复数的加减运算及其几何意义（教学设计）

§一、内容和内容解析内容：复数的加减运算及其几何意义．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第一课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.通过实例，明确复数的加减运算法则，发展数学运算素养.经历复数加减运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性.（2）明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养.（3）经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养.目标解析：（1）复数的加法法则是直接规定的，教学中可以引导学生结合引入复数集的过程，即在将实数集扩充到复数集时，希望数集扩充后，在复数集中规定的加法、乘法运算，与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且运算律也满足．（2）+bi中的实部和虚部a,b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.基于上述分析，本节课的教学重点定为：熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则．三、教学问题诊断分析教学问题一：在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但探究复数加法的几何意义有一定难度.解决方案：在讲解本节前，可在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措.教学问题二：复数加法的几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过类比向量加法的几何意义得到复数加法的几何意义．教学问题三：如何得到复数的减法是第三个教学问题．学生很容易把类比向量的减法得到复数的减法．其实，类比多项式的加减我们既可以得到复数的加法法则，也可以得到复数的减法法则．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的加减运算及其几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视加减法法则的发现与证明，让学生体会到类比思想的重要性．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾，温故知新[问题1]试判断下列复数SKIPIF1<0在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。[问题2]同时用坐标和几何形式表示复数SKIPIF1<0所对应的向量，并计算SKIPIF1<0[问题3]向量的加减运算满足何种法则？教师1：提出问题1．学生1：学生思考,完成.教师2：提出问题2．学生2：学生思考,完成.教师3：提出问题3．学生3：学生思考,完成.通过复习，为引入本节新课做好铺垫。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。探索交流，解决问题[问题4]设向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))分别与复数a＋bi，c＋di对应，那么eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))的坐标如何呢？[问题5]向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是什么？[问题6]按照平面向量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？[问题7]类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？教师4：提出问题4．学生4：eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(c，d)，eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(a＋c，b＋d)．教师5：提出问题5．学生5：向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2.教师6：提出问题6．学生6：复数z1－z2的几何意义就是向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数．教师7：小结一下：1.加、减法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2.加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3.复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq\o(OZ,\s\up6(→))，与z1－z2对应的向量是eq\o(Z2Z1,\s\up6(→)).教师8：提出问题7．学生7：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．通过思考，类比向量的运算引入复数的加减运算，提高学生分析问题、概括能力。典例分析，举一反三1.复数的加减运算例1计算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．2.复数加、减运算几何意义例2已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.(1)求eq\o(AO,\s\up6(→))表示的复数；(2)求eq\o(CA,\s\up6(→))表示的复数．3.复数加、减运算几何意义的应用例3已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．[课堂练习1]在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))对应的复数；(2)判断△ABC的形状．[课堂练习2]设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，求|z1－z2|.教师9：完成例题1．学生8：(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(2)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.教师10：完成例题2．学生9：(1)因为eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)因为eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.教师11：完成例题3．学生10：由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.教师12：布置课堂练习1、2．学生11：完成课堂练习，并核对答案．通过例题进一步巩固复数的加减运算，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。[课堂练习1]巩固复数加减法的几何意义．[课堂练习2]能用复数的几何意义解决综合问题.课堂小结升华认知[问题7]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为()A．5－3iB．3＋5iC．7－8i D．7－2i2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．3.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在()A．实轴上B．虚轴上C．