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文档简介
3.4.2圆周角和圆心角的关系(第2课时)第三章圆1.掌握圆周角定理推论。2.理解圆内接四边形定义及性质。学习目标圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.圆周角定理推论:圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等.复习回顾
小明想用直尺检查某些工件是否恰好为半圆,下图所示的四种圆弧形,你能判断哪个是半圆形吗?创设情境,引入新知核心知识点一:直径所对应的圆周角如图,点A、B、C在⊙O上,BC是⊙O的直径,观察它所对的圆周角有什么特点?你是怎么发现的?解:直径BC所对的圆周角∠BAC=90°结论1:直径所对的圆周角是直角
理由:∵BC为直径∴∠BOC=180°∴自主合作,探究新知观察图,圆周角∠BAC=90°,弦BC是直径吗?为什么?解:弦BC是直径,连接OC、OB∵∠BAC=90°∴∠BOC=2∠BAC=180°(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半)∴B、O、C三点在同一直线上∴BC是⊙O的一条直径结论2:90°的圆周角所对的弦是直径思考:这两个结论用什么定理证明?圆周角定理自主合作,探究新知归纳总结圆周角定理推论直径所对的圆周角是直角;几何语言:∵BC为直径∴∠BAC=90°90°的圆周角所对的弦是直径几何语言:∵∠BAC=90°
∴BC为直径归纳总结练一练:如图,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上的一点,∠B=30°,求AC的长.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中,sin∠ABC=
,∴AC=ABsin∠ABC=10×sin30°
=10×=5(cm).∴AC的长为5cm.解:巩固练习解答圆周角有关问题时,若题中出现“直径”这个条件,则考虑构造直角三角形来求解.归纳总结归纳总结核心知识点二:圆内接四边形及其性质(1)如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,AC为⊙O的直径,
请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系?为什么?解:∠BAD与∠BCD互补.∵AC为直径,∴∠ABC=90°,∠ADC=90°.∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.ABCOD自主合作,探究新知探究新知(2)若C点的位置发生了变化,∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗?为什么?ABCOD12∵
∠2=2∠BAD,∠1=2∠BCD,
(圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半),∵∠1+∠2=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.解:∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
如图8,连接OB,OD.自主合作,探究新知(3)观察图9,两个四边形ABCD有什么共同的特点?四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上,这样的四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做四边形的外接圆..ABCODABCOD自主合作,探究新知ABCOD(4)观察,∠BAD与∠BCD之间有什么关系?圆内接四边形的对角互补.几何语言:∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°(圆内接四边形的对角互补).ABCOD自主合作,探究新知圆内接四边形外角的性质
思考:如图,∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角,
∠A与∠DCE的大小有什么关系?推论:圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.自主合作,探究新知证明:∠A=∠DCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°(圆内角四边形的对角互补).∵∠BCD+∠DCE=180°,∴∠A=∠DCE.ABCODE自主合作,探究新知1.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ACD=30°,则∠BAD为(
)A.30°B.50°C.60°D.70°C随堂练习2.如图,已知经过原点的⊙P与x轴,y轴分别交于点A,B,C是劣弧OB上一点,则∠ACB等于(
)A.80°B.90°C.100°D.无法确定B随堂练习3.下列说法正确的是(
)A.在圆内部的多边形叫做圆内接多边形B.过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆C.任意一个四边形都有外接圆D.一个圆只有唯一一个内接四边形B随堂练习4.如图,四边形ABCD是菱形,⊙O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=80°,则∠EAC的度数为(
)A.20°B.25°C.30°D.35°C随堂练习5.在圆内接四边形ABCD中,∠A与∠C的度数之比为4∶5,求∠C的度数.解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°(圆内接四边形的对角互补).∵∠A∶∠C=4∶5,∴即∠C的度数为100°.随堂练习∵AB为直径,∴∠BCA=90°(直径所对的圆周角为直角).∴∠BCD+∠DCA=90°.∵∠ACD=15°,∴∠BCD=90°-15°=75°.∴∠BAD=∠BCD=75°(同弧所对的圆周角相等).6.如图,AB是⊙O的直径,∠C=15°,求∠BAD的度数.ABCOD解法一:连接BC.随堂练习6.如图,AB是⊙O的直径,∠C=15°,求∠BAD的度数.ABCOD∵∠ACD=15°,∴∠AOD=2∠ACD=30°(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半).∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°,∴∠BAD=75°.解法二:连接OD.随堂练习7.如图,圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F,若∠E=40°,∠F=60°,求∠A的度数.解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ADC+∠CBA=180°(圆内接四边形的对角互补).
∵∠EDC+∠ADC=180°,∠EBF+∠ABE=180°,∴∠EDC+∠EBF=180°.∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A,
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