第六章 角动量课件

第六章角动量第六章角动量6.1几种物理性质的同时测定考察可用什么规则决定体系的哪些性质能同时具有确定值。回顾：若态函数Ψ是算符Â的本征值为s的一个本征函数，则测定物理性质A，一定得到结果s。若态函数Ψ同时是两个算符Â与的本征函数：则对物理量A与B我们能同时指出确定值。什么条件下，Ψ可以同时是两个不同算符的一个本征函数呢？第六章角动量两个定理（后面章节证）：（1）两个算符存在共同本征函数完备集的必要条件是算符要可对易。（2）若Â与是对应着物理量的两个可对易的算符，则存在一完备函数集是Â与两者的本征函数，即如果[Â,]=0，则Ψ可能是Â与共同的本征函数。注：完备，即任意一个具有相同自变量、定义域、边界条件的连续函数，总可以用这一本征函数集中函数的线性组合来表示。第六章角动量对易子的一些常用恒等式第六章角动量例：根据上述恒等式计算对易子：前面已证：因为不对易，所以不能期望态函数同时是上述两个算符的本征函数。即不能同时指定x与px的确定值，与测不准原理一致。第六章角动量对三维一粒子体系，有：类似地，可证：因为不对易，所以不能期望同时指定能量与x坐标的确定值。一个定态（有一定的能量）表明有一个x可能值的展宽，而不同x值的概率的观测由Born假设给出。第六章角动量对于一个不是Â的本征函数的定态Ψ，当我们测量一些等同体系的性质A时，可得到各种可能的结果。若<A>是平均值，则每一测定值与平均值的偏差是

Ai－<A>。若把所有的偏差平均，由于正与负的偏差将相互抵消，将得到零。于是，要使所有偏差为正，可平方之。偏差的平方的平均值叫做A的方差。在统计学中以表示，在量子力学中以(ΔA)2表示：方差的正的平方根叫做标准差，以σA或ΔA表示，常用于衡量展宽的程度，我们将取之作为A的“不确定度”量度。第六章角动量对于两个性质的标准差的乘积，可证明为：若算符Â与可对易，则上式中的积分为零，因而有可能ΔA与ΔB两者均为零，即两者可以同时确定。例：海森堡测不准原理的定量描述第六章角动量回顾：三维箱中粒子的x和px平均值：根据：第六章角动量能量-时间不确定关系式ΔE是能量在时间t1和t2时测定的两个值E1和E2之差。Δt可解释为能量的不确定值为ΔE的态的寿命。粒子在某能级上存在的时间越短，该能级的不确定度程度ΔE就越大。只有粒子在某能级上存在的时间无限长，该能级才是完全确定的。第六章角动量现考察同时指定三个物理量A，B和C的确定值的可能性。上式能否保证三个算符存在共同的本征函数？前者保证能构成Â与的共同的本征函数集，后者保证能构成Â与的共同的本征函数集。若这两个本征函数集是一样的，则三个算符具有共同的本征函数集。第六章角动量若对应于Â的每一本征值多于一个的独立函数（简并态），则简并本征值的本征函数的任意线性组合仍是Â的一个本征函数。有理由认为给出的本征函数所需的适当的线性组合，将不同于给出的本征函数的线性组合。所以，如果要有所有三个算符的共同的本征函数完备集，要求除了上式之外，还要有：但事实上，线性算符Â的本征函数集不是唯一确定的。必须具备第六章角动量6.2一粒子体系的角动量经典力学中的角动量考虑一质量为m的运动粒子，令r为粒子从原点到瞬时位置的矢量，有：x,y和z是粒子在一给定瞬间的坐标，是时间的函数。定义：速度矢量v为位置矢量的时间导数，则：第六章角动量定义线动量矢量p为：粒子的角动量L定义为：第六章角动量作用于粒子上的力矩τ定义为r与作用于粒子上的力F的叉积：易证：当无力矩作用于粒子时，角动量的变化速率等于零，即角动量是常数（或是守恒的）。如一行星绕太阳转，引力是径向指向的，由于两个平行矢量的叉积为零，行星没有受到力矩，其角动量是守恒的。第六章角动量量子力学处理：轨道角动量和自旋角动量轨道角动量：粒子通过空间的运动，相似于经典力学量L；自旋角动量：许多微观粒子的内在性质，无经典的类比。循环置换xyz：x←y←z←x现只考察轨道角动量，把上述经典力学中L的量代之以相应的算符，可得：第六章角动量再将作用于上式，有：用上述算符可以进一步构成角动量大小的平方的算符，即：由于对易关系决定哪些可观测量具有确定值，我们来研究上述角动量之间的对易关系。（1）先将作用于某函数f(x,y,z)，有：第六章角动量类似地：所以：其中用到了关系式：这对品优函数是正确的。第六章角动量若在中进行循环置换，可得。若在中进行循环置换，可得。若在中进行循环置换，可得。可用同样的步骤去计算：注意到x,y,z在算符中的对称关系，可以利用循环置换x,y,z的方式计算上述对易关系，即：角动量分量算符之间不能对易，不能同时准确测定。第六章角动量因为x,y,z的循环置换使不改变，上式进行两次循环置换，得：（2）利用对易子恒等式计算与其每个分量的对易第六章角动量L2,Lx,Ly,Lz中哪些可同时指定确定值？因为可与其它每个分量对易，所以可确定L2与任意一个分量的确定值。但是，没有两个分量是可对易的，所以不能同时确定多于一个的分量。（此说法有一例外，稍后讨论）。习惯上取Lz作为与L2同时确定的角动量分量。注意在L2=|L|2中，不是确定了向量L，只是确定了其大小。完全确定L要求同时确定其三个分量，这是一般做不到的。在经典力学中，当角动量守恒时，其三个分量的每一个都有一定的值。在量子力学中，当角动量守恒时，只是其大小及分量之一是确定的。第六章角动量下面计算和的本征值和共同的本征函数在尝试求解过程中，由于在笛卡儿坐标系中所得的偏微分方程不能分离变量，为此需要将坐标变换成球极坐标，同时须将变换成球极坐标形式。第六章角动量

球极坐标与笛卡儿坐标的关系第六章角动量角动量分量在球极坐标中的表示第六章角动量将平方，再将它们的平方相加，可构成，即：虽然角动量算符依赖于所有三个笛卡儿坐标x，y，z，但它只含有两个球坐标

和

。令和共同的本征函数以Y表示，由于这些算符只包含

和

，Y将是这两个坐标的函数：Y=Y(

,

)，则须求解的两个本征方程为：（b和c分别为两个算符的本征值）第六章角动量利用算符，有：由于上式中的算符不包含

，故尝试分离变量，记作：带入上式得：与

无关变形第六章角动量（A为一任意常数）一般地，由于T不是一个单值函数，所以不适合作为一个本征函数。为保证T单值，应有下列限制：为满足：必须有：角动量z分量的本征值是量子化的第六章角动量要确定A，需将T进行归一化。先考虑某函数F(r,

,

)的归一化，独立变量的范围是：在球极坐标中，相当于笛卡儿坐标中无限小体积元dxdydz的是：于是有归一化形式：第六章角动量如果F的形式为：则归一化形式可变为：将F的每个因子进行归一化：第六章角动量下面求解的本征值：c为本征值第六章角动量上式的求解较为复杂，为方便起见，直接给出c的结果：由于|m|取值0,1,2…，故量k+|m|取值为0,1,2…定义量子数l为：对于角动量大小的平方，可允许的本征值为：|m|≤lm的可能值为：第六章角动量由于l≥|m|，上式指出总角动量的大小大于其z分量

的大小（l＝0除外）。取上式的正平方根，得角动量的大小：若有可能总角动量等于其z分量，这意味着x和y分量为零，我们就确定了L的所有三个分量了。但是，由于角动量分量彼此是不可对易的，所以不能这样做。第六章角动量一个例外是l为零的情况。在此情况下，所有三个分量Lx，Ly，Lz的本征值都为零，角动量分量的不确定度满足：用循环置换可得类似的两个式子。当三个分量的本征值为零时，，从而允许ΔLx=ΔLy=ΔLz=0。即可以同时测定这些值，但又不是对易的。表明：尽管算符Lz与Lx不可对易，但有可能算符Lz的某些本征函数（如l=0=m）是算符Lx的本征函数。然而，不可能算符Lz的所有本征函数也是Lx的本征函数。第六章角动量下面求某些角动量的本征函数：

因子为（推导过程略）：（求和包括偶数或奇数的j值，取决于l－|m|为偶或奇。）对l=0，有m=0，

因子为：代入归一化式子：第六章角动量本征函数为：所以，对l=0，本征函数不依赖于角度，即是球对称的。对l=1，m的可能值为-1,0,1利用归一化公式得：(w=cos

)（2）m=0（1）|m|=1第六章角动量函数Sl,m(

)在数学中是非常著名的，是乘了归一化常数的连带勒让德函数。连带勒让德函数定义为：这些函数与勒让德多项式有关，后者定义为：由定义，有：可以证明：第六章角动量和的本征函数（球谐函数）为：概括一下，一粒子轨道角动量的本征函数（如上式）和本征值是：注：对于Lz的量子数，常使用ml代替m。第六章角动量由于不能确定Lx和Ly，矢量L可处于以z轴为轴的圆锥体面上的任何地方，如下图：第六章角动量对l=1的情况，L相对于z轴的可能取向如下图：m=1m=0m=-1第六章角动量对的每一个本征值，有2l+1个不同的本征函数，对应于m的2l+1个值，称的本征值是（2l+1）重简并。（名称简并适用于任何算符的本征值）当然，取z轴并无什么特别，空间的所有方向都是等价的。然而，解的本征方程是较容易的（在球极坐标中有一简单的形式）。第六章角动量6.3角动量的阶梯算符法以上我们把角动量算符表示为微分算符，并求解所得的微分方程，得到了算符L和Lz的本征值。实际上，利用算符的对易关系也可解出这些本征值。本节的做法适用于任何满足角动量对易关系的算符，特别是适用于自旋角动量（后述）。第六章角动量以前用字母L表示轨道角动量，现用字母M表示处理的任一种角动量（轨道和自旋），其x，y，z方向上的三个线性算符服从如下对易关系：服从循环置换xyz定义算符为：问题即为求算符的本征值。第六章角动量首先，求算角动量平方算符及其分量的对易关系，根据上节的推导可知：所以可以有和的共同的本征函数。其次，定义两个新的算符－递升算符和递降算符

阶梯算符第六章角动量同理可求：关于阶梯算符与的对易子，有：同理可求：阶梯算符的性质

第六章角动量用递升算符作用于本征函数Y，使Y转变为的另一本征函数，其本征值比Y的本征值高。利用上述的及是线性算符的性质，有：用Y表示与的共同本征函数，有：（b和c为本征值）用递升算符作用于（1）式，得：移项第六章角动量若继续用递升算符作用于上式，同样求得：重复运用递升算符k次，给出：如果用递降算符作用于（1）式，并运用同样可以求得：第六章角动量欲证上式，首先指出与和是可对易的。所以，用递升算符和递降算符作用于具有本征值为b的本征函数，给出一个本征值的阶梯，每步之差为：换言之，函数是具有本征值的的本征函数，即：实际上，上述函数也是的本征函数，都具有同一个本征值c，即：第六章角动量可证：进一步推知：如果用作用于，并利用上式，得：即为所证。第六章角动量下面证明用阶梯算符生成的的一套本征值是有限制的。对具有本征值b的特定本征函数Y，有：对由阶梯算符生成的一组本征函数和本征值，有：式中：第六章角动量用减去上式，并利用：用作用于，有：算符对应一