建筑结构抗震设计多自由度弹性体系的地震反应

第三章地震作用和结构抗震验算一、课程内容二、重点、难点和根本要求1整理课件第三章课程内容§3-1概述§3-2单自由度弹性体系的地震反响§3-3单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反响谱法§3-4多自由度弹性体系的地震反响§3-5多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反响谱法§3-6底部剪力法和时程分析法§3-7水平地震作用下的扭转效应§3-8结构的竖向地震作用§3-9结构自振周期的近似计算§3-10地震作用计算的一般规定§3-11结构抗震验算2整理课件第三章重点、难点和根本要求重点和难点：1、重要术语、概念、定义2、单〔多〕自由度体系地震反响和地震作用计算3、底部剪力法4、结构抗震验算根本要求：掌握结构抗震验算根本方法3整理课件§3-4多自由度弹性体系的地震反响一、多质点和多自由度体系二、两自由度弹性体系的自由振动1、两自由度运动方程的建立2、两自由度弹性体系的运动微分方程组3、两自由度弹性体系的自由振动三、多自由度弹性体系的自由振动1、n自由度体系运动微分方程组2、n自由度弹性体系的自由振动四、振型分解法1、两自由度体系振型分解法2、n自由度体系振型分解法4整理课件一、多质点和多自由度体系在进行建筑结构地震反响分析时，除了少数质量比较集中的结构可以简化为单质点体系外，大量的多层和高层工业与民用建筑、多跨不等高单层工业厂房等，质量比较分散，那么应简化为多质点体系来分析，这样才能得出比较符合实际的结果。一般，对多质点体系，假设只考虑其作单向振动时，那么体系的自由度与质点个数相同。5整理课件二、两自由度弹性体系的自由振动左图为一两自由度弹性体系在水平地震作用下，在时刻t的变形情况。Xg(t)为地震时地面运动的水平位移，质点1和质点2沿地面运动方向产生的相对于地面的水平位移分别为x1(t)和x2(t)，而相对速度那么为和，相对加速度为和，绝对加速度分别为+和+。6整理课件1、两自由度运动方程的建立单自由度体系相似，取质点1作隔离体，那么作用在其上的惯性力为：弹性恢复力为：阻尼力为：式中k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，在质点1处所需施加的水平力；k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，在质点1处引起的弹性反力；c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，在质点1处产生的阻尼力；c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，在质点1处产生的阻尼力；m1——集中在质点1上的质量。7整理课件2、两自由度弹性体系的运动微分方程组根据达朗贝尔原理，I1+R1+S1=0，经整理得以下运动方程同理对于质点2:上二式就是两自由度弹性体系在水平地震作用下的运动微分方程组。上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动方程中的系数kij反映了结构刚度的大小，称为刚度系数。8整理课件3、两自由度弹性体系的自由振动

以两自由度体系为例，令方程组等号右边荷载项为零，由于阻尼对体系自振周期影响很小，故略去阻尼，即得该体系无阻尼自由振动方程组：设两个质点作同频率、同相位的简谐振动，那么上列微分方程组的解为：式中X1和X2——分别为质点1和质点2的位移振幅；ω——振动频率；φ——初相位。经整理后得以下振幅方程：9整理课件1〕、自振频率和自振周期上式为Xl和X2的线性齐次方程组；体系在自由振动时，X1和X2不能同时为零，否那么体系就不可能产生振动。为使上式有非零解，其系数行列式必须等于零，即：展开行列式，可得ω2的二次方程：上式称为频率方程，解之得：由此可求得ω的两个正实根，它们就是体系的两个自振圆频率。其中较小的一个用ωl表示，称为第一频率或根本频率，较大的一个ω2称为第二频率。利用式可由ωl和ω2求得体系的两个自振周期，即T1=2π/ω1和T2=2π/ω2，且T1＞T2，T1称为第一周期或根本周期，T2称为第二周期。10整理课件2〕、主振型由于线性齐次方程组的系数行列式等于零，所以两个频率方程并不是独立的，振幅方程的解只能是两质点位移振幅的比值，如：

或当，振幅比值为：当，振幅比值为：

式中：——体系按频率ωj(频率序号j=1，2)自由振动时，质点i

(质点编号i=1，2)的位移振幅。当，质点位移：和当，质点位移：和式中——体系按频率ωj(频率序号j=1，2)自由振动时，质点i

(质点编号i=1，2)的位移

11整理课件那么在两种不同频率的自由振动过程中，两质点的位移比值分别为：当时，当时，上式中每一比值均与时间无关，且为常数。这就说明，对应于各个自振频率，体系在相应自由振动过程中的任意时刻，两质点的位移比值(或振动曲线形状)始终保持不变，且等于Xj2／Xj1，改变的只是位移大小和方向。这种保持质点位移比值不变的振动形式(或形状)称为主振型。当体系按第一频率ω1振动时的振动形式称为第一主振型(简称第一振型或根本振型)，而对应于第二频率ω2的振动形式称为第二主振型(简称第二振型)。主振型是弹性体系的重要固有特征，它们完全取决于体系的质量和刚度的分布，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应地就有多少个主振型。

12整理课件3〕、自由振动方程的通解两自由度弹性体系自由振动方程式的通解为其特解即分别对应两个自振圆频率的质点位移的线性组合，也即：其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始条件确定。由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。

13整理课件4〕、质点复合振动振型曲线和惯性力两自由度弹性体系分别按频率ω1和ω2作简谐振动时，两个振型的变形曲线及两质点上相应的惯性力如下图。惯性力可表示为，其中i为质点编号，j为振型序号，而且主振型变形曲线可视为体系上相应的惯性力引起的静力变形曲线，因为由可知，结构在任一瞬时的位移就是等于惯性力所产生的静力位移。在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。14整理课件5〕、主振型的正交性根据功的互等定理，第一主振型上的惯性力在第二主振型的位移上所做的功等于第二主振型上的惯性力在第一主振型的位移上所做的功，这样可得到：整理后得到：由于ω1≠ω2，所以：上式所表示的关系，称为主振型的正交性，它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在两个不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。

15整理课件三、多自由度弹性体系的自由振动1、n自由度体系运动微分方程组2、n自由度弹性体系的自由振动16整理课件1、n自由度体系运动微分方程组

把两自由度弹性体系的运动微分方程组推广到n自由度体系，那么其运动微分方程组应由n个方程组成，一般表达式为:式中Cij——质点j产生单位速度，而其它质点保持不动时，在质点i处产生的阻尼力；kij——质点j产生单位位移，而其它质点保持不动时，在质点i处引起的弹性反力；mi——集中在质点i的质量。求解上述运动方程组，一般采用振型分解法。该法需要利用多自由度弹性体系的振型，它们是由分析体系的自由振动得来的。为此，须先讨论多自由度体系的自由振动问题。17整理课件2、n自由度弹性体系的自由振动对于n自由度体系，由上式可得其自由振动方程组：〔i=1，2，…，n〕设微分方程组的解为：代入上式，经整理后得：

…………18整理课件1〕、自振频率和自振周期令方程的系数行列式等于零，即可求得频率方程，此方程是一个以ω2为未知数的一元n次方程，解此方程，可以求出n个根ω12、ω22、、…、ωn2，即可得出体系的n个自振圆频率，按由小到大的顺序排列依次为ω1<ω2<…<ωi<…<ωn。对应的n个自振周’期由大到小的顺序那么为T1>T2>…>Ti>…>Tn。ω2、、…、ωn统称为高阶频率。一般说来，当体系的质点数多于3个时，频率方程的求解就比较困难，常常不得不借助于一些近似计算方法和电子计算机。19整理课件2〕、主振型和自由振动方程的通解对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次代入频率方程可求得相应的n个主振型，除第一主振型外的其它振型统称为高阶振型。n自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由n个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解可写为〔i=1，2，…，n〕式中——第j振型i质点的相对位移；——第j振型i质点的位移振幅。

20整理课件3〕、主振型的正交性对n自由度弹性体系，主振型正交性一般可表示为

〔j≠k〕它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。其物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。

21整理课件四、振型分解法多自由度弹性体系在水平地震作用下的运动方程为一组相互耦联的微分方程，联立求解有一定困难。振型分解法就是通过把体系的位移反响按振型加以分解，并利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为假设干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为假设干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问题，在求得了各单自由度体系结构的地震反响后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反响。振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反响的重要方法。22整理课件1、两自由度体系振型分解法将质点m１及m２在地震作用下任一时刻的位移x１(t)和x２(t)用其两个振型的线性组合来表示：上式实际上是一个坐标变换公式，x１(t)和x２(t)为原来的几何坐标，而新坐标q１(t)和q２(t)称为广义坐标，它们也是时间的函数。上式也可理解为是将体系的位移按振型加以分解，q１(t)和q２(t)实际上表示了在任一时刻的位移中第一振型和第二振型所占的分量。由于体系的振型是唯一确定的，因此，当q１(t)和q２(t)确定后，x１(t)和x２(t)也将随之而定。23整理课件对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到：

这里，解两个解耦的方程可分别求出q１(t)和q２(t)，而当q１(t)和q２(t)确定后，x１(t)和x２(t)也随之而定。

24整理课件两自由度体系变形按振型分解示意图＝＋25整理课件2、n自由度体系振型分解法对n自由度体系，各质点在地震作用下任一时刻的位移xi(t)也可用其各个振型的线性组合来表示，即：