专题03 正方形的性质与判定（八大类型）（解析版）

专题03正方形的性质与判定（八大类型）【题型1正方形的性质】【题型2正方形的判定】【题型3矩形的性质与判定综合运用】【题型4正方形中最小值问题】【题型5正方形-对角互模型】【题型6正方形-半角互模型】【题型7正方形-手拉手模型】【题型8正方形-十字架模型】【题型1正方形的性质】1．（2023春•增城区期中）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB度数为（）​A．10° B．15° C．22.5° D．30°【答案】B【解答】解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．故选：B．2．（2023春•鼓楼区期中）矩形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．邻边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角【答案】A【解答】解：A、矩形、正方形的对角线均相等且互相平分，故A选项符合题意；B、正方形的邻边相等，矩形的邻边不一定相等，故B选项不符合题意；C、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，故C选项不符合题意；D、正方形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分对角，故D选项不符合题意．故选：A．3．（2023春•张北县校级期中）四边形ABCD是正方形，E为CD．上一点，连接AE，过B作BF⊥AE于E，∠ABF＝30°且，则正方形ABCD的周长为（）A． B． C．24 D．6【答案】C【解答】解：∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∵∠ABF＝30°，∴，∵AF2+BF2＝AB2，∴，∴AB＝6（负值舍去），∴正方形ABCD的周长为4×6＝24．故选：C．4．（2023•官渡区校级模拟）用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得BD＝10cm，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A＝120°，则图（2）中BD的长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】C【解答】解：∵图（1）中正方形ABCD的对角线BD的长为10cm，∴AB＝cm，如图（2），连接AC，交BD于O，∵∠BAD＝120°，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝cm，∴BO＝＝cm，∴BD＝2BO＝cm，故选：C．5．（2023•龙川县一模）如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，连接AF，BC，设∠CBE＝x°，∠AFP＝y°，则y与x的关系为（）A．y＝x B．y＝2x C．y＝180﹣x D．y＝90﹣x【答案】D【解答】解：∵四边形APCD和四边形PBEF都是正方形，∴∠APE＝∠CPB＝∠EBP＝90°，AP＝PC，PF＝PB，∴∠CBE+CBP＝90°，在△APF和△CPB中，，∴△APF≌△CPB（SAS），∴∠AFP＝∠CBP，∵∠CBE＝x°，∠AFP＝y°，∴x+y＝90，∴y＝90﹣x．故选：D．6．（2023•巧家县一模）如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F为线段BC的中点，连接EF，则线段EF的长为（）A． B． C．1 D．2【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝CE，∵F为线段BC的中点，∴BF＝CF，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝＝2（cm），故选：D．7．（2023•新华区模拟）一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣45° B．α﹣90° C．270°﹣α D．180°﹣α【答案】D【解答】解：如图，由题意可知，∠1＝∠3+90°，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝180°﹣α．故选：D．8．（2023春•苏州期中）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝35°，则∠CFD的度数为（）A．80° B．70° C．75° D．45°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCF＝∠BAF＝45°，∵∠ABE＝35°，∴∠CFB＝∠ABE+∠BAF＝80°，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CFD＝∠CFB＝80°，故选：A．9．（2023•碑林区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若AP＝5，则EF＝（）A．5 B．5 C．2.5 D．【答案】A【解答】证明：连接PC，在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥DC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠BCD＝∠PEC＝∠PFC＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴PC＝EF，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，BP＝BP，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝CP，∴EF＝AP＝5．故选：A．10．（2023•五华区校级模拟）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（）A．cm2 B．50cm2 C．cm2 D．25cm2【答案】D【解答】解：图1连接AC，∵菱形ABCD中，AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵对角线AC＝10cm，∴BC＝10cm，∴CE＝BC＝10cm，图3过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵△DCE是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ECH＝30°，∴EH＝CE＝5cm，∴△BCE的面积＝＝＝25（cm2），故选：D．11．（2023春•天津期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，点F分别是BC，AB上的点，连接DE，DF，EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，在△DCE和△DGE中，，∴△DCE≌△DGE（SAS），∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴AF＝GF＝1，∵EG＝EC，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，在Rt△BEF中，根据勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，解得EG＝2.4，∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4＝．∴EF的长为．故选：B．12．（2022春•汉阴县期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO＝OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；综上所述，错误的有③．故选：B．13．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为.（将正确的序号都填入）【答案】①②③．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正确；③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；④∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：①②③．14．（2022春•长春期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为20cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝40，∴AB＝BC＝20，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20，故答案为：20，【题型2正方形的判定】15．（2023春•黄埔区期中）下列说法错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形【答案】D【解答】解：A、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；D、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，符合题意；故选：D．16．（2023•雁塔区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（）A．CD＝AD B．OD＝CD C．BD＝AC D．∠AOB＝60°【答案】A【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．故选：A．17．（2022春•铁岭县期中）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法你认为错误的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】C【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；B．∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当③AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意．故选：C．18．（2022•鼓楼区校级开学）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，则四边形EFMN的形状是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】D【解答】解：四边形EFMN是正方形．证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四边形EFMN是菱形．∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四边形EFMN是正方形．故选：D．19．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，则EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，故D选项不一定正确，符合题意．故选：D．20．（2023•莱西市一模）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点，AC＝EC．（1）求证：△BCD≌△CBE；（2）△ACE添加一个条件∠ACE＝90°，矩形ABCD为正方形．请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∠ACE＝90°，理由见解析．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠BCD＝∠CBE＝90°，∵AC＝EC，∴BD＝EC，∵BC＝CB，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）；（2）解：当∠ACE＝90°时，矩形ABCD为正方形．∵∠ACE＝90°，AC＝EC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∴∠ACB＝90°﹣∠CAE＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∴矩形ABCD为正方形．故答案为：∠ACE＝90°．21．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形．【答案】见解析过程．【解答】证明：连接GH，∵G、F分别是BE、BC的中点，∴GF∥EC，同理FH∥BE，∴四边形EGFH是平行四边形，∵G、H分别是BE，CE的中点，∴GH∥BC，∵EF⊥BC，∴EF⊥GH，又∵四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∵BE⊥EC，∴菱形EGFH是正方形．22．（2022秋•皇姑区期末）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝35°，当∠C＝55度时，四边形AEDF为正方形（直接填空）．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，由（1）知四边形AEDF是菱形，∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．∵∠B＝35°，∠BAC＝90°，∴∠C＝55°，故答案为：55．23．（2022秋•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE，BE交于点E．（1）判断四边形CDBE是什么特殊的四边形，并证明；（2）直接写出当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形．【答案】（1）四边形CDBE是菱形，证明过程见解答；（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形；理由见解答．【解答】解：（1）四边形CDBE是菱形，证明：∵BE∥CD，CE∥AB，∴四边形BDCE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴CD＝BD，∴平行四边形BDCE是菱形；（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形；理由如下：∵∠ACB＝90°，当△ABC是等腰直角三角形，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴四边形BECD是正方形．24．（2022春•隆阳区期中）如图，点B，C，F在同一条直线上，AC⊥BF于点C，且AC＝BC，连接AB，取AB的中点D，连接CD，过点A作CE的垂线，垂足为E，已知点E到直线AC和CF的距离相等．求证：四边形ADCE是正方形．【答案】见解析．【解答】证明：∵AC⊥BF，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点D是AB中点，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∴△ADC是等腰直角三角形，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，∵点E到直线AC和CF的距离相等，∴CE平分∠ACF，∴∠ACE＝45°，∴∠DCE＝45°+45°＝90°，∵AE⊥CE，即∠AEC＝90°，∵∠ADC＝90°，∠DCE＝90°，∠AEC＝90°，AD＝DC，∴四边形ADCE是正方形．25．（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．【答案】（1）四边形MENF是菱形．理由见解答．（2）当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．【解答】解：（1）四边形MENF是菱形．理由如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，∴NE＝FM，NE∥FM，∴四边形MENF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M为AD中点，∴AM＝DM，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴BM＝CM，∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME＝MF，∴平行四边形MENF是菱形．（2）当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．∵四边形MENF是正方形，则∠EMF＝90°，又∵△ABM≌△DCM，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，∴AM＝DM＝AB，∴AD＝2AB，∴当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形．【题型3正方形的性质与判定综合运用】26．（2023春•任城区校级月考）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）4．【解答】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，∴四边形FCED是矩形，又∵∠A，∠B的平分线交于D点，∴DF＝DE＝DN，∴矩形FCED是正方形；（2）解：∵AC＝12，BC＝16，∠C＝90°，∴AB＝＝20，∵四边形CEDF为正方形，∴DF＝DE＝DN，∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，故．27．（2022春•南谯区校级月考）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）①证明过程见解答；②3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE；（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得矩形EMCN，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，∴CE⊥CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝9．∵CG＝3，∴CE＝6，连接EG，∴EG＝＝＝3，∴DE＝EG＝3．∴正方形DEFG的边长为3．28．（2022春•海阳市期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．（1）求证：矩形ABCD为正方形：（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，∵AE：EB＝2：1，设AE＝2x，EB＝x，∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，∴AF＝＝x，∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，∴△AEG∽△AFB，∴△AEG的面积：△AFB的面积＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，∵△AEG的面积为4，∴△AFB的面积为13，∴四边形BEGF的面积＝13﹣4＝9．29．（2022春•关岭县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F．（1）求证：四边形AFDE是正方形；（2）若AD＝3，求四边形AFDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）9．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD．∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD．∴∠EDA＝∠EAD．∴AE＝DE．∴四边形AFDE是菱形．∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形．（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝3，∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝3．∴四边形AFDE的面积为3×3＝9．30．（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明过程见解析；（2）17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，∴∠CFE＝45°，∴∠AFD＝∠AEB，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵由（1）可知：，又BE＝1，∠B＝90°，∴由勾股定理得，，∵四边形ABCD是正方形，∴．31．（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．（1）求证：AK＝AH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3）5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，∵DH＝CE＝BK，∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，在△ADH和△ABK中，，∴△ADH≌△ABK（SAS），∴AK＝AH；（2）证明：∵△ADH≌△ABK，∴∠HAD＝∠BAK．∴∠HAK＝90°，同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，∴AH＝AK＝HF＝FK，∴四边形AKFH是正方形；（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，∴KF＝，∵EF＝CE＝1，∴KE＝，∴AB＝KE＝3，∵BK＝EF＝1，∴BE＝BK+KE＝4，∴AE＝，故点A，E之间的距离为5．【题型4正方形中最小值问题】32.（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（）A． B． C．4 D．3【答案】B【解答】解：连接BP，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴四边形PEBF为矩形，∴EF＝BP，当BP⊥AC，BP最短，在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，根据勾股定理可解得BP＝3，∴EF得最小值为3．故选：B．33.（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（）A．2 B．4 C． D．2【答案】C【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，所以E′F＝＝．故选：C．34．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．【答案】【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB，∵在△COA和△DOB中，∴△COA≌△DOB（ASA），∴OA＝OB，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB＝＝OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD＝OF，∴CA＝DA，∴OA＝CF＝1，即AB＝，故答案为：．35．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为．【答案】﹣1【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EDA+∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°，∵DT＝AT，∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，∴BG≥BT﹣GT，∴BG≥﹣1，∴BG的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．36．（2021秋•江汉区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并证明；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值为9．【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME（2）结论仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM（3）9【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：如图1中，延长EM交AD于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，∴∠ADE＝∠CEF＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（ASA），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（2）如图2中，结论仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：如图2中，延长EM交DA的延长线于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（ASA），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（3）如图3，连接BF，取BF的中点H，连接HM，HN，则MN≤HM+HN，∴当M、N、H三点共线时，MN有最大值，∵M、N、H分别是AF、BG、BF的中点，AB＝13，CE＝5，∴MH＝AB＝，NH＝FG＝CE＝，∴HM+HN＝9，∴MN≤9，∴当M、N、H三点共线时，MN有最大值9，故答案为：9．【题型5正方形-对角互模型】37.（2021秋•锦江区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，∴S2＝25﹣16＝9，故选：D．38.（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1 B． C．2 D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故选：C．39．（2022春•龙胜县期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是两个边长相等正方形，∴∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，即∠BOM＝∠CON，∵在△BOM和△CON中，∴△BOM≌△CON，∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是S△COM+S△CNO＝S△COM+S△BOM＝S△BOC＝S正方形ABCD，即不管怎样移动，阴影部分的面积都等于S正方形ABCD，故选：A．40．（2021春•正阳县期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…An分别是正方形对角线的交点，则2021个正方形形成的重叠部分的面积和为（）A．cm2 B．505cm2 C．cm2 D．（）2021cm2【答案】B【解答】解：如图，过正方形ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，则∠EOM＝∠FON，OM＝ON，且∠EMO＝∠FNO＝90°，∴△OEM≌△OFN（ASA），则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，则OMCN的面积是1，∴阴影部分面积等于正方形面积的，即是，∴则2021个正方形重叠形成的重叠部分的面积和＝2020×＝505（cm2）．故选：B．41.（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．【答案】略【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．42.（2021•深圳模拟）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON；（2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．【答案】（1）略（2）MN＝OM＝3【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为6，∴OH＝HA＝3，∵E为OM的中点，∴HM＝6，则OM＝＝3，∴MN＝OM＝3．【题型6正方形-半角互模型】43．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG；（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，∵在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△△FAG（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝2，CN＝3，∴MN2＝22+32，∴MN＝．44．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN＝MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）【解答】解：（1）猜想：BM+DN＝MN，证明如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．证明如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN45．把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN＝BM+DN．（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．【解答】（1）证明：延长MB到H，使BH＝DN，连接AH，如图（1），∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，在△ABH和△ADN中，，∴△ABH≌△ADN（SAS），∴AH＝AN，∠HAB＝∠NAD，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠HAB+∠BAM＝45°，∴∠HAM＝∠NAM，在△AMH和△AMN中，，∴△AMH≌△AMN（SAS），∴MH＝MN，即HB+MB＝MN，∴MN＝BM+DN；（2）解：MN＝DN﹣BM．理由如下：在DN上截取DH＝BM，如图（2），与（1）一样可证明△ADH≌△ABM，∴AH＝AM，∠DAH＝∠BAM，∵∠MAN＝45°，∴∠DAH+∠BAN＝45°，∴∠HAN＝45°，∴∠HAN＝∠NAM，在△ANH和△AMN中，，∴△ANH≌△AMN（SAS），∴NH＝MN，而DN＝DH+HN，∴BM+MN＝DN，即MN＝DN﹣BM．【题型7正方形-手拉手模型】46．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB＝GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝3，AG＝，求EB的长．【解答】（1）证明：∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠EAG＝∠DAB＝90°，∵∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，∴∠GAD＝∠EAB，在△GAD和△EAB中，，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：BE⊥GD，理由如下：如图，设DG与AE的交点为P，∵△GAD≌△EAB，∴∠AEB＝∠AGD，∵∠EPH＝∠APG，∴∠EHG＝∠EAG＝90°，∴EB⊥GD；（2）解：如图2，连接BD，BD与AC交于点O，∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，∴DB＝AB＝3，DO＝BO＝，∵AG＝，∴GO＝AO+AG＝，∴DG＝＝＝，∴BE＝DG＝．47.点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为，；（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由；②若AC＝4，BC＝，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．【解答】解：（1）AF与BD的数量关系和位置关系分别为AF＝BD，AF⊥BD，理由如下：延长AF交BD于H，如图①所示：∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，∴AC＝CD，CF＝CB，∠ACF＝∠DCB＝90°，∴∠CAF+∠AFC＝90°，在△ACF和△DCB中，，∴△ACF≌△DCB（SAS），∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，∵∠DFH＝∠AFC，∴∠CDB+∠DFH＝∠CAF+∠AFC＝90°，∴∠DHF＝90°，∴AF⊥BD；故答案为：AF＝BD，AF⊥BD；（2）①第（1）问的结论仍然成立，理由如下：设AF交CD于点M，如图②所示：∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，∴AC＝CD，CF＝CB，∠ACD＝∠FCB＝90°，∴∠CAF+∠AMC＝90°，∴∠ACD+∠DCF＝∠FCB+∠DCF，即∠ACF＝∠BCD，在△ACF和△DCB中，，∴△ACF≌△DCB（SAS），∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，∵∠DMH＝∠AMC，∴∠CDB+∠DMH＝∠CAF+∠AMC＝90°，∴∠DHM＝90°，∴AF⊥BD；②分两种情况：a、如图③所示：连接CG交BF于O，∵四边形BCFG是正方形，∴CB＝BG，BF⊥CG，∠BGF＝90°，OB＝OF＝OC＝OG，∴BF＝CG＝BC＝2，OB＝OF＝OC＝BF＝1，∴AO＝＝＝，∴AF＝AO+OF＝+1，由（2）得：AF＝DB，∴DB＝+1；b、如图④所示：连接CG交BF于O，同上得：OB＝OF＝OC＝BF＝1，∴AO＝＝＝，AF＝AO﹣OF＝﹣1，由（2）得：AF＝DB，∴DB＝﹣1；综上所述，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，DB的长度为+1或﹣1．【题型8正方形-十字架模型】48.（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（）A．80° B．75° C．70° D．65°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝ABC＝45°，在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS）；∴∠AFB＝∠CFB，又∵∠AFC＝140°，∴∠CFB＝70°，∵∠DFC+∠CFB＝180°，∴∠DFC＝180°﹣∠CFB＝110°，∵∠DEF+∠EDF＝∠DFC，∴∠DEC＝∠DFC﹣∠EDF＝110°﹣45°＝65°，故选：D49.（2022•灞桥区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1 B．2 C． D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB