土木工程制图 第3章 点、线、面

3.1点的投影

3.2直线的投影

3.3平面的投影

本章小结结束放映第3章点、直线、平面的投影

Pb

●●AP采用多面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B3●B2●B1●

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。一、点在一个投影面上的投影a

●3.1点的投影解决办法？HWV二、点的三面投影投影面◆正面投影面（简称正面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）◆侧面投影面（简称侧面或W面）投影轴OXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线三个投影面互相垂直YWHVOXZY空间点A在三个投影面上的投影a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a

●a●a

●

A●●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动投影面展开WVHaa●x●●azZaa

yayaXY

YO

●●●●XYZOVHWAaa

a

点的投影规律:①a

a⊥OX轴②aax=

a

ax=aay=xaazay●●YZaza

XYayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ轴=y=Aa

（A到V面的距离）a

az=x=Aa

（A到W面的距离）a

ay=z=Aa（A到H面的距离）a

az三、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲z坐标大的在上B点在A点之前、之右、之下。b

aa

a

b

b●●●●●●XYYZo()a

cc

重影点：

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。●●●●●a

a

c

被挡住的投影加()A、C为哪个投影面的重影点呢？A、C为H面的重影点aa

a

b

b

b●●●●●●3.2直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。⒈

直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性

BA●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=AB.cos

●●AB●●ab

AMB●a≡b≡m●●●⒉直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面

其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。⑴投影面平行线γβXZ″baaabbOYY′′″水平线实长①在其平行的那个投影面

上的投影反映实长，并

反映直线与另两投影面

倾角的实大。②另两个投影面上的投影

平行于相应的投影轴，

其到相应投影轴距离反

映直线与它所平行的投

影面之间的距离。投影特性：VHabAaaγβBbbWβγ′′″″判断下列直线是什么位置的直线？侧平线正平线与H面的夹角:

与V面的角:β与W面的夹角:γ实长

β实长γ

b

a

aba

b

b

aa

b

ba

直线与投影面夹角的表示法：反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。⑵投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线②

另外两个投影，①

在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●a

b

a(b)a

b

●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)⑶一般位置直线Z

YaOXabbaYb

三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。投影特性HaβγaAb

VBbWa

b

例：试根据各种位置直线的投影特性判断三棱锥上六条棱边为什么位置的直线。AB为

；BC为

；AC为

；SB为

；SA为

；SC为

。水平线VXYOZSABCXYHYWZOb"b's'a'c'bsacs"a"c"水平线侧垂线侧平线一般位置直线一般位置直线VXYOZ(3)

求一般位置直线段的实长和倾角a′b′aba″b″ABαβγ求解一般位置直线段的实长及倾角是画法几何的基本问题之一，也是工程上的常见问题。解决方法：直角三角形法直角三角形法的作图要领：1、用直线段在某一投影面P上的投影长作为一条直角边；2、以直线段两端点在另一投影面上的坐标差为另一条直角边；3、所作直角三角形的斜边即为直线段的实长。4、图中直角三角形中投影直角边与实长所形成的锐角即为直线段对P的夹角。VOYZXABa′b′aba″b″

知二求二：从图中可看出，已知实长、投影长、坐标差、倾角中的任两个，就可求出另外两个。注意：直角三角形的直角边不能用错！VOYZXABa′aba″b″

b′注意对应关系!

ABabΔZΔY

a

b

ΔX

a

b

VOXb′ABa′ab

例1：求直线的实长及对H面的夹角

角。OXaba'b'|zA-zB|AB的实长

|zA-zB|

|zA-zB|VOXb′ABa′ab

例1：求直线的实长及对H面的夹角

角。(解法2)OXaba'b'|zA-zB|AB的实长

|zA-zB|

|zA-zB|abababAB的实长

例2：求直线的实长及对V面的夹角

角。VOXb′ABa′abOXaba'b'|yA-yB|AB的实长

|yA-yB|AB的实长

a'b'a'b'|yA-yB|

a'b'cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″二、直线与点的相对位置◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。

◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

=a

c

:c

b

定比定理例1：判断点C是否在线段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在a

b

●c

●●aa

b

c

b③c不在应用定比定理另一判断法?例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：（应用第三投影）解法二：（应用定比定理）●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。⒈两直线平行

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

例：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。

对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。a

b

c

d

cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

①abcdc

a

b

d

⒉两直线相交

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直线的共有点a

c

VXb

HDacdkCAk

Kd

bOBcabd

b

a

c

d

kk

●cd

k

kd例1：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影a●bb

a

c

例2：判断直线AB、CD的相对位置。′c′′a′bdabcd相交吗？不相交！为什么？

交点不符合空间一个点的投影特性。判断方法？⒈应用定比定理⒉利用侧面投影⒊两直线交叉为什么？两直线相交吗？

不相交！

交点不符合一个点的投影规律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′4.两直线垂直讨论其中一条直线为投影面平行线的情况BC//PABBCabbc直角投影定理EFABCabcPa'b'c'd'abcdabcd已知AB//H、ABCD，求cd。例1dd例2：已知等腰三角形ABC的腰为AB，它的底在正平线BD上，求等腰三角形的投影。bb

●●●c●a

ac例3：已知两交叉直线AB、CD,其中CD为铅垂线，AB为一般位置直线，求两直线之间的距离。′c′′a′bdabc(d)●kk′公垂线水平线线段mk即两直线之间的距离m’m例4：已知线段AC为正方形ABCD的一对角线，另一对角线BD为侧平线，试作正方形的投影。Z

YaOXccYb

a

b

.中点AC实长c

d

a

d

bd结束？继续？3.3平面的投影一、平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线平面图形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

二、各种位置平面及其投影特性垂直倾斜投影特性★平面平行投影面——投影就把实形现★平面垂直投影面——投影积聚成直线★平面倾斜投影面——投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈

平面对一个投影面的投影特性平行⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面c

c

⑴投影面垂直面为什么？abca

b

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。a

b

c

a

b

c

abc⑵投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a

b

c

a

c

b

abc⑶一般位置平面三个投影都类似。投影特性：a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解?45°三、平面内的点和直线位于平面上的直线应满足的条件：⒈

平面上取任意直线●●MNAB●M若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。abcb

c

a

d

d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在

平面内任作一条直线。解法一：解法二：有多少解？有无数解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab唯一解！有多少解？⒉

平面上取点

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。baca

k

b

●①c

面上取点的方法：d

d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解