北师大版初中数学九年级下册1.5 三角函数的应用 同步课件

1.5三角函数的应用1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；2.三角函数在航海、测量、改造工程等方面的应用学习目标创设情境，引入新知创设情境，引入新知创设情境，引入新知核心知识点一：与方位角有关的实际问题方向角：如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．30°45°BOA东西北南自主合作，探究新知东北ABC25°例：如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.一货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55º的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25º的C处.之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？55°自主合作，探究新知AB55°C25°你是怎样想的？与同伴进行交流.20海里Dx

Rt△ABD中,

Rt△ACD中,∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25°∴x=≈20.79海里∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.自主合作，探究新知例：如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数)？APCB北65°34°自主合作，探究新知APCB北65°34°解：如图，在Rt△APC中，PC=PA•cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，

因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130nmile.自主合作，探究新知

利用解直角三角形解决简单问题的一般解题步骤：

1.将实际问题抽象为数学问题；2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案.归纳总结核心知识点二：仰角和俯角问题仰角和俯角：

如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．仰角俯角视线铅垂线水平线视线仰角俯角自主合作，探究新知

例：欣赏完图片后，如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30º,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60º,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).DABC┌50m30º60º自主合作，探究新知DABC┌50m30º60º答:该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m.设CD=x,

则∠ADC=60º,∠BDC=30º,自主合作，探究新知例

热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角自主合作，探究新知解：如图，α

=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277.1m.ABCDαβ自主合作，探究新知归纳总结常见的俯角仰角问题的基本图形45°30°450βαABOPABOP30°45°450归纳总结45°30°200米POBD45°30°PA200米CBO60°45°20020045°30°归纳总结常见的俯角仰角问题的基本图形归纳总结核心知识点三：利用坡角解决实际问题坡度和坡角：如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．坡角坡度lhαα为坡角坡度和坡角有什么区别？自主合作，探究新知例：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).40°35°ABCD∟AC-AB=CD-BDCBAD=AB·sin40°AC=ADsin35°典例解析如图,∠ADB=90°,40°35°ABC∟D求(1)AC-AB.AB=4m.∠ABD=40°,∠C=35°,解：∵sin40°ABAD=∴AD=AB·sin40°∵sin35°ACAD=∴AC=ADsin35°=AB·sin40°sin35°=4×0.6430.574≈4.48(m)答:调整后的楼梯会加长约0.48m.AC-AB=4.48-4≈0.48(m)典例解析如图,∠ADB=90°,40°35°ABC∟D求CBAB=4m.∠ABD=40°,∠C=35°,(AD=sin40°)AB解：∵tan40°BDAD=tan40°∴BD=AD∵tan35°CDAD=tan35°∴CD=AD∴CB=CD-BDtan35°=ADtan40°-ADtan35°1tan40°-1=AD()=4×0.643(0.70010.839-1)≈0.61(m)答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.典例解析例

一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米,）.

45°30°4米12米ABCD典例解析解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知

DE＝CF＝4（米），

CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．答：路基下底的宽约为22.93米．45°30°4米12米ABCEFD典例解析1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米，那么旗杆的高度约是()A.12米B.米C.24米D.米B随堂练习2.如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为()BDCAA.100米B.米C.米D.50米B随堂练习3.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.4.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.100图1图2BCBC随堂练习4.某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).随堂练习分析：在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．随堂练习随堂练习随堂练习5.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1m)．

分析：将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形