2021年全国高考（乙卷）文科数学真题（带解析）

2021年全国高考（乙卷）文科数学真题（带解析）

一、单选题

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C(T/—V)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4)

2.设iz=4+3i,则z=()

A.—3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

3.已知命题〃：HxeR,sinx<l；命题>i,则下列命题中为真命题的

是（）

A."qB.-PMC.〃人FD.」（pvq）

YX

4.函数/（x）=sin§+cosw的最小正周期和最大值分别是（）

A.3兀和逝B.3兀和2C.6兀和0D.6兀和2

x+y>4,

5.若演y满足约束条件,x-yK2,则z=3x+y的最小值为（）

）43,

A.18B.10C.6D.4

2兀257r

6.cos----cos——=()

1212

1百V3

A.—B.n

2322

7.在区间（0，（随机取1个数，则取到的数小于1的概率为（

)

12J3

8.下列函数中最小值为4的是（）

A.y=X2+2犬+4B.

C.y=2x+22-xD.

Inx

1—Y

9.设函数/（x）=——，则下列函数中为奇函数的是（）

1+x

A./(x-l)-lB./(X-1)+1C./(X+1)-1D./(X+1)+1

10.在正方体A8CD-4gC12中，P为四。的中点，则直线PB与Aq所成的角为

()

兀%兀兀

A.-B.-C.-D.一

2346

11.设8是椭圆C：g+y2=i的上顶点，点p在c上，则|尸网的最大值为()

A.-B.>/6C.>/5D.2

2

12.设a^O,若x="为函数〃x)=a(x—a)2(x—3的极大值点，则()

A.a<bB.a>hC.ab<a2D.ab>a1

二、填空题

13.已知向量a=(2,5),B=(4,4),若W/b，则4=.

22

14.双曲线上—汇=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

45

15.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,4c,面积为6，8=60。>a2+c2=3ac>

贝!)Z?=.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥

的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案

即可).

图④

试卷第2页，总4页

三、解答题

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,

用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为［和］，样本方差分别记为

S：和S；.

⑴求嚏,y,S；；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果

y-x>2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,

否则不认为有显著提高).

18.如图，四棱锥P—A8CD的底面是矩形，。。_1底面48。，M为的中点,

且依

(1)证明：平面E4」W_L平面尸

(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-A3CD的体积.

19.设｛4｝是首项为1的等比数列，数列也｝满足勿=詈.己知%,3%,9a3成

等差数列.

(1)求｛4｝和也｝的通项公式；

(2)记S“和T„分别为｛%｝和也｝的前n项和.证明：T“〈苣.

20.己知抛物线C：y=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程;

(2)已知0为坐标原点，点尸在C上，点Q满足画=90声，求直线。。斜率的最

大值.

21.已知函数/(X)=/-%2+公+].

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.

22.在直角坐标系xOy中，OC的圆心为C(2,l),半径为1.

(1)写出OC的一个参数方程；

(2)过点尸(4,1)作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐

标系，求这两条切线的极坐标方程.

23.已知函数/(力=,_。|+卜+3|.

(1)当。=1时，求不等式/(x)26的解集；

(2)若/'(x)>—a,求〃的取值范围.

试卷第4页，总4页

参考答案

1.A

【分析】

首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】

由题意可得：MUN={1,2,3,4},则诙（MUN）={5}.

故选：A.

2.C

【分析】

由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

【详解】

1d-r阳4+3z（4+3z）z4z-3.

由1题M悬可得：z=------———=----=3-4z.

ii2-1

故选：c.

3.A

【分析】

由正弦函数的有界性确定命题P的真假性，由指数函数的知识确定命题夕的真假性，由此确

定正确选项.

【详解】

由于一iWsinxWl,所以命题。为真命题；

由于凶20,所以e^Nl，所以命题夕为真命题；

所以〃人q为真命题，r，、pATI、—为假命题.

故选：A.

4.C

【分析】

利用辅助角公式化简/（X）,结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.

【详解】

答案第1页，总16页

/\T_2p_

由题，〃x）=J5sin；+£,所以的最小正周期为丁J最大值为五.

\34y~

故选：C.

5.C

【分析】

由题意作出可行域，变换目标函数为y=-3x+z,数形结合即可得解.

【详解】

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

x+y=4/、

由<:可得点A（l,3）,

y=3

转换目标函数z=3x+y为y=-3x+z,

上下平移直线y=-3x+z,数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，

此时ZmM=3xl+3=6.

故选：C.

6.D

【分析】

由题意结合诱导公式可得cos2--cos2—=cos2--sin2—,再由二倍角公式即可得

12121212

解.

【详解】

答案第2页，总16页

27C25万2127T712乃.，兀

由题意，cos-----cos—=cos----cos=cos----snT—

121212万一五1212

715/3

=cos—=——

62

故选：D.

7.B

【分析】

根据几何概型的概率公式即可求出.

【详解】

设^=“区间(0,；随机取1个数”

1■-。?

A="取到的数小于;”=卜|0<x<|,所以「⑷啕3_=2

103

2

故选：B.

【点睛】

本题解题关键是明确事件“取到的数小于g”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准

确求出.

8.C

【分析】

根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等“，即可

得出3,。不符合题意，。符合题意.

【详解】

对于A,y=x2+2x+4=(x+l『+3N3,当且仅当x=-l时取等号，所以其最小值为3,

A不符合题意：

对于B,因为0<卜由M41,y=|sinx|+/2〃=4,当且仅当卜inji|=2时取等号,

等号取不到，所以其最小值不为4,B不符合题意;

答案第3页，总16页

4

对于C,因为函数定义域为R,而2*〉0，y=2x+22-x=2V+—>2V4=4,当且仅当

2、=2,即x=l时取等号，所以其最小值为4,C符合题意：

对于D,y=lnx+/一,函数定义域为(O,1)U(L+R)，而InxeR且InxoO,如当

\nx

lnx=-l,y=-5,D不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函

数的性质即可解出.

9.B

【分析】

分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】

1-Y2

由题意可得一=-1+--，

14-X1+X

2

对于A,/'(X—1)—1=一—2不是奇函数；

X

2

对于B,7(%-1)+1=一是奇函数；

X

2

对于C,/(x+l)-l=------2,定义域不关于原点对称，不是奇函数：

x+2

2

对于D,f(x+l)+l=-,定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】

本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

10.D

【分析】

答案第4页，总16页

平移直线至BG，将直线P8与A£)|所成的角转化为依与BQ所成的角，解三角形即

可.

【详解】

如图，连接B£,PG，P8,因为AA〃BG，

所以NPBG或其补角为直线PB与AR所成的角,

因为BB,1平面A4G9，所以8与d.PC,，又PC]±B1D1,c旦。=耳，

所以PG_L平面PBB、,所以PC,1PB,

设正方体棱长为2,则BC,=2夜,Pg=(=后，

sinZPBC,==所以NPBG=1-

力。z6

故选：D

11.A

【分析】

2

设点。(面,%)，由依题意可知，8(0,1),日+y；=1,再根据两点间的距离公式得到|P呼,

然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.

【详解】

设点P(Xo，%)，因为8(0,1)，羡+¥=1，所以

答案第5页，总16页

网2=xj+(%-1)-=5(1-y：)+(y0-i)~=一4y；一2%+6=-410一g1+生，

而一所以当先=；时，|PB|的最大值为

故选：A.

【点睛】

本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次

函数的性质即可解出.

12.D

【分析】

结合对。进行分类讨论，画出/(X)图象，由此确定正确选项.

【详解】

若则/(x)=a(x—a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故Mb.

依题意，苫=。为函数/(切=。(_<_4)2(；1—»的极大值点，

当”0时，由龙>人，/(x)W(),画出的图象如下图所示：

由图可知b<a,a<0,故ab〉".

当a>0时，由时，/(x)>0,画出/(x)的图象如下图所示:

答案第6页，总16页

由图可知Z?>a,a>0,故a/?〉。?.

综上所述，a。〉"成立.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

_8

13.一

5

【分析】

利用向量平行的充分必要条件得到关于4的方程，解方程即可求得实数X的值.

【详解】

由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4—/lx5=0,

Q

解方程可得：2=".

Q

故答案为：—.

14.75

【分析】

先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】

由已知，c==6*=3,所以双曲线的右焦点为(3,0),

|3+2x0-8|5/-

所以右焦点(3,0)到直线x+2y-8=0的距离为近+??=忑=力.

故答案为：亚

答案第7页，总16页

15.2^

【分析】

由三角形面积公式可得ac=4,再结合余弦定理即可得解.

【详解】

由题意，S.A8C=gacsin8==6，

所以ac=4,/+c2=12,

所以廿=。2+。2-2accos5=12—2x4xg=8,解得6=2加（负值舍去）.

故答案为：2夜.

16.③④（答案不唯一）

【分析】

由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【详解】

选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体ABC。—44G。中，AB=BC=2,BB[=1,

E,尸分别为棱B|C，BC的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E-AZ*.

故答案为：③④.

答案第8页，总16页

【点睛】

三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和

数量关系.

17.(1)7=10,1=10.3,S；=0.036,S；=0.04；(2)新设备生产产品的该项指标的均

值较旧设备没有显著提高.

【分析】

(1)根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

(2)根据题目所给判断依据，结合(1)的结论进行判断.

【详解】

、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

(1)x=---------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=---------------------------------------------------=10.3,

10

。20.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+O.32

Si=------------------------------------=0.036,

10

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22

=0.04.

10

2

(2)依题意，3=0.3=2x0.15=2V0.15=2V0.025，2小。36；。04=2>y0038，

歹—了<2、支!且，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.

V10

18.(1)证明见解析；(2)X2.

3

【分析】

(1)由底面A8CD可得又PBL4W，由线面垂直的判定定理可得

AM，平面PBD,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面，平面PBD；

(2)由(1)可知，AM由平面知识可知，&DAB〜&ABM,由相似比可求出A。，

再根据四棱锥尸-ABCD的体积公式即可求出.

【详解】

(1)因为尸。，底面ABC。，AMu平面A8C。，

所以P£>_L4W,

答案第9页，总16页

又PBLAM，PBC\PD=P,

所以A〃_L平面尸比＞，

而AMu平面PAM，

所以平面RAMJ•平面PBD.

(2)由(1)可知，AM,平面所以AA7_LBZ),

从而A/MB〜AABM，设AD=2X,

则处.="，即2/=1，解得x=YZ,所以A£)=0.

ABAD2

因为P0_L底面ABC。，

故四棱锥P-ABCO的体积为V=；x(lx亚卜1=#.

【点睛】

本题第一问解题关键是找到平面Q4"或平面PBD的垂线，结合题目条件PB_L4W，所

以垂线可以从心,AM中产生，稍加分析即可判断出AM_L平面PQ，从而证出；第二问

关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出GAB〜AABM，

从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积.

1n

19.(1)a„-(-r',bH=—；(2)证明见解析.

【分析】

利用等差数列的性质及可得到9d-6q+1=0,解方程即可；

利用公式法、错位相减法分别求出S,,,7；,再作差比较即可.

【详解】

因为｛%｝是首项为1的等比数列且%,3%,9a3成等差数列，

所以6a2=q+9。3，所以6%4=。|+9qq2,

即9/一6夕+1=0,解得q=；,所以

na„n

所以2=于二三.

答案第10页，总16页

1x（1-）

（2）证明：由（1）可得S“=--------4

1——

3

丁12n-\n

（亍系+…+k小①

1-12n-\n

/=?+予+…+丁+诃，②

^2_1111nQVTn1八1、〃

①-②得矛,=§+系+寸…+谑-诃i--诃=5（1行）-利，

1------

3

31n

所以7；=己（1,―,

"43"2.3"

所以7；—鼠=3（1—工）一一----（1-—）=---<0,

"243"2-3"43"2・3”

V

所以（<才・

【点晴】

本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数

学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构

类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.

20.(1)y2=4x；(2)最大值为L

3

【分析】

(1)由抛物线焦点与准线的距离即可得解;

(2)设。(%,%)，由平面向量的知识可得尸(10天-9,10%)，进而可得无。=25打+9,

再由斜率公式及基本不等式即可得解.

【详解】

(1)抛物线。：丁2=2〃/(〃>0)的焦点/仁,0),准线方程为x=

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为-1一■iJupnZ,

所以该抛物线的方程为y2=4x；

(2)设虱题,%),则而=9^-9%),

答案第11页，总16页

所以尸(10%一9,10%)，

由P在抛物线上可得(10%)2=4(10%—9),即/=25K+9,

k=%=%10%

所以直线OQ的斜率°QX。25y：+9-254+9,

10

当No=°时，k（）Q=°;

k10

当犷°时,

%

9

当先＞。时，因为25%+—2230,

%

193

止匕时0〈自24—，当且仅当25%=一，即%=己时，等号成立;

3y。5

当为＜0时，统＜0：

综上，直线OQ的斜率的最大值为g.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点。坐标的关系，在求斜率的最

值时要注意对先取值范围的讨论.

21.(1)答案见解析；(2)(l,a+l)和(一1,一1一a).

【分析】

(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；

(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可

求得公共点坐标.

【详解】

⑴由函数的解析式可得：/'(x)=3x2-2x+a,

导函数的判别式△=4-12a,

答案第12页，总16页

当△=4—12a时，/'（力20,/（力在区上单调递增,

1—J1—3a1+J1—3a

/'(x)=0的解为:,x,=-------------

3---2

当xe-oo,—己——时，/（x）＞0J（x）单调递增;

,(1—Jl—3a1+J1—3a),

当xw-——，—\——时,/'(x)<0,/(x)单调递减;

\337

当xe1+J;"*时，/1x)>0,/(x)单调递增;

综上可得：当时，/（x）在R上单调递增,

1—Jl—3a](1+J1—3a],

当。＜已时，/（X）在^上

l-Jl-3a1+」1-3。

单调递增，在—————上单调递减.

33

⑵由题意可得：/（而）=*—片+6/+1,/'（Xo）=3xj—2毛+a,

则切线方程为：y-（片一片+6/+1）=（3x；—2x0+a）（x—x。）,

切线过坐标原点，则：（）一（君一片+«Xo+l）=（3x；—2/+。）（（）一%0）,

整理可得：2"-需一1=0,即：（/一1乂2年+/+1）=0,

,1=1+

解得：x0=l,则/（%）=/（l）=l_l+a+l=a+l，/'（x0）=/（）«

切线方程为：y=（a+l）x,

与/（x）=.r'—.v*+ax+1联立得/一X2+ax+1=（a+l）x,

化简得/一/一x+i=（）,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是

了3一万2一%+1的一个因式，；.该方程可以分解因式为（工一1乂/—1）=0,

解得X=l,x2=-1,

答案第13页，总16页

/(T)=T_a，

综上，曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(K)的公共点的坐标为(IM+1)和

(―1,—1—

【点睛】

本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问

题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数

曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点)，要通过联

立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这

样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般

都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.

x=2+cosaTT

22.(1)〈,(a为参数)；(2)2/?cos(6+—)=4-，3或

y=l+sina