2021年人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法教案

14.1整式的乘法

14.1.1同底数呆的乘法

教学目标：

1.理解并掌握同底数得的乘法法则.（重点）

2.运用同底数得的乘法法则进行相关运算.（难点）

教学过程：

一、情境导入

问题：2014年9月，一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离

地球约100光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3X10i<m/s.问：这颗行星

距离地球多远?（1年=3.1536X10%）

3X105X3.1536X107X100=3X3.1536X107X105X102=9.4608X105X107X102.

问题："lo'xiosxio?”等于多少呢？

二、合作探究

探究点一：同底数嘉的乘法的计算

［类型一］底数为单项式的同底数嘉的乘法

的财计算：（1）23X2,X2；

（2）—a,（-a）2,（—a）3；

（3）•勿•加•勿.

解析：（1）根据同底数霖的乘法法则进行计算即可；（2）先算乘方，再根据同底数嘉的乘法

法则进行计算即可；（3）根据同底数森的乘法法则进行计算即可.

解：（1）原式=23+4+1=2"；

（2）原式=—3•，•（一成）=才•才•成=堤

（3）原式=加"i+2+1=请+4.

方法总结：同底数嘉的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数

为1的嘉，进行运算时，不能忽略了嘉指数1.

［类型二］底数为多项式的同底数嘉的乘法

就a计算：

(1)(2a+8产•(2a+b)3•3+6尸；

(2)(x—»•(y—x)\

解析：将底数看成一个整体进行计算.

解:⑴原式=(2a+力二+。+3+J)=3+6产；

(2)原式=—(才一力2•(X—05=-(x—01

方法总结：底数互为相反数的黑相乘时，先把底数统一，再进行计算.(a-b)"=

f(b—a)"(〃为偶数)，

1一(b—a)"(〃为奇数).

探究点二：同底数嘉的乘法法则的运用

［类型—］运用同底数一的乘法，求代数式的值

m若82fl+3-8〃T=8匕求2a+6的值.

解析：根据同底数第的乘法，底数不变指数相加，可得a、6的关系，根据a、6的关系求

解.

解：；82-3.81=8"+"-2=8'°,，2@+3+6—2=10,解得2a+8=9.

方法总结：将等式两边化为同底数嘉的形式，底数相同，那么指数也相同.

［类型二］同底数嘉的乘法的实际应用

KB经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，2015年前5

个月，某市共销售商品房8.31X10"平方米.据监测，商品房平均售价为每平方米4.7X10：,元，

2015年前5个月该市的商品房销售总额是多少元？

解析：先根据题意列出算式计算即可.

解:8.31X1O'X4.7X103=(8.31X4.7)X(10'XIO3)=3.9057X101元).

答：2015年前5个月该市的商品房销售总额是3.9057X1()8(元).

方法总结：本题考查了同底数得的乘法的应用，关键是根据题意得出算式，注意结果要用

科学记数法表示.

［类型三］利用同底数二的乘法探究指数的关系

碉已知2"=3,2〃=6,2'=18,试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由.

解析：观察题目的已知可以发现3X6=18,利用同底数寨相乘，底数不变指数相加解答.

解：•.•3X6=18,二2"・2'=2'+”=2°,：.a+b=c.

方法总结：解答此类问题就是利用同底数黑的乘法，将等式两边转化为底数相同的形式,

然后让指数相等解答.

探究点三：同底数嘉的乘法法则的逆用

M已知a"=3,a"=21,求a""的值.

解析：把尹"变成a"Xa",代入求值即可.

*+,,,

解：\'a"=3,a=21,..a-a"Xa=3X21=63.

方法总结：逆用同底数嘉的乘法法则把产〃变成"X".

三、板书设计

同底数箱的乘法

同底数寨相乘，底数不变，指数相加，即（勿、〃都是正整数）.

条件：（1）同底数累；（2）乘法.

结果：（1）底数不变；（2）指数相加.

14.1.2嘉的乘方

教学目标：

1.理解得的乘方的运算性质，进一步体会和巩固得的意义；通过推理得出寨的乘方的运算性

质，并且掌握这个性质.（重点）

2.掌握寨的乘方法则的推导过程并灵活应用.（难点）

教学过程：

一、情境导入

1.填空：

（1）同底数塞相乘不变，指数;

（2）a2Xa=；10"X10n=；

⑶（-3）?X（—3）6=；

(4)a•a',a=；

⑸(23)2=2(>；(y)5=y)；(2100)3=2()•

2.计算(2丁；(24)3；(102)3.

问题：(1)上述几道题目有什么共同特点？

(2)观察计算结果，你能发现什么规律？

(3)你能推导一下(a")"的结果吗？请试一试.

二、合作探究

探究点一：嘉的乘方

［类型_］直接应用型的乘方法则进行计算

硒I计算：

⑴("(2)(尸广

⑶［⑵)丁(4)［(D)H

解析：直接运用(/)〃=产计算即可.

解:⑴(a')』，*』1；

⑵==X"；

(3)［(24)3］3=24X3X3=236；

(4)［(加一〃)丁=(印—拼：

方法总结：运用暴的乘方法则进行计算时，一定不要将嘉的乘方与同底数嘉的乘法混淆,

在嘉的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式.

［类型二］含一的乘方的混合运算

〔例❷计算：a(—a)T—a2)3+a10.

解析：根据嘉的乘方和同底数得的乘法法则运算求解.

解:，(一a)%—，尸十屋=—3•a2-a6+a,o=-a,o+a,o=0.

方法总结：先算森的乘方，再算同底数得的乘法，最后算加减，然后合并同类项.

探究点二：嘉的乘方法则的逆运算

［类型一］运用暴的乘方法则比较数的大小

砸1请看下面的解题过程：

“比较2M与3，s的大小,解：：2汹=(24)与375=(33)25,XV24=16,33=27,16<27,

/.2100<375\请你根据上面的解题过程，比较3nM与那的大小，并总结本题的解题方法.

解析：首先理解题意，然后可得3HM=(3)°,5W=(53)20,再比较35与W的大小，即可求

得答案.

解：必=(3乎°,560=(53)20,又♦35=243,53=125,243>125,即S'S：.•.3侬>560.

方法总结：此题考查了塞的乘方的性质的应用.注意理解题意，根据题意得到3100=(35)20,

5“=(5丁°是解此题的关键.

［类型二］方程与美的乘方的应用

m已知2x+5y—3=0,求4,•32'的值.

解析：由2x+5y-3=0得2x+5y=3,再把4'•32"统一为底数为2的乘方的形式，最后

根据同底数嘉的乘法法则即可得到结果.

解：,?2x+5y-3=0,，2x+5y=3,4'-32'=方*、2*=22"+5'=23=8.

方法总结：本题考查了霖的乘方的逆用及同底数得的乘法，整体代入求解也比较关键.

［类型三］根据嘉的乘方的关系，求代数式的值

砸I已知2'=8f，9'=3'-'则代数式:x+Jy的值为.

解析：由2,=8*，9'=3L9得2'=23"'+",32?=3A-9,则x=3(y+l),2y=x—9,解得x=

21,y=6,故代数式Jx+Jy=7+3=10.

0乙

方法总结：根据嘉的乘方与积的乘方公式转化得到x和y的方程组，求出x、y,再计算

代数式.

三、板书设计

塞的乘方

得的乘方的运算公式：(/)"=*(勿，〃为正整数).

即嘉的乘方，底数不变，指数相乘.

14.1.3积的乘方

教学目标：

1.掌握积的乘方的运算法则.(重点)

2.掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用.(难点)

教学过程：

一、情境导入

1.教师提问：同底数霖的乘法公式和糯的乘方公式是什么？

学生积极举手回答：

同底数嘉的乘法公式：同底数嘉相乘，底数不变，指数相加.

得的乘方公式：得的乘方，底数不变，指数相乘.

2.肯定学生的发言，引入新课：今天学习幕的运算的第三种形式一一积的乘方.

二、合作探究

探究点一：积的乘方

［类型—］直接利用积的乘方法则进行计算

硒1计算：(1)(-5aZ?)3；(2)—(3/y)L；

4

(3)(—酸")：'；(4)(—沙).

解析：直接应用积的乘方法则计算即可.

解：(1)(—5at>)3=(-5)'a%'=-125a%；

(2)—(3%y)2=—32xy=~9xy；

42334964G9

(3)(->c)=(-^)WC=-^c；

(4)(-父产)2=(-l)2/产=讨产.

方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不

要漏乘方.

［类型二］积的乘方在实际中的应用

4

蒯国太阳可以近似地看作是球体，如果用/、氏分别代表球的体积和半径，那么仁金兀下，

O

太阳的半径约为6X105千米，它的体积大约是多少立方千米？（口取3）

4

解析：将A=6X1O5千米代入—鼻”，，即可求得答案.

O

44

解：・・・7?=6乂10,千米，・•・/=鼻兀川=可义JiX（6X105）3=8.64X10”（立方千米）.

答：它的体积大约是8.64X10”立方千米.

方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键.

［类型三］含积的乘方的混合运算

M0计算：⑴-4xy•（%/尸•（-2*尸；

（2）（—a少产+（—才切

解析：（1）先进行积的乘方，然后根据同底数嘉的乘法法则求解；（2）先进行积的乘方和集

的乘方，然后合并.

解：⑴原式=44♦•8%6=8系声

⑵原式=成82一成2=（）.

方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项.

探究点二：积的乘方的逆运算

［类型—］利用积的乘方的逆运算进行简便运算

93

周E1计算：（/'X铲吗

解析：将（会m6转化为（*刈5*宗再逆用积的乘方公式进行计算.

解：原式=（令9她5x（IQ）F=Q（|9x1Q）2015x1Q=1Q

方法总结：对公式a"・"=（a6）",要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形,

转化为公式的形式.运用此公式可进行简便运算.

［类型二］利用积的乘方比较数的大小

（WI试比较大小：2咏31°与223：

M：V2'3X31（）=23X（2X3）10,2'°X312=32X（2X3）l0,23<32,.,.213X310<210X312.

方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的嘉是解答此类问题的关键.

三、板书设计

积的乘方

积的乘方公式：（a6）"=H6（〃为正整数）.

即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的号相乘.

第2课时多项式与多项式相乘

教学目标：

1.理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.（重点）

2.掌握多项式与多项式的乘法法则的应用.（难点）

教学过程：

一、情境导入

某地区在退耕还林期间，将一块长/米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加A米和6

米.用两种方法表示这块林区现在的面积.

学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：

这块林区现在长为（加+血米，宽为（a十份米，因而面积为（必+A）（a+6）平方米.

另外：如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，肱平方米、加平方米,

平方米，故这块地的面积为(以a+M?+Aa+〃b)平方米.

由此可得：(%+〃)(a+A)=ma+mb+na+nb.今天我们就学习多项式乘以多项式.

二、合作探究

探究点一：多项式乘以多项式

［类型_］直接利用多项式乘多项式进行计算

的U计算：

⑴(3x+2)(x+2)；

(2)(4y—1)(5—y).

解析：利用多项式乘多项式法则计算，即可得到结果.

解：(1)原式=3*+6x+2x+4=3/+8x+4；

(2)原式=20y—4/—5+y=—4y+217—5.

方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式

相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.

【类型二】混合运算

［例数计算：(3a+l)(2a—3)—(6a—5)(a—4).

解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可.

解：(3a+l)(2a-3)—(6a~5)(a-4)=6a-9a+2a-3-6a+24a+5a-20=22a-23.

方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号.

探究点二：多项式乘多项式的化简求值及应用

【类型一】化简求值

W先化简，再求值：(a-26)(a2+2a6+46?)—a(a—56)(a+36),其中a=-l,b=\.

解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算.

解：(a—2b)(a2+2aZ?+4Z>~)—a(a—56)(a+36)—a—8方'一(a'一5a8)(a+38)=a‘一86一

才一336+546+15。4=—8^+2a力+15a-.当a=—1,6=1时，原式=-8+2—15=—21.

方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，

再计算.

［类型二］多项式乘以多项式与方程的综合

［例而解方程：(x—3)(x—2)=(x+9)(x+1)+4.

解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项合并同类项，将x系数化为1,即

可求出解.

解：去括号后得：1一5才+6=*+10x+9+4,移项合并同类项得：-15x=7,解得x—

7

-15,

方法总结：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答.

［类型三］多项式乘以多项式的实际应用

碉千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a+6)米，宽为(2a+6)米的长方形地

块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间

的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3,6=2时的绿化面积.

4b2a+h

U■

解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案.

解：由题意，得(3a+6)(2a+Z?)—(a+Z?)"=6a2+5<aZ?+—a—2ab—Z?'=5a,2+3aZ?,当a

=3,6=2时，5a2+3aZ>=5X32+3X3X2=63,故绿化的面积是63m)

方法总结：用代数式表示图形的长和宽，再利用面积(或体积)公式求面积(或体积)是解决

问题的关键.

［类型四］多项式乘以单项式后，不含某一项，求字母系数的值

［例数已知aV+Ax+l(aWO)与3x—2的积不含产项，也不含x项，求系数a、。的值.

解析：首先利用多项式乘法法则计算出(a/+6x+l)(3x—2),再根据积不含京的项，也

不含x的项，可得含*的项和含x的项的系数等于零，即可求出a与6的值.

解：(aV+6x+l)(3X-2)=3ax3—2ay+36V—26x+3x—2,二,积不含V的项，也不含矛

3Q93

的项，；.一2a+3b=0,—26+3=0,解得6=5,a=,.：.系数a、。的值分别是彳,~

LJxALJ

方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根

据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答.

三、板书设计

多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每

一项，再把所得的积相加.

第3课时整式的除法

教学目标；

1.掌握同底数募的除法法则与运用.（重点）

2.掌握单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则.（重点）

3.熟练地进行整式除法的计算.（难点）

教学过程；

一、情境导入

1.教师提问：同底数寨的乘法法则是什么？

2.多媒体展示问题：

一种液体每升含有10"个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验,

发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀

菌剂多少滴？

学生认真分析后完成计算：需要滴数：10'2+109.

3.教师讲解：以前我们只学过同底数嘉的乘法的计算方法，那么像这种同底数嘉的除法

该怎样计算呢？

二、合作探究

探究点一：同底数嘉的除法

［类型_］直接用同底数，的除法进行运算

硒I计算：

(1)(一孙)(一孙)"；

(2)(A—2y)3-r(2y—%)2；

(3)U2+l)64-(a2+l)44-(a2+l)2.

解析：利用同底数嘉的除法法则即可进行计算，其中(1)应把(一灯)看作一个整体；(2)

把(x—2y)看作一个整体，2y—x—{x-2y)；(3)注意(a'+1)°=1.

解:⑴(一灯)"=(一灯)，=(一孙)"=(一切)5=一月洛

(2)(x—2y)3+(2y—%)2=(才一2力：'+(x-2y)'=x—2y；

(3)(a2+l)6-?(a2+l)4-?(a2+l)2=(a2+l)6-4-2=(a2+l)°=l.

方法总结：计算同底数嘉的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算.

［类型二］逆用同底数二的除法进行计算

m已知a"=4,a=2,a=3,求a-i的值.

解析：先逆用同底数嘉的除法，对进行变形，再代入数值进行计算.

2

解：：H=4,a"=2,a=3,a=44-24-3=-

o

方法总结：解此题的关键是逆用同底数嘉的除法得出L=**4a.

［类型三］已知整式除法的恒等式，求字母的值

［例❸若a(*y)'+(3月/)2=4//,求a、m、〃的值.

解析：利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可.

解：Va(yy)34-(3xy'y=4xy,axmyl4-9xyn=4xy,/.a-r9=4,3加-4=2,12—2〃

=2,解得a=36,m=2,n=5.

方法总结：熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键.

［类型四］整式除法的实际应用

M一颗人造地球卫星的速度为2.88X10Wh,一架喷气式飞机的速度为1.8X107/11,

这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？

解析：求人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍，用人造地球卫星的速度

除以喷气式飞机的速度，列出式子：(2.88X107)小(L8><106),再利用同底数得的除法计算.

解：(2.88X107)+(1.8X106)=(2.88+1.8)X(107-?106)=1.6X10=16.则这颗人造地球

卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍.

方法总结：用科学记数法表示的数的运算可以利用单项式的相关运算法则计算.

探究点二：零指数嘉

碉若(x—6)°=1成立，则x的取值范围是()

A.x》6B.xW6

C.xr6D.x=6

解析：：(才-6)°=1成立，解得xW6.故选C.

方法总结：本题考查的是0指数嘉，非0数的0次福等于1,注意0指数塞的底数不能为

0.

探究点三：单项式除以单项式

颓3计算.

(1)(2a-/>2c)(—2al)c)2；

(2)(3/y3z)'-r(3/y2z)-4-(^xyz).

解析：先算乘方，再根据单项式除单项式的法则进行计算即可.

解：(1)(2a5%)"z+(—2a62(?)2=

(2)(3/yz)'4-(3/yz)'4-yz)=81%l2yl2z'4-9/y'z4-^/yz=18/yz.

方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，有乘方的先算乘方，再算乘除.

探究点四：多项式除以单项式

［类型—］直接利用多项式除以单项式进行计算

(例EI计算：(72^/,—36^27+9^y)4-(―9%y).

解析：根据多项式除单项式，先用多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的

商相加.

解：原式=72x34+(—9^/)+(―36xy)4-(―9%y)+9^/4-(―9x/)=—8/，+4xy—1.

方法总结：多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所

得的商相加.

［类型二］被除式、商式和除式的关系

睡］已知一个多项式除以2x\所得的商是2f+1,余式是3X一2,请求出这个多项式.

解析：根据被除式、除式、商式、余式之间的关系解答.

解:根据题意得:2x?(2V+l)+3x—2=4X'+2*+3X—2,则这个多项式为4\'+2*+3才

—2.

方法总结：“被除式=商乂除式+余式''是解题的关键.

【类型三】化简求值

［例❾先化简，后求值：\,2x{xy—x/}+xy{xy-］-r/y,其中x=2015,y=2014.

解析：利用去括号法则先去括号，再合并同类项，然后根据除法法则进行化简，最后把x

与y的值代入计算，即可求出答案.

解：［2x(Vy-x力+xy{xy—x~)}4-/y=［2xy-2xy+xy~xy\xy=x~y,把x=2015,

y=2014代入上式得：原式=x-y=2015—2014=1.

方法总结：熟练掌握去括号，合并同类项，整式的除法的法则.

三、板书设计

同底数累的除法

1.同底数寨的除法法则：a^a=a^'\m,〃为正整数，ni>n,aWO）.

2.同底数塞的除法法则逆用：（勿，〃为正整数，Gn,a#O）.

14.1.4整式的乘法

第1课时单项式与单项式、多项式相乘

1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算.（重

点）

2.熟练应用运算法则进行计算.（难点）

一、情境导入

1.教师引导学生回忆塞的运算公式.

学生积极举手回答：同底数嘉的乘法公式：d•〃为正整数).

嘉的乘方公式：(a")"=a“E,A为正整数).

积的乘方公式：(a6)"=a7"(A为正整数).

2.教师肯定学生的回答，并引入课题一一单项式与单项式、多项式相乘.

二、合作探究

探究点一：单项式乘以单项式

［类型一］直接利用单项式乘以单项式法则进行计算

砸I计算：

⑴(―|a%)•(|ac2)；

⑵(―%4,3xy,(2zy)2；

(3)—Q/nn,(x-力,•~:mnky—X)2.

o

解析：运用嘉的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可.

解：(1)•(^ac2)=—1x^a;!Z>c=—^abc；

3b369

(2)(—3•3xy•(2xy)2=~yXZxyX4/y=~7；

(3)—6®/7,(x—y)J,\mrf(y—%)'=—6X{x~y)'——2/nn(z—y)\

ou

方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按

顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍

然成立.

［类型二］单项式乘以单项式与同类项的综合

«已知一2铲+歹"与的积与X)是同类项，求/+〃的值.

解析：根据一2炉,六与7/-»-3一的积与X)是同类项可得出关于加，〃的方程组，进而求

出加，A的值，即可得出答案.

3加+1+〃­6=4,m=2,

解：•.•一2*叶|武与7尸卯-J的积与是同类项，.二解得:

.2/7-3-m=1,〃=39

m+n=7.

方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数得分别相乘，结合同类项，列出

二元一次方程组.

［类型三］单项式乘以单项式的实际应用

1例❸有一块长为AID,宽为ym的矩形空地，现在要在这块地中规划一块长|刈1,宽*ym的

矩形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积.

解析：先求出长方形的面积，再求出矩形绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积.

RR9

解：长方形的面积是砌大矩形空地绿化的面积是自x%=高灯(m)2,则剩下的面积是打

5420

一景尸器灯面)•

方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键.

探究点二：单项式乘以多项式

［类型_］直接利用单项式乘以多项式法则进行计算

砸1计算：

21

(1)(^alf—2a6),~ab；

(2)—2x・(-A-2y+3y—1).

解析：先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可.

212111

解：(1)(鼻己〃-2ab)•~zab=-alj•~zab—2ab•-zab=-a1)—al/；

o乙J乙乙。

(2)—2x•(^-/y+3y-1)=-2x•y+(—2%)・3y—(—2x)•1=—(-6才。一(一

2x)=­/y—6灯+2x.

方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多

项式的每一项，再把所得的积相加.

［类型二］单项式乘以多项式乘法的实际应用

»一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a+26)米，坝高5米.

(1)求防洪堤坝的横断面积；

(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法则计算；(2)防洪堤坝的体

积=梯形面积X坝长.

解：(1)防洪堤坝的横断面积S=ka+(a+26)］X：a=；a(2a+26)=1a2+1aZ?.故防洪堤坝

乙乙母乙乙

的横断面积为(%+金)平方米；

乙乙

(2)堤坝的体积V=Sh=弓才+9份X100=50a2+50aZ7.故这段防洪堤坝的体积是(504+

乙乙

50a⑸立方米.

方法总结：通过本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积=梯形面积X长度)

的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键.

【类型三】化简求值

M0先化简，再求值：3a(2a?-4a+3)-2a?(3a+4),其中a=-2.

解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的

数值计算即可.

解：3a(2a2—4a+3)—2a?(3a+4)=6a‘-12a2+9a—6a3—8a2=-20a?+9a,当a——2时，

原式=-20X4—9X2=-98.

方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞

错.

［类型四］单项式乘多项式，利用展开式中不含某一项求未知系数的值

2

硒I如果（-3x）2（/—2AX+鼻）的展开式中不含f项，求〃的值.

解析：原式先算乘方，再利用单项式乘多项式法则计算，根据结果不含f项，求出力的

值即可.

22

解：（-3x）2（f—2〃x+.）=（9/）（/—2〃*+鼻）=9x」-18加+6*,由展开式中不含f项,

O<3

得到n—0.

方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系

数为0.

三、板书设计

单项式与单项式、多项式相乘

1.单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幕分别

相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.

2.单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的

每一项，再将所得的积相加.

14.2乘法公式

14.2.1平方差公式

教学目标：

1.掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解.（重点）

2.掌握平方差公式的应用.（重点）

教学过程：

一、情境导入

1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则.

学生积极举手回答.

多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另

一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

2.教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘一一平方差公式.

二、合作探究

探究点：平方差公式

［类型一］判断能否应用平方差公式进行计算

硒1下列运算中，可用平方差公式计算的是()

A.(x+。(x+y)

B.(—x+y)(x-力

C.(-x-y)(y-x)

D.(x+y)(~x—y)

解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(-x+y)(x—〃)

=—(X—y)(X—y),含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(一x—力(y

一X)=(x+y)(x—y),含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；

D中(x+y)(—x-y)=-(x+y)(x+y),含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错

误；故选C.

方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，

另一项互为相反数.

［类型二］直接应用平方差公式进行计算

m利用平方差公式计算：

(1)(3x—5)(3x+5)；

(2)(—2a—6)(6—2a)；

(3)(—7/z?+8n)(―8/7—7z»)；

(4)(%—2)(x+2)(%+4).

解析：直接利用平方差公式进行计算即可.

解：(1)(3x—5)(3x+5)=(3x)'—5i=9x—25；

(2)(―2a—/>)(b—2a)=(-2a)2—Z>2=4<a2—Z>2；

(3)(—7加+8〃)(-8z?-7加)=(11m)'—(8/?)2=49/?/—64//；

(4)(x—2)(x+2)(*+4)=(/—4)(z+4)=x'—16.

方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，

并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反

项的平方；(3)公式中的a和6可以是具体数，也可以是单项式或多项式.

［类型三］平方差公式的连续使用

丽求2(3+1)(32+1)(3+1)(38+1)的值.

解析：根据平方差公式，可把2看成是(3—1),再根据平方差公式即可算出结果.

解:2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)=(32-1)(32+

1)(3'+1)(38+1)=(3'-1)(3'+1)(38+1)=(38-1)(38+l)=3I6-l.

方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止.

［类型四］应用平方差公式进行简便运算

利用平方差公式简算：

(l)2o|xi9|；(2)13.2X12.8.

1911

解析：(1)把2Kxi9可写成(20+1)X(20—鼻)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2

OOJO

X12.8写成(13+0.2)X(13—0.2),然后利用平方差公式进行计算.

儿”，、12/,1、，1、18

解：(1)20^X19-=(20+-)X(20--)=400--=399-；

(2)13.2X12.8=(13+0.2)X(13-0.2)=169-0.04=168.96.

方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键.

【类型五】化简求值

先化简，再求值：(2x—力(y+2x)—(2y+x)(2y—x),其中x=l,y=2.

解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解.

解：(2x—y)(y+2x)—(2y+%)(2y-x)=4%2—/—(4/—/)=4/—/—4/+/=5/—5/.

当x=l,y=2时，原式=5X12—5X2?=—15.

方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算.

［类型六］利用平方差公式探究整式的整除性问题

［例13对于任意的正整数n,整式(3〃+1)(3〃-1)—(3—/?)(3+〃)的值一定是10的倍数

吗？

解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数.

解:原式=9zf—1—(9—力=10，—10=10(A+1)(〃—1),为正整数,(77—1)(??+

1)为整数，即(3Z7+1)(3/7-1)-(3—力(3+力的值是10的倍数.

方法总结：对于平方差中的a和6可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整

除性或倍数问题时，要注意这方面的问题.

［类型七］平方差公式的实际应用

睡I王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈

说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，

就答应了.你认为李大妈吃亏了吗？为什么？

解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小

即可.

解：李大妈吃亏了.理由：原正方形的面积为3,改变边长后面积为(a+4)(a-4)=,

—16,a">a2—16,.,.李大妈吃亏了.

方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题.

［类型八］平方差公式的几何背景

睡］如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为8的小正方形(a>8),把剩下部分

拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是.

b

解析：..•左图中阴影部分的面积是/一次右图中梯形的面积是:(2a+26)(a-6)=(a+

6)(a—6),/.a2—Z>2=(a+Z>)(a~b),即可验证的乘法公式为：(a+Z?)(a—Z?)=a2—b\

方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释.

三、板书设计

平方差公式

文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差

符号语言：(<a+6)(a—6)=a~~I)

14.2.2完全平方公式

教学目标：

1.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算.(重点)

2.灵活运用完全平方公式进行计算.(难点)

教学过程：

一、情境导入

1.教师引导学生复习平方差公式.

学生积极举手回答.

平方差公式：(a+A)(a—6)—a—6.

2.教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相

乘---完全平方公式.

二、合作探究

探究点一：完全平方公式

［类型—］直接运用完全平方公式进行计算

的U利用完全平方公式计算：

(1)(5—a)J；

(2)(—3m—4A产；

(3)(—3a+6)1

解析：直接运用完全平方公式进行计算即可.

解：(1)(5—a)J=25—10a+a2；

(2)(一3加一4〃)2=9序+24皿?+16诡

(3)(—3a+8)2=93—6aZ?+IJ.

方法总结：完全平方公式：(a土6)2=a2±2a8+〃.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍

中间放

［类型二］构造完全平方式

如果36*+(加+1)0+25y是一个完全平方式，求力的值.

解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定加的值.

解：,.,36/+(加+l)xy+25/=(6x)°+(加+l)xy+(5y)-，(%+l)xy=±2•6x•5y,'.m

+1=+60,.=59或一61.

方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的

2倍的符号，避免漏解.

［类型三］运用完全平方公式进行简便运算

M3利用乘法公式计算：

⑴982—101X99；

(2)20162-2016X4030+20152.

解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果.

解：(1)原式=(100—2)2—(100+1)(100—1)=10()2—400+4—100?+1=—395；

⑵原式=2016?—2X2016X2015+20152=(2016-2015)2=1.

方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为

能利用完全平方公式的形式.

［类型四］灵活运用完全平方公式求代数式的值

［例E!已知x—y=6,%y=—8.

(1)求/+/的值；

(2)求代数式:(x+y+2)2+；(x—y—z)(x—y+z)—z［x+y)的值.

乙乙

解析：(1)由(X一力2=*+/—2孙，可得/+/=(x—yL+2孙，将x—y=6,孙=一8代

入即可求得才2+/的值；(2)首先化简之(才+9+2尸+；(才一旷一2)(才一〃+2)~z{x+y)=x+y,

由(1)即可求得答案.

解:(1)VA—y=6,xy=~8,二(*一。2=/+/—2灯，'.x+/=(-Y—+2zy=36—16

=20；

(2)：J(x+y+z),+J(x—y—z)(x—y+z)-z(x+y)=~(.x+y+z2+2xy+2xz+2yz)+］

乙乙乙乙

聂+聂—xy-~/—xz—yz=X'+/,又

vy+y=20,二原式=20.

方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(工一力2=/+/—20，f+/=(x

—y)-\-2xy.

［类型五］完全平方公式的几何背景

我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一

些代数恒等式.例如图甲可以用来解释(a+6)2—(a—02=4劭.那么通过图乙面积的计算，验

证了一个恒等式，此等式是()

图甲图乙

A.a—l)=(a+Z?)(a—Z?)

B.(a—6)(司+28)=^+ab—2t)

C.(a—6)°=看-2ab+■廿

D.(a+»=M+2ab+6

解析：空白部分的面积为(》一6)2,还可以表示为才一2数+况所以，此等式是g—02

=a—2ab+b\故选C.

方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.

探究点二：添括号后运用完全平方公式

(WB计算：(1)(a—6+c)；

(2)(1—2x+y)(l+2x—y).

解析：利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并

注意添括号的符号法则.

解：(1)原式=[(a—8)+c「=(a—6),+/+2(a—6)c=a—2ab+6+c~\~2ac—2bc=a2

1)-2ab+2ac—26c；

(2)原式=[1+(—2x+y)][1-(—2x+y)]=1/—(—2x+y)"=1—4*+4灯一y.

方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a±6)2的形式.注意&b可

以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性.

三、板书设计

完全平方公式

1.探究公式：(<aiZ?)2=a2+2,aZ?+Z>2；

2.完全平方公式的几何意义；

3.利用完全平方公式计算.

14.3因式分解

14.3.1提公因式法

教学目标：

1.理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系.会用提取公因式的方法分解

因式.(重点)

2.会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式.(难点)

教学过程：

一、情境导入

1.多媒体展示，让学生完成.

计算：(l)/〃(a+b+c)；(2)(a+6)(a—6)；(3)(a+Z?)2.

学生通过回忆前面所学的解题方法，完成解题，并积极作答：

(1)勿(a+6+c)=mb+mc\

(2)(z+b)Q—Z?)=a一甘，,

(3)(a+Z?)2=<32+2aZ?+Z72.

2.学生通过对比上题发现：

(X)ma+mb+mc=m(a+b+c)；

(2)a—b~—(a+Z?)(a—Li)；

(3)a-\-2ab-]rIJ=(a+Z?)\

3.教师肯定学生的表现，说明其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几

个整式的积的形式，该过程叫做因式分解，这节课我们就来探讨它.

二、合作探究

探究点一：因式分解的概念

颐I下列从左到右的变形中是因式分解的有()

@x—y—\=(x+y){x—y)—1；@x+x=x(x+1)；(3)(^—y)2=^2—；④/—9/

=(x+3y)(x—3y).

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式

转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④