第二章 传递函数-梅逊公式课件

第二章自动控制系统的数学模型2.3传递函数与系统动态结构图2.3.1传递函数的定义设系统的标准微分方程为C(t)为输出量，r（t）为输入量第二章传递函数-梅逊公式在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到整理得传递函数，记作G（s）第二章传递函数-梅逊公式传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记作G(s)用方框图表示G(s)R(s)C(s)C(s)=G(s)R(s)第二章传递函数-梅逊公式2.3.2传递函数的性质1）只适用于线性定常系统，不适用于非线性系统或时变系统。2）传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。3）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。4）传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数m。5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。7）传递函数可以写成，K=bm/an，称为增益。-zj(j=1,2,…m)成为传递函数的零点，-pi(i=1,2,…n)成为传递函数的极点第二章传递函数-梅逊公式上图所示的是的零、极点分布图。第二章传递函数-梅逊公式比例环节的传递函数r(t)c(t)t0比例环节（无惯性环节）：c(t)=kr(t)

传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k阶跃响应：R(S)=1/SC(S)=kR(S)=k/S方框图：C(t)=kkR(S)C(S)1测速发电机：ωU(t)=Ktdθ(t)/dt=ktω(t)G(S)=U(S)/Ω(S)=KtR2R1RC(t)r(t)运算放大器：C(t)=R2/R1r(t)G(S)=C(S)/R(S)=R2/R1=K2.2传递函数第二章传递函数-梅逊公式微分环节的传递函数微分环节：c(t)=Kdr(t)/dt

传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=KS方框图：KSR(S)C(S)4由于微分环节具有惯性实际常常以G(S)=kTS/(TS+1)形式出现。其中T为时间常数，T越小微分作用越强，当T

0而KT保持有限值时，方程变为纯微分环节了。输入量取角度时的传递函数即为微分环节。表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电机输出电压与输入角速度之间的关系为进行拉氏变换得到那么该元件的传递函数为ω测速发电机：2.2传递函数第二章传递函数-梅逊公式微分环节的传递函数一阶微分环节：c(t)=Tdr(t)/dt+r(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=TS+1方框图：TS+1R(S)C(S)5比例微分调节器：根据电路的基本定律得到以下方程组那么该元件的传递函数为消去中间变量得到输出、输入电压之间的关系第二章传递函数-梅逊公式积分环节的传递函数3积分环节：dc(t)/dt=kr(t)

传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k/S阶跃响应：R(S)=1/S，C(S)=kR(S)C(t)=kt方框图：k/sR(S)C(S)积分调节器：CUc(t)RUr(t)i1i2A在A点列方程可得：i2=i1,

i1=Uc(t)/RUc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt设RC＝T（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)传递函数为：G(S)=Uc(S)/Uc(S)=1/(TS)＝k/S2.2传递函数第二章传递函数-梅逊公式惯性环节的传递函数惯性环节：Tdc(t)/dt+c(t)=kr(t)

传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)阶跃响应：R(S)=1/SC(S)=kR(S)方框图：C(t)=k(1-e-1/T)2k/(TS+1)R(S)C(S)电枢控制他励直流电动机：TdTmd2n(t)/dt2

+Tmdn(t)/dt+n(t)＝Ua(t)/Ce若初值为0，上式的拉氏变换为：(TdTmS2+TmS+1)N(S)=Ua(S)/Ce传递函数为：1G(S)=N(S)/Ua(S)=Ce(TdTmS2+TmS+1)若电枢电感忽略不计，上式可以化简为：1G(S)=N(S)/Ua(S)=Ce(TmS+1)运算放大器：R2R1RC(t)r(t)Ci1i2A传递函数为：G(S)=（R2/R1)/(R2CS+1)=K/(TS+1)2.2传递函数当T=∞时，惯性环节近似为积分环节；当T=0时，惯性环节近似为比例环节。第二章传递函数-梅逊公式振荡环节的传递函数振荡环节：T2d2r(t)/dt2+2ζTdr(t)/dt+r(t)＝r(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2+2ζTS+1)方框图：6RLC振荡电路：UcRUricL电路的微分方程为：LCd2Uc/dt2+RCdUc/dt+Uc=Urd2Uc/dt2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr令ωn=1/√LC，ζ=0.5R√C/L则上式的拉氏变换为：(S2+2ωnζS+ωn2)Uc(S)=ωn2Ur(S)

ωn2

S2+2ωnζS+ωn2传递函数为：G(S)=Uc(S)/Ur(S)＝1T2S2+2ζTS+1R(S)C(S)第二章传递函数-梅逊公式延迟环节的传递函数延迟环节：c(t)=r(t-τ)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=e-τs方框图：7e-τsR(S)C(S)轧钢厂带厚度检测元件:则滞后时间为：τ＝l/v（S)测厚信号c(t)与厚差信号r(t)之间的关系为：c(t)＝r(t-τ)在零初始条件下，拉氏变换为：C(S)

＝R(S)e-τS传递函数为:G(S)=C(S)/R(S)

＝e-τSA点产生的误差在B点才被检测到。设测厚仪距支架的距离为l，带钢运行速度为v2.2传递函数第二章传递函数-梅逊公式2.3.1动态结构图动态结构图是数学模型的图解化，它描述了组成系统的各元部件的特性及相互之间信号传递的关系，表达了系统中各变量所进行的运算。动态结构图的组成

1）信号线带有表示信号传递方向箭头的直线。一般在线上写明该信号的拉氏变换表达式。2）综合点3）引出点4）方框在信号线上的“•”，表示信号引出的位置。方框中为元部件或系统的传递函数，方框的输出量等于方框内的传递函数与输入量的乘积。它完成两个以上信号的加减运算，以O表示。如果输入的信号带“＋”号，就执行加法；带“－”号就执行减法。2.3动态结构图与梅森公式第二章传递函数-梅逊公式2.3动态结构图与梅森公式动态结构图建立步骤是建立系统各元部件的微分方程。要注意，必须先明确系统的输入量和输出量，还要考虑相邻元件间的负载效应。按照系统中各变量传递顺序，依次连接3）中得到的结构图，系统的输入量放在左端，输出量放在右端，即可得到系统的动态结构图。将得到的系统微分方程组进行拉氏变换。按照各元部件的输入、输出，对各方程进行一定的变换，并据此绘出各元部件的动态结构图。1234一个动态结构图建立的例子第二章传递函数-梅逊公式2.3动态结构图与梅森公式一个动态结构图建立的例子RC无源网络U1(S)-U2(S)=I1(S)R1=I2(S)／CSI1(S)+I2(S)=I(S)CR2R1U1U2I1I2IU2(S)=I(S)R2R2U2(S)I1(S)I2(S)I(S)步骤一列写方程组步骤二画出对应方程的部分结构图1／R1U2(S)U1(S)_ΔU(S)CSI1(S)I2(S)步骤三依次连接得到系统结构图第二章传递函数-梅逊公式例：2.3-1画出该系统的动态结构图解：该系统的输入量为ur，输出量为uc，根据电路其微分方程为：取拉氏变换第二章传递函数-梅逊公式动态结构图如下：第二章传递函数-梅逊公式例2.3-2画出两级RC滤波网络的动态结构图解：该系统的输入量为ur，输出量为uc，根据电路其微分方程为：第二章传递函数-梅逊公式取拉氏变换动态结构图第二章传递函数-梅逊公式2.4系统结构图的等效变换与信号流程图、梅逊公式2.4.1系统结构图的等效变换原则：变换前后保持系统中各信号间的传递关系不变一、三条基本法则：1、串联环节的等效传递函数为各环节传递函数之积对于n个环节串联，则有第二章传递函数-梅逊公式2、并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数的代数和G1(s)G2(s)G(s)若G2(s)为负反馈，对于n个环节并联，则有第二章传递函数-梅逊公式3、反馈联接（闭环）G(s)H(s)—(+)Φ(s)第二章传递函数-梅逊公式负反馈时，分母项取“+”；正反馈时，取“-”（1）前向通道：G(s)（2）反馈通道：H(s)（3）闭环的开环传递函数：（4）单位反馈系统：H(s)=1第二章传递函数-梅逊公式任意一个非单位反馈系统，总可等效地变换成单位反馈系统G(s)H(s)—H(s)G(s)Hm(s)μ(s)Gc(s)Gv(s)Go(s)Cm(s)E(s)U(s)D(s)C(s)God(s)第二章传递函数-梅逊公式二、其他等效变换法则1、连续综合点或引出点之间的次序可任意交换，但相邻的综合点与引出点之间不能任意简单交换（P44图2.4-2）第二章传递函数-梅逊公式2、综合点或引出点只能在紧靠环节的前后两端移动，移动时中间不得夹杂引出点或综合点，并要等效。综合点前移，所加的方框为移过方框的传递函数的倒数，如图（a）所示。综合点后，所加的方框为移过方框的传递函数，如图（b）所示。第二章传递函数-梅逊公式引出点前移，所加的方框为移过方框的传递函数，如图（a）所示。引出点后移，所加的方框为移过方框传递函数的倒数，如图(b)所示。3、通常综合点应有由综合点的方向移动，引出点应向引出点的方向移动第二章传递函数-梅逊公式例2.4-1求下面系统结构图的的传递函数解：该结构图有三个闭环相互交叉，不能直接应用三条基本法则，先要移动其综合点或引出点，接触交叉。这里有1、2、3三个综合点和a、b、c三个引出点1、将综合点2移至综合点1之前综合点前移，所加方框为移过方框传递函数的倒数，相邻综合点可以任意交换2、引出点b移至引出点c后面引出点后移，所加方框为移过方框传递函数的倒数，相邻引出点可以任意交换第二章传递函数-梅逊公式等效为：第二章传递函数-梅逊公式例2.4-2已知系统结构图如下，试用等效变换法求传递函数Φ(s)解：a既是综合点又是引出点，应把a点分成综合点a1和引出点a2，如下C(s)C(s)第二章传递函数-梅逊公式思考题1：化简所示的系统的结构图，求传递函数。解：化简的方法是，先通过移动引出点和综合点，消除交叉连接，使用权动态结构图变成独立的回路，然后再进行串联、并联及反馈的等效变换，最后求得系统的传递函数。第二章传递函数-梅逊公式第二章传递函数-梅逊公式思考题2:用方块图的等效法则，求所示系统的传递函数C(s)/R(s)。解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简。第二章传递函数-梅逊公式串联和并联反馈公式第二章传递函数-梅逊公式第二章传递函数-梅逊公式思考题3：化简解：综合点1和2交换第二章传递函数-梅逊公式第二章传递函数-梅逊公式2.4.2信号流图与梅逊公式信号流图的基本概念及绘制节点——用以表示变量或信号的点称为节点，用符号表示，相当于结构图上的信号线。传输——两节点间的增益或传递函数称为传输。支路——联接两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路。输出支路——背向节点的支路输入支路——指向节点的支路源点——只有输出支路而无输入支路的节点称为源点或输入节点。阱点——只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输出节点。混合节点——既有输入支路也有输出支路的节点称为混合节点。

结构图变为信号流图的不同处P49表2.4-2第二章传递函数-梅逊公式例2.4-4已知两级RC滤波网络的动态结构图如下所示，试画出相应系统的信号流图解：①在结构图上用小圆圈表示各变量对应的节点。综合点之后，引出点之前必须设置一个节点。②由结构图上的信号的传递关系，自左到右，依次画出各节点间的支路，并表明相应的增益③增益为1可以省略，节点7处增加一条增益为1的输出支路，并增画节点8，表示系统的输出点第二章传递函数-梅逊公式例2.4-5根据结构图画信号流图第二章传递函数-梅逊公式概念：前向通路——如果在从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路总增益。用Pk表示第K条前向通路的总增益。例2.3-4中，前向通道只有1条：1→2→3→4→5→6→7→8，例2.3-5中，前向通路有3条：1→2→3→4→5→6，1→2→4→5→6，1→2→3→5→6；P1=G1(s)G2(s)，P2=G2(s)G3(s)，P3=G1(s)G4(s)单独回路——起点与终点在同一个节点上，且信号通过任一节点的次数不大于一次的回路。回路增益用La表示。例2.3-4中，单独回路有三个，它们分别是：2→3→4→2，La1=-1/R1C1s；3→4→5→6→3，La2=-1/R2C1s；5→6→7→5，La3=-1/R2C2s。例2.3-5中，单独回路有2个，分别是：2→4→2，La1=-G1(s)H(s)；2→3→4→2，La2=-G2(s)H(s)不接触回路——如果回路间没有任何公共节点。例2.3-4中的La1与La3第二章传递函数-梅逊公式2、梅逊公式第二章传递函数-梅逊公式例2.4-6利用梅逊公式求传递函数（1）①单独回路：1：2→3→4→2，La1=-1/R1C1s；2：3→4→5→6→3，La2=-1/R2C1s；3：5→6→7→5，La3=-1/R2C2s。三个单独回路中只有1和3两两互不接触，没有三个互不接触的回路，所以∑LbLc=La1La3，∑LdLeLf=0第二章传递函数-梅逊公式②前向通道1→2→3→4→5→6→7→8，前向通路与三个单独回路都有接触。第二章传递函数-梅逊公式（2）①单独回路：1：2→4→2，La1=-G1(s)H(s)；2：2→3→4→2，La2=-G2(s)H(s)两个单独回路相互接触，所以∑LbLc=0，∑LdLeLf=0②前向通道1：1→2→3→4→5→6，P1=G1(s)G2(s)2：1→2→4→5→6，P2=G2(s)G3(s)3：1→2→3→5→6，P3=G1(s)G4(s)△1=△2=△3=1第二章传递函数-梅逊公式例2.4-7根据系统结构图画出系统的信号流图，并用梅逊公式求传递函数①单独回路：1：3→4→5→3，La1=-G1(s)；2：2→3→4→6→2，La2=-G1(s)3：2→3→4→5→6→2，La3=-G1(s)

G2(s)单独回路两两相互接触，所以∑LbLc=0，∑LdLeLf=0第二章传递函数-梅逊公式②前向通道1：1→2→3→4→5→6→7，P1=G1(s)G2(s)，△1=12：1→5→6→7，P2=G2(s),△2=13：1→2→3→4→6→7，P3=G1(s),△3=14：1→5→3→4→6→7，P3=-G1(s)，△4=1

第二章传递函数-梅逊公式例2.4-8用梅逊公式求传递函数①单独回路：1：4→5→4，La1=-G2(s)H1(s)；2：3→4→5→3，La2=G1(s)G2(s)H1(s)3：4→