专题14 比例线段、黄金分割、平行线分线段成比例之六大考点(解析版)

专题14比例线段、黄金分割、平行线分线段成比例【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一成比例线段】 1【考点二比例的性质】 2【考点三利用黄金分割求线段的长】 3【考点四与黄金分割有关的证明】 5【考点五由平行判断成比例的线段】 9【考点六由平行截线求相关线段的常或比值】 11【过关检测】 14【典型例题】【考点一成比例线段】例题：（2023·广东湛江·岭师附中校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（

）A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2【答案】D【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可【详解】解：A．∵，∴4，1，3，8不是成比例线段，不符合题意；B．∵，∴3，4，5，6不是成比例线段，不符合题意；C．∵，∴4，8，3，5不是成比例线段，不符合题意；D．∵，∴15，5，6，2是成比例线段，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了成比例线段，如果四条线段a、b、c、d满足，则线段a、b、c、d成比例，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．1．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（

）A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【答案】C【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．【详解】、，此选项不符合题意，排除；、，此选项不符合题意，排除；、，此选项符合题意；、，此选项不符合题意，排除；故选：．【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是如何判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．2．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．【详解】解∶因为a，b，c，d是成比例线段，可得：，故选：D．【点睛】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．【考点二比例的性质】例题：（2023春·江西九江·九年级校联考阶段练习）已知，则．【答案】3【分析】设，代入计算即可．【详解】解：∵，设，∴；故答案为：3．【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知，则．【答案】【分析】根据比例的性质，设，进而得出，代入代数式即可求解．【详解】解：设，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2．（2023·湖南株洲·统考一模）已知，且，若，则．【答案】5【分析】根据已知条件求出，根据得出，再求出答案即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，等式两边都除以2，得，故答案为：5【点睛】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．【考点三利用黄金分割求线段的长】例题：（2023·全国·九年级假期作业）点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，分别进行计算即可．【详解】解：点P是长度为10的线段上的黄金分割点，∴较长的线段的长度为，则较短的线段的长度为：；故选C．【点睛】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的是本题的关键．【变式训练】1．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入数据即可得出的长，进而求出的长度．【详解】解：是线段上的一点，且满足，为线段的黄金分割点，且是较长线段，，．故选A．【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．2．（2023·全国·九年级假期作业）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，．【详解】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，令，设，则，则由，代值得，解得，，，点分别是线段的黄金分割点，，，，，，，将，代入求解即可得到，，，故选：A．【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键．【考点四与黄金分割有关的证明】例题：（2023·全国·九年级假期作业）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；(2)若，求的面积．（结果保留根号）【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点；（2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积．【详解】（1）证明：∵，，又∵，∴，∴D是的黄金分割点；（2）解：由（1）知，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．(1)求的长；(2)点M是的黄金分割点吗？为什么？【答案】(1)的长为，的长为；(2)点M是的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又，，则；（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【详解】（1）在中，，由勾股定理知∶，∴，；故的长为，的长为；（2）点M是AD的黄金分割点．∵，∴点M是的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段的长，然后求得线段和之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则BC的长为．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论；（2）若BD＝1，则，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC．【详解】解：（1）∵BD⊥AB，∴△ABD是直角三角形，∵BD＝AB，∴设则，∴，∵DE＝DB，AC＝AE，∴，∴∴，∴，故C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则，由（1）知，∴，∴，∴．【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．【考点五由平行判断成比例的线段】例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．【详解】解：A．由，得，故A选项错误；B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；C．由，得，故C选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．【详解】解：A．∵四边形为平行四边形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，故A正确，不符合题意；B．∵，∴，∵，∴，故B正确，不符合题意；C．∵，∴，故C正确，不符合题意；D．∵，∴，即，∵，∴，∴，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】解：，，，，；∴选项A、C、D正确，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．【考点六由平行截线求相关线段的常或比值】例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么．【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：，，，，，，，，．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是．

【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则．【答案】//【分析】设、交于点，结合可得；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知，可得，即可获得答案．【详解】解：如下图，设、交于点，∵，平分线段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．【过关检测】一、单选题1．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）下列各组种的四条线段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、【答案】C【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．【详解】解：A.，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；B.，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；C.，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；D.，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．2．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）已知，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，可设，则，代入所求的式子即可求解．【详解】解：，设，则，则原式．故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键．3．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在中，点D在边上，，若，则的值是(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】直接运用平行线分线段成比例定理得出比例式求解即可．【详解】解：∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．4．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）如图，是叶脉的黄金分割点，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割数的性质（如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数）求解即可．【详解】根据黄金分割数的性质可知．故选：A．【点睛】本题主要考查黄金分割数，牢记黄金分割数的性质（如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数）是解题的关键．5．（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）如图，是平行四边形对角线上的点，若，，则的长为（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】可证，从而可求，即可求解．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，，．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，掌握性质及定理是解题的关键．二、填空题6．（2023·上海嘉定·模拟预测）已知：，则．【答案】7【分析】根据比例的性质交叉相乘得到即可求解．【详解】解：∵，∴，则即，则．故答案为：7．【点睛】本题考察了比例的性质，属于基础题，计算过程细心即可．7．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知三条线段a、b、c，其中，c是a、b的比例中项，则cm．【答案】2【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以，解得：（线段是正数，负值舍去）．则cm．故答案为：2．【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念是关键，这里注意线段不能是负数．8．（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为．

【答案】【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.【详解】，

，，，，，，；故答案为：.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.9．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为．

【答案】【分析】过点作于点,由平行线分线段成比例定理得，求得，再结合中点进一步可得，从而得到答案．【详解】解：如图，过点作于点；则；而，，；为边的中点，，，故答案为：．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．10．（2023春·安徽·九年级专题练习）鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为8cm，则的长为cm．（结果保留根号）【答案】【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．【详解】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为，∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．三、解答题11．（2023·上海·九年级假期作业）如图，，，，，求、的长．【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题．【详解】解：，∴，，，∴，解得：，则．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，其中掌握平行线分线段成比例定理（三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）是关键．12．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）已知，且．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)2(2)10【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答；（2）利用等比性质，进行计算即可解答．【详解】（1）解：，且，，的值为2；（2）解：，，，，，的值为10．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．13．（2022秋·九年级单元测试）与在网格中的位置如图所示，且每个小正方形的边长都是．

(1)求，，的值(2)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段．【答案】(1)，，(2)见解析【分析】（1）根据网格和勾股定理求出、、、、、的长度即可解答；（2）根据两条线段的比与另两条线段的比相等找出成比例的线段．【详解】（1）解：由图可知：，，，，，，，，；（2），、、、是成比例的线段；，、、、是成比例的线段；，、、、是成比例的线段．【点睛】本题考查的是成比例线段、勾股定理的应用，根据格点求出线段的长度是解题的关键．14．（2023·浙江绍兴·统考三模）小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图，在中，的平分线交于点，发现．小明想通过证明来验证这个结论．

证明：延长至，使得，请你完成上述证明过程：结论应用：已知在中，，，边上有一动点，连接，点关于的对称点为点，连接交于点．(1)如图2，当，，求的值．(2)如图3，当，与的边垂直时，求的值．

【答案】证明：见解析；结论应用：(1)；(2)1或或【分析】延长至，使得，连接，证明，可得，而，则；（1）由，，可得，依题意：：，由结论可得，则（2）①，则，②，则，点恰与点重合，③，，分别根据结论列出比例式，进而即可求解．【详解】延长至，使得，连接，

，，又平分，．，，，，