第07讲 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）

第07讲弧长、扇形面积和圆锥的侧面积理解弧长和扇形面积及公式，并会计算弧长和扇形的面积经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力；通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系；4.通过探索圆锥侧面积和全面积计算公式，并熟练运用公式解决问题。知识点1：扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积注意：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

知识点2：扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱：（1）圆柱侧面展开图=圆柱的体积：2、圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）【题型1弧长的计算】【典例1】（2023•怀集县二模）如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（）A． B． C． D．π【变式1-1】（2023•钦州一模）如图，点A，B，C，E在⊙O上，OC⊥AB于点D，∠E＝22.5°，OB＝2，则的长为（）A． B． C．π D．π【变式1-2】（2023•崆峒区校级三模）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（）A． B． C． D．【变式1-4】（2022秋•石景山区期末）若圆的半径为9，则120°的圆心角所对的弧长为（）A．3 B．6 C．3π D．6π【变式1-4】（2023•兰州模拟）如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为（）cmA． B． C． D．【题型2利用弧长公式求周长】【典例2】（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A．2π B． C． D．【变式2-1】（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（）A． B． C． D．【变式2-2】（2022•山西模拟）小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝120°，则这块宣传版面的周长为（）A．（π+2）m B．（π+2）m C．（）m D．（）m【变式2-3】（2023•安陆市二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为（）A．3π B．2π C．π D．【题型3计算扇形的面积】【典例3】（2023•忻州模拟）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（）A． B．3m2 C． D．故选：A．【变式3-1】（2023•温州三模）一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为．【变式3-2】（2023•嘉祥县二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，弧BC的长度为20πcm，弧DE的长度为，扇面边缘宽BD的长为20cm，则扇面DBCE的面积为cm2．【题型4计算不规则图形的阴影部分面积】【典例4】（2023•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【变式4-1】（2023•建昌县二模）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【变式4-2】（2023•长阳县一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部分的面积为．【变式4-3】（2023•叶县模拟）如图，扇形OAB的半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，则以AB为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是cm2．【题型5旋转过程中扫过的路径或面积】【典例5】（2020秋•江城区月考）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）A．10πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm【变式5-1】（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为．（结果保留π）【变式5-2】（2022•武山县校级一模）如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为．【变式5-3】（2022秋•邯山区校级期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C，直接写出A′，B′坐标；（2）在（1）的条件下，请直接写出点B旋转到点B′所经过的路线长（结果保留π）；（3）在（1）的条件下，求点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积（结果保留π）．【典例6】（2023•丰润区二模）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．3π【变式6-1】（2023•凉山州模拟）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（）A． B． C．6π D．以上答案都不对【变式6-2】（2023春•诸暨市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A．π﹣ B．π+ C．π D．【变式6-3】（2023•义乌市校级开学）如图，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2．将△BDE绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE所扫过的面积（即阴影部分面积）为（）A． B． C． D．【题型6圆锥的计算】【典例7】（2023•零陵区三模）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（）A．π B．2π C．3π D．4π【变式7-1】（2023•武陵区一模）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则该圆锥的侧面积是（）A．30cm2 B．30πcm2 C．15πcm2 D．12πcm2【变式7-2】（2023•仁和区二模）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36πm2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A． B．144πm2 C． D．216πm2【变式7-3】（2023•蜀山区二模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（）A．90° B．120° C．150° D．180°【题型7圆柱的计算】【典例8】（2022秋•怀柔区校级月考）将一个高6cm的圆柱转化成如图的一个几何体后，表面积增加了48cm2．这个圆柱的半径是（）cm．A．2 B．4 C．8 D．16【变式8-1】（2022春•绥棱县校级月考）把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段，表面积增加了（）平方厘米．A．240 B．80 C．120 D．160【变式8-2】（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（）A．282.6 B．282600000 C．357.96 D．3579600001．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（）A．12π B．6π C．4π D．2π2．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（）A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．203．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（）A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣44．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为度．5．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．6．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．7．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．8．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）9．（2023•内江）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是．10．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．（结果保留π）11．（2023•自贡）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是cm2．户：gaga；邮箱学号：1891．（2023•东莞市校级模拟）如图，点A、B、P在⊙O上，若AO＝2，∠APB＝35°，则劣弧的长度为（）A． B． C．π D．2．（2023•南岗区校级三模）已知扇形半径为6，弧长为4π，则扇形面积为（）A．10π B．12π C．16π D．24π3．（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为（）A． B．﹣3 C． D．4．（2023•建昌县一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交边CD于点E，连接AE，则扇形BAE的面积为（）A． B． C． D．5．（2023•南皮县校级一模）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是（）A．1 B．1.5 C．2 D．6．（2022秋•防城港期末）在中国书画艺术中，扇面书画是一种特殊的形式．如图扇面书法作品的形状是同心圆作出的扇面，扇面弧所对的圆心角是120°，大圆半径是20cm，小圆半径是10cm，则此书法作品的扇面面积是（）A．300πcm2 B．200πcm2 C．100πcm2 D．80πcm27．（2022•治多县模拟）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．π B．π C．π D．48．（2023•宿迁一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（）A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm29．（2023•常德三模）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆的面积为（）A．2.25πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．36πcm210．（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（）A． B． C．2π D．11．（2023•微山县一模）如图，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，弧BB′的长是（）A．2π B． C． D．12．（2023•庆元县一模）如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为2π，则此弧三角形的面积是（）A． B． C． D．2π13．（2023•阳泉二模）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，半圆绕点B顺时针旋转45°．点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（）​A． B．π C． D．14．（2022•南岗区校级开学）一个底面直径是10厘米，高是20厘米的圆柱，如果把它沿直径垂直于底面切成两半，表面积