函数的奇偶性课件高一上学期数学北师大版2

§4函数的奇偶性与简单的幂函数

函数的奇偶性问题1：函数奇偶性的图像特征是什么？问题2：下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原地原点对称的呢？梳理一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．问题3：函数奇偶性的定义是什么？(1)奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对_______，都有_______，且____________，那么称f(x)为奇函数．奇函数的图像关于______对称，反之亦然．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(－x))也在f(x)图像上．原点(2)偶函数：设函数f(x)的定义域是A，如果对_________，都有_______，且____________，那么称f(x)为偶函数．偶函数的图像关于______对称，反之亦然．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图像上．(3)定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.(4)当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:①f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数;②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数;③f(-x)≠±f(x)⇔f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;④f(-x)=±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,且D关于原点对称.y轴问题4：奇偶性与单调性有什么联系？思考(1)观察图像，思考偶函数y＝x2与奇函数y＝x-1分别在(－∞，0)和

(0，＋∞)上的单调性有什么关系？(2)能得到一般性的结论吗：答案(1)偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；

奇函数y＝x-1在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．若f(x)是偶函数，在区间[a，b]上递减，试证f(x)在区间[－b，－a]上的单调性．(2)

证明设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1<x2.∵－b≤x1<x2≤－a，

∴a≤－x2<－x1≤b.∵f(x)在[a，b]上是减函数，

∴f(－x2)＞f(－x1)．

∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，

∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)．

∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)<f(x2)．

∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．梳理

(1)偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数关于原点

对称的两个区间上单调性相同．(2)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少计算量．(3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.

学习任务1：判断函数的奇偶性例1判断并证明下列函数的奇偶性：反思与感悟

(1)利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．(2)

根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数也是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.

(3)归纳判断函数奇偶性的方法：定义法（步骤）和图像法.课堂评价1：判断并证明下列函数的奇偶性：解:(1)函数的定义域为R，又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x)，所以f(x)是偶函数(2)函数的定义域为R，因为f(-x)＝(-x)2-|-x|+1＝x2-|x|+1＝f(x)，所以函数为偶函数．(3)函数的定义域为{x≠0},关于原点对称.当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+2x+1,

f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+2x-1,

f(-x)=-x2-2x+1=-f(x);当x=0时，f(0)=3≠-f(-0).故函数f(x)是非奇非偶函数.学习任务2：奇偶性的应用命题角度1函数奇(偶)性与图像例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示．

(1)画出f(x)的图像；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1,－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图像.(2)xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号．如图可得不等式的解集是(－2,0)∪(0,2)．引申探究

把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解：(1)f(x)的图像如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思与感悟

鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称，可以用这一特性

去画图，求值，求解析式，研究单调性．∵f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),∴

f(x)=2x2+3x-1.所以f(x)的解析式为f(x)=命题角度2函数奇偶性求解析式例3

已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.解：当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.∵

f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,∴

f(x)的解析式为f(x)=引申探究

把例3中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式．命题角度3奇偶性与函数值例4(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.命题角度4：函数的奇偶性与单调性例6

定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.

若f(x－1)>0，求x的取值范围.考点利用奇偶性、单调性解不等式解析∵f(x)为偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，即f(|x－1|)>f(2)，∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减．∴|x－1|<2，即－2<x－1<2，∴x的取值范围为(－1,3).反思与感悟

(1)若f(x)为偶函数，则一定有f(x)=f(－x)=f(|x|)；

(2)注意函数定义域，利用函数不等式求解.课堂评价3：已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．写出今天学习内容的思维导图01完成本节对应的巩固训练（课代表收齐后上交）02学习本节课后，你掌握函数奇偶性的一些性质吗？01在课堂上你积极吗？在这节课上你的学习目标完成了吗？你对本堂课重难点掌握了吗？02030405在本节课上你掌握了哪些知识点和题型？010203要点归纳1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．两个性质：函数为奇函数⇔它的图像关于原点对称，在对称区间单调性相同；函数为偶函数⇔它的图像关于y轴对称，在对称区间单调性相反．证明一个