北师大版初中数学九年级下册1.4 解直角三角形 同步课件

1.4解直角三角形1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；2．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.学习目标两锐角的关系:三边的关系:.边与角的关系:直角三角的边角关系c2900a2+b2=∠A+∠B=锐角三角函数bABCa┌csinA=cosBcosA=sinBtanA=ac=bc=ab=1tanB复习回顾情境导入特殊角的三角函数值：60°45°30°tanαcosαsinα三角函数值角α三角函数12

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21复习回顾生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解决这些问题,往往需要确定直角三角形的边和角创设情境，引入新知核心知识点一：解直角三角形直角三角形中有三条边三个角6个元素,除其中一个固定的直角外，还有两个锐角和三条边。bABCac至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢?∟在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．自主合作，探究新知只知道直角三角形一个锐角的大小,可以求出直角三角形中其它元素吗?无法求出直角三角形的三边结论：∟∟∟∟自主合作，探究新知∟知道直角三角形任意一边的长可以求出直角三角形中其它元素吗?已知线段a，以a为一条直角边的直角三角形有几个如果以a为斜边呢？a自主合作，探究新知都无法完全求知道直角三角形任意一边的长,∟结论：出直角三角形中其它元素。a自主合作，探究新知在一个直角三角形中，已知一条边和一锐角，或者已知两条边两个元素，才能求出其他元素。ABabcC

一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.自主合作，探究新知在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？类型1

已知两边解直角三角形(1)三边之间的关系；(2)两锐角之间的关系；(3)边角之间的关系：sinA＝

＝cosB，cosA＝

＝sinB，tanA＝自主合作，探究新知应用勾股定理求斜边，应用角的正切值求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．已知两直角边：已知斜边和直角边：解直角三角形自主合作，探究新知例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且,求这个直角三角形的其他元素.解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,ABC在Rt△ABC中，典例解析例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角形的其他元素．(角度精确到1′)

由c＝5，b＝4，得sinB＝

＝0.8，∴∠B≈53°8′.∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.由勾股定理得解：典例解析归纳总结“已知两边”怎样解直解三角形？ABabcC(1)已知a，b，怎么求∠A的度数？(2)已知a，c，怎么求∠A的度数？(3)已知b，c，怎么求∠A的度数？由由由归纳总结已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A：①∠B=90

°-∠A；②c=

若已知斜边c和一个锐角A：①∠B=90°-∠A；②a=c·sinA;③b=c·cosA.类型2

已知一边及一锐角解直角三角形自主合作，探究新知例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠B＝35°，b=20,求这个直角三角形的其他元素(结果保留小数点后一位).ABCb20ca35°解：典例解析1、数形结合有利于分析问题；2、选择关系式时，尽量使用原始数据，以防“累积误差”和“一错再错”；3、解直角三角形时，应求出所有未知元素。注意事项：解直角三角形的原则：（1）有角先求角，无角先求边（2）有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。ABC550﹖归纳总结核心知识点一：构造直角三角形解决问题例4

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：过点A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=+自主合作，探究新知CABDABCE求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助线，将其转换为直角三角形来解.提示D归纳总结归纳总结1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(

)A.B．4C．8D．4D2.在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，

则a等于(

)A.B.C．6D.B随堂练习3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（）A．3B．3.75C．4.8D．5B随堂练习4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）D5.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB的值是_________.随堂练习6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线，解这个直角三角形.DABC6解：∵AD平分∠BAC，随堂练习7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1°):

(1)已知a=4,b=8;

解：在Rt△ABC中，由勾股定理得c＝＝.∵sinA＝＝＝，∴∠A≈27°.∵∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A≈63°.随堂练习解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，

∴∠A＝30°.∵sinB＝，b＝10，∴c＝＝＝.由勾股定理得a＝＝.

(2)已知b=10，∠B＝60°;

随堂练习

(3)已知c=20，∠A＝60°;

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.∵sinA＝，c＝20，∴a＝c·sinA＝20×sin60°＝20×＝.由勾股定理得b＝＝10.随堂练习图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.图①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；∴BC的长为7