。，

b,c的大小关系是()

A.a>c>bB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

解：由题意可得/(x)=/+cosx,

当七>0时，ex>1,-IWcosxWl,则/(x)>0,

故/(x)在(0,+8)上单调递增.

los3los

因为log311>log39=2,24_2_^90<C-^-log23=log43<CL

所以f(Iog311)>f(2^OS4^)>f(iog23),

所以a>b>c.

故选：D.

12.已知双曲线C：式_工：=1的左焦点为F,点M在双曲线C的右支上，A(0,4),当

88

△MA尸的周长最小时，的面积为()

A.12B.8C.6D.4

解：设双曲线C的右焦点为尸'，则。=2加,尸(-4,0),F(4,0),

由双曲线的定义知，|MF|-|MF|=2a=4&,

所以|MQ=|M尸|+4血，

所以△M4F的周长为|M4|+|MQ+|AF|=|M4|+(眼斤|+4&)+4&》MA|+|M尸|+8&=

IAPI+8&=12加，

即当M在M'处时，△MA尸的周长最小，此时直线AF'的方程为y=-x+4,

<y=-x+4

联立《J了2,解得y=l,即加'=1,

--------1

88

故的面积为5=/尸尸卜(珈-4)=yX8X(4-1)=12.

故选：A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向量之，芯满足|沼=2年=4,且=-443'则向量之，芯的夹角是一三―•

解：由题意得I】=4,|口=2,

/-fa，b「甸3V3

cos〈a，b/=^-'

|a||b|4X22

则向量Z,E的夹角是耳.

b

故答案为：学.

6

x-y>0

14.若x,y满足约束条件,x+y-4<0，则z=x-y的最大值为2.

y》l

x-y〉O

解：画出约束条件<x+y-4=<0表示的平面,区域，如图阴影部分所示；

y》l

x-y-4=0

x-y=O

-5-4-3-2-1234

乙1

-2

-3

-4

-5

目标函数2=》7可化为尸X-z,

平移目标函数知，y=x-z过点C时，直线在y轴上的截距最小，Z取得最大值；

由，求得C(3,1),

[x+y-4=0

所以Z的最大值为Z,皿=3-1=2.

故答案为：2.

15.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”若争-思，氏身后吟，则数列｛斯｝的公比q

Sm32@35m+7

1

—~2~

解：当数列｛6｝的公比q=l时，注=2,与冉=筹矛盾，故4=1不符合题意.

所以m=5,即q，=J,则

故答案为：

2

16.如图，在正方体ABC。-A|B|C1D|中，点E在棱上，且2OE=EG，尸是线段BB|

上一动点，现给出下列结论：

(T)EF±AC；

②存在一点尸，使得AE〃GF；

③三棱锥AEF的体积与点F的位置无关.

其中所有正确结论的序号为①②③.

对于①，连接2D由于。EJ_AC,ACLBD,

所以4cL平面BDEF,

则ACLEF,故①正确.

对于②，在A4上取一点“，使得A|”=2AH,连接EC”EH,HB1,

易证四边形为平行四边形，则C|E〃Bi”，CiE=BH

若BF=2BiF,易证四边形AH8F为平行四边形，

^\AF//BiH,AF=B{H,从而A尸〃C】E,AF^C\E,

故四边形AEG厂为平行四边形，于是AE〃C尸，故②正确.

对于③，设AB=”，三棱锥。।-AEF的体积与三棱锥F-AQE的体积相等，

[1723

则VD「AEF=VFTDlE不■X万X寸XaXa=春

即三棱锥。LAEF的体积与正方体的棱长有关，与点尸的位置无关，故③正确.

故答案为：①②③.

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求

作答.（一）必考题：共60分.

17.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,8c边上的高为AABC

2

的面积为加inAcosC+csinAcos8=J&cosA.

(1)求a和角4；

(2)求△ABC的周长.

解：(1)由题意可得与a2=J§，解得。=2,

因为bsinAcosC+csinAcosB=\/^acosA，

所以sinBsinAcosC+sinCsinAcosB:V^sinAcosA，

因为siiLlWO,

所以sinBcosC+sinCcosB=>/3cosA，

所以sinA二愿cosA，

所以tanA=我，

IT

则由AE(0,n),可得Af.

(2)由余弦定理可得a'/AM-2bccosA=b2+c2-be,可得4=b2+c2-be,①，

因为BC的面积为所以“ie条"所以反=4,②，

联立①②，解得b=c=2,由。=2,可得△ABC为等边三角形，

可得△ABC的周长为a+b+c=6.

18.为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得

的水果重量分成[15.5,16.5),[16.5,17.5),[17.5,18.5),[18.5,19.5),[19.5,20.5),

[20.5,21.5]六组进行统计，得到如图所示的统计图.

(1)估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)；

(2)从样本中重量不小于19.5克的水果中任取2个，求至少有1个水果的重量不小于

20.5克的概率.

解：(1)设该农场的水果重量的平均数为—X，则—x=-^1T(16X2+17X5+18X14+19X13+20

40

X4+21X2)=18.45.

(2)重量不小于19.5克的水果有6个，记为小b,c,d,E,F,其中重量不小于20.5

克的水果有2个，记为巴F.

从mb,c,d,E,尸中任取2个，有(mb),(a,c),(a,d),(a,E),(a,

F),(b,c),(b,d),(力，E),(b,F),(c,d),(c,E),(c,F),

(d,E),(4F),(E,F),共15种情况，

至少有1个水果的重量不小于20.5克的有(mE),(mF),(4£),Ch,F),

(c,E),(c,F),(d,£),(d,尸)，(E,F),共9种情况，

则至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率P咯=1•.

155

19.如图，PAJ_平面A8CD,四边形A8CZ)为直角梯形，4。=28c=2AB=6,AD//BC,

ABA.BC.

(1)证明：PCLCD.

(2)若PC=A£>,点E在线段CD上，且CE=2ED,求三棱锥A-PBE的体积.

【解答】(1)证明：由题意易知

作垂足为“，则C”=C，=3,故CD个炉

因为AO^Ad+CZA所以AC_LC£>,

因为PA_L平面ABCD,CDu平面4BCO,所以AP_LCD

因为ACu平面APC,APu平面APC,且ACCAP=A,所以CQJ_平面APC,

因为PCu平面APC,所以COJ_PC.

(2)解：因为PC=AD=6,AC=3\/2,且尸AJLAC,所以APTPC2-AC

由(1)可知/AOC=45°,则NBCD=135°.CE=2ED,所以CE=2«,DE=&.

则△相＞£的面积为而X6X乎=3,ZkBCE的面积为丹3乂2a义与=3,

11R

从而△/1比：的面积为/(3+6)x3-3-3号，

故三棱锥P-ABE的体积U-X善义加与2

即三棱锥A-PBE的体积为生但.

2

20.已知动点M到点尸(3,0)的距离比它到直线/：x+5=0的距离小2.

(1)求动点M的轨迹E的方程.

(2)过点下作斜率为k(kWO)的直线/'与轨迹E交于点A,B,线段AB的垂直平分线

|AB

交x轴于点N,证明:为定值.

IFN

解：(1)由题意知，动点M到点尸(3,0)的距离与到直线kx+3=0距离相等,

由抛物线的定义知，动点M的轨迹E是以F(3,0)为焦点，以直线小x+3=0为准线

的抛物线.

所以点M的轨迹E的方程为尸=I2x.

(2)证明：设直线八x=ty+3),

"x=ty+3

联立得y2-12fy-36=0.

,y2=12x

设A(制，yO,B(必，”)，G为线段AB的中点,

=2

则丫1+丫2=123xj+x2t(yj+y2)+6=12t+6-所以G(6/+3,6r),

所以线段A8的垂直平分线的方程为厂6f=-f(x-6产-3),则N(6/+9,0)

所以1m|=6产+9-3=6y+6,|AB|=x1+x2+6=12t2+12.

所以畏定值.

21.已知函数/(x)=o¥2+sinx-1(CZGR).

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(夕，f(夕))处的切线与两坐标轴围成的三

角形的面积;

(2)若对于任意的实数x恒有f(x)2sinx-cosx,求。的取值范围.

解：(1)当。=1时，/(x)=x2+sinjc-1,则/(x)=2x+cosx.

因为f弓)耳，f'(子)=兀，

TFTT兀2

所以y^f(x)在点伶，孔勺))处的切线方程为

V-=K(X-，即

TT2JT

令x=0,y=-----令y=0,x=—.

44

则该切线与两坐标轴围成的三角形面积为上X—X-=—.

24432

(2)设g(x)=f(x)-sia¥+cosx=6fx2+cosx-1,则g'(x)=2ax-sinx,g(x)是偶

函数.

设力(x)=g'(x)=2ax-sinx,则”(x)=2a-cosx.

①当aA，时，h'(x)=2a-cosx^O,所以〃(x)是增函数，即g，(x)是增函数.

又g(0)=0,所以g(x)在［0,+8)上是增函数，

因为g(0)=0,g(x)是偶函数，故g(x)20恒成立，即a》/符合题意.

②当a4总时，”(工)=2。-cosxWO,所以力(x)是减函数，即g'(x)是减函数.

因为g'(0)=0,所以g(x)在(0,+8)上是减函数，

因为g(0)=0,所以当x>0时，g(x)<0,则a<q不符合题意.

③当总时，存在唯一xo€(0,IT),使得“(xo)=0,

因为〃’(x)=2a-8sx