01-02数学与我们同行、有理数（原卷版）

01-02数学与我们同行、有理数【专题过关】类型一、裂项求和【解惑】观察下列等式：，，，请将以上三个等式两边分别相加得：。（1）猜想并写出：（

）。（2）（

）。（3）探究并计算：（

）。（4）计算：【融会贯通】1．计算2．________3．4．5．6．7．_____类型二、最短路线【解惑】如图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A出发走到B，最快需要__________分钟。【融会贯通】1．如图所示，有一只蚂蚁站在正方体某条棱的A处，它想尽快地游览完正方体的各个面，然后回到A处，请问这只蚂蚁要怎样走才能使通过的路程最短？2．下图是某城市的道路图，每段路旁标注的数字表示走完这段路所需用的分钟数（单位：分钟）。邮递员从A点沿道路到达B点至少要经过多长时间？3．如图，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？4．如图所示，壁虎在一座油罐的下底边A处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的B处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？5．有A、B两个村庄，分别在一条河的两岸，如图所示，现在要在小河上架一座木桥，使它与河岸垂直．现在请你选择最合适的架桥地点，使A、B两上村庄之间的路最近．6．有一个圆锥如图所示，A、B在同一条母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．7．古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图16﹣3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？类型三、有趣规律【解惑】“？”处的图形是哪一个？（

）A． B．C． D．E．【融会贯通】1．“？”处是（

）。A． B．C． D．E．2．如图，下面每个图中有多少个白色小正方形和多少个灰色小正方形？（1）把下面的表格补充完整．第1个图第2个图第3个图第4个图白色12灰色810（2）照这样接着画下去，第6个图中有_____个白色小正方形和_____个灰色小正方形；（3）想一想：照这样的规律，第n个图中有_____个白色小正方形和_____个灰色小正方形；（4）照这样的规律，如果某个图中灰色小正方形有30个，那么白色小正方形有_____个，它是第_____个图．3．用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是________.4．将下图左边的大三角形纸板剪3刀,得到4个大小相同的小三角形纸板(第一次操作),见下图中间.再将每个小三角形纸板剪3刀,得到16个大小相同的更小的三角形纸板(第二次操作),见下图右边.这样继续操作下去,完成前六次操作共剪了________刀.5．探索：如图，外层正方形边长是5，往里第二、三、四、五层各小正方形边长依次是4、3、2、1，观察图形，完成下列问题；(1)判断大小关系：13+23+33+43+53________（1+2+3+4+5）2；(2)结合图形，证明你（1）中的判断．猜想：13+23+33+…+n3="________"．6．有一串分数，，，，，，，，，,，，…，这串分数从左往右数，第一个在第________个，第二个在第________个．7．观察以下的一列数，依次是11，17，23，29，35，….若从第n个数开始，每个数都大于2017，则_______________.类型四、绝对值的“1与-1”化简【解惑】已知，，都是非零有理数，满足，令，则的值为（

）A． B． C． D．【融会贯通】1．（2022·浙江·九年级自主招生）若关于x的方程有四个实数解，则化简的结果是（

）A． B．0 C．2 D．42．（2022秋·全国·七年级期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定3．（2020秋·江西宜春·七年级宜春市第三中学校考期中）若，，则______．4．（2018秋·天津南开·七年级南开中学校考阶段练习）若，则_______．5．（2022秋·浙江丽水·七年级校联考期中）（《学霸养成卷》改编）如果，那么的值是______．6．（2019秋·湖北武汉·七年级统考期中）已知a、b、c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0，且abc<0，若，且，则3m2n+4mn2=____.7．（2018·河南安阳·七年级校联考期中）如果abc＜0，则++=_____．8．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）9．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x=；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x=；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x=；综上，当a，b均不为零，求x的值为．（2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a，b，c均不为零，求的值．②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．10．（2021秋·江苏南通·七年级启东市长江中学校考期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探究问题.【提出问题】三个有理数a，b，c，满足abc>0，求的值.【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.①当a，b，c，都是正数，即a>0，b>0，c>0时，则==1+1+1=3；②当a，b，c有一个为正数，另两个位负数时，设a>0，b<0，c<0，则==1−1−1=−1；所以的值为3或−1.【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数a，b，c满足abc<0，求的值；(2)已知=9，=4，且a<b，求a−2b的值.11．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题：（1）已知，是有理数,当时，求的值；（2）已知，，是有理数，当，求的值；（3）已知，，是有理数，，，求的值.类型五、绝对值的最值【解惑】同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)__________；(2)表示与__________之间的距离；表示与__________之间的距离；(3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可）(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________．【融会贯通】1．（2022春·安徽滁州·七年级统考期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：(1)数轴上表示和2两点之间的距离是，数轴上表示x和的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为；(3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．2．（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．提出问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？探究问题：探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0．当b＝2时，，如图1所示；当b＝－3时，，如图2所示；由此可以推断当b＝n时，______．探究二：如果A，B两点都不在原点，即，．（1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：；（2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：；（3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______．解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示）实际应用：（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______；（2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______．拓展延伸：结合数轴回答下列问题：（1）的最小值是______；（2）的最大值是______．3．（2022秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示3和6两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______．(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______，数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______．(3)若x表示一个有理数，则的最小值______．(4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x是______．(5)求使式子有最小值的有理数x，以及这个最小值．4．（2023秋·山西朔州·七年级校考期末）阅读与思考：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为；(3)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为②请你画出数轴，探究：是否存在数x，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出x的值；如果不存在，简要说明理由．5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第二十三中学校考期末）先阅读，后探究相关的问题．【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．(1)如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点，再把点A向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为_______和_______，，两点间的距离是______；(2)若点A表示的整数为，则当为_______时，与的值相等；(3)要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是________．6．（2017秋·陕西·七年级阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、点在数轴上分别表示有理数、，那么点、点之间的距离可表示为．（1）点、、在数轴上分别表示有理数、、，那么点到点的距离与点到点的距离之和可表示为__________（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①满足的的取值范围是__________．②满足的的所有值是__________．③设，当的值取在不小于且不大于的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_____．（3）拓展：①的最小值为__________．②的最小值为__________．③的最小值为__________，此时的取值范围为__________．类型六、绝对值的方程【解惑】如果，那么（

）A． B．或2 C． D．2【融会贯通】1．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．【探索】(1)数轴上表示5与的两点之间的距离是___________；(2)①若，则x=___________；②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为___________；【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：(3)折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和___________表示的点重合；(4)折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，①则表示的点和___________表示的点重合；②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是___________，点B表示的数是___________；【拓展】(5)若，则x=___________．2．（2022春·七年级单元测试）阅读以下例题：解方程：，解：①当时，原方程可化为一元一次方程，解这个方程得；②当时，原方程可化为一元一次方程，解这个方程得；③当，即时，原方程可化为，不成立，此时方程无解．所以原方程的解是或．(1)仿照例题解方程：．(2)探究：当b为何值时，方程满足：①无解；②只有一个解；③有两个解．3．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题：(1)若，则的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②4．（2022秋·江苏·七年级专题练习）解方程：．5．（2022秋·江苏·七年级专题练习）解方程．6．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．7．（2022秋·江苏·七年级专题练习）解方程：类型七、数轴动点求t【解惑】观察、理解与应用．题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处．(1)，表示的意义是；(2)，，即用字母表示线段长，，猜想：，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段；(3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线；(4)应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问：①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答）②t为秒时P，Q两点之间的距离为2？【融会贯通】1．（2023秋·河南郑州·七年级统考期末）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．(1)当时，点到点的距离______；此时点所表示的数为______；(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离______；(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？2．（2023春·全国·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？3．（2020秋·四川绵阳·七年级校考阶段练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和4，P为数轴上一点，对应数为x．(1)请直接写出P所表示的数，使P到A点、B点距离的和为10．(2)若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，他们的速度分别为每秒1、2、1个（单位长度/秒）．①几秒中后点P为线段的中点？并求出此时x的值；②是否存在点P，使得点P为线段的三等分点，若存在请求出x的值；若不存在，请说明理由．4．（2022秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：已知，数轴上四点A、B、C、D所表示的数分别为、b、c、d，且满足：，b是最大的负整数，（C与A不重合）(1)；；；．(2)若将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为；（用代数式表示）(3)试求出点C到点D的距离．(4)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时B、D点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，运动过程中始终满足（点C也随之运动）．设移动时间为t秒．试探索：大小是否会随着t的变化而改变？请说明理由．5．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．(1)直接写出、两点之间的距离___；(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．6．（2022秋·吉林松原·七年级统考期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点与点距离个单位，且在点的左边，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________（用含的式子表示）；(2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发．①求点运动多少秒追上点？②求点运动多少秒时与点相距个单位？并求出此时点表示的数．类型八、数轴动点新定义【解惑】对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝，d2（点D，线段AB）＝；(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．【融会贯通】1．（2021秋·福建福州·七年级校考期末）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点．(1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______；(2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由．2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．3．（2022秋·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．(1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；(2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．4．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段的中点表示的数为．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点R在线段上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段的中点R所表示的数为＝4，所以点R在线段上，则点A与点B关于线段径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2．(1)点B，C分别表示的数为，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段径向对称；(2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段径向对称，求线段长度的最小值，并写出求解过程；(3)在数轴上，动点K从表示的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段上至少存在一点与点A关于线段径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______．5．（2022秋·江苏淮安·七年级统考期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点．(1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是）(2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）；(3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况）类型九、数列求和【解惑】37．（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考阶段练习）阅读材料：求的值．解：令①将等式①两边同时乘，得．②②-①，得，即所以．请你根据上述材料，解答下列问题：(1)计算：(2)已知数列：，，，，，，①它的第个数是多少？②求这列数中前个数的和．【融会贯通】1.（2020秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）【阅读】计算的值.令S＝，则3S＝，因此3S－S＝，所以S＝，即S＝＝.依照以上推理，计算：＝__________.2．（2019·宁夏固原·统考一模）根据下列材料，解答问题．等比数列求和：概念：对于一列数a1，a2，a3，…an…（n为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即＝q（常数），那么这一列数a1，a2，a3，…，an，…成等比数列，这一常数q叫做该数列的公比．例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和，解：令S＝1+3+32+33+…+3100则3S＝3+32+33+…+3100+3101因此，3S﹣S＝3101﹣1，所以S＝即1+3+32+33…+3100＝仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52018的和为_____．3．（2022秋·山东烟台·六年级统考期中）阅读材料：求．首先设①，则②，得，即．以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”．请你根据上面的材料，解决下列问题：(1)．(2)；(3)求的值．4．（2022秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为．根据以上材料，解答下列问题：（1）等比数列的公比为，第项是．【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，，（2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：．【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法：设①，则②，得，∴．【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值．5．（2020秋·江苏连云港·七年级江苏省新海高级中学校考期末）阅读新知一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）．即：在数列，，，…，．（为正整数）中，若，，…，则数列，，，…，．（为正整数）叫做等比数列．其中叫数列的首项，叫第二项，…，叫第项，叫做数列的公比．例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列，公比．计算：求等比数列1，3，，，…，的和．解：令，则．因此．所以．即．学以致用（1）选择题：下列数列属于等比数列的是（

）A．1，2，3，4，5

B．2，6，18，21，63C．56，28，14，7，

D．－11，22，－33，44，－55（2）填空题：已知数列，，，…，是公比为4的等比数列，若它的首项，则它的第项等于_________．（3）解答题：求等比数列1，5，，，…前2021项的和．类型十、有理数中的归纳与规律【解惑】我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(

)A．9 B．10 C．11 D．12【融会贯通】1．（2022秋·全国·七年级期末）观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=________2．（2022秋·全国·七年级期中）观察下面算式的演算过程：

……（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：______________．

____________．_________________．（为正整数）（2）根据规律计算：．3．（2019秋·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（