2021年河南省中考数学试卷（备用卷）（附答案详解）

2021年河南省中考数学试卷（备用卷）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.下列各数中最大的是（）

A.-gB.0C.2D.—2

2.中国科科学院高能物理研究所2021年5月17日公布，国家重大科技基础设施“高海

拔宇宙线观测站”记录到1400万亿电子伏特的伽马光子，这是人类迄今观测到的

最高能量光子，数据“1400万亿”用科学记数法表示为（）

A.1.4x1015B.1.4x1016C.1400x1012D.1400x1013

3.下列运算正确的是（）

A.x+x=x2B.x3-Xs=x15C.（x2）3=x5D./%/

D.

5.如图所示，量角器的圆心。在矩形4BCC的边4D上，直径经过点C,则40CB的度数

为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.若一元二次方程一一2尤+/£=0有两个不相等的实数根，则化的取值范围为（）

A./c<0B./c>0C.k<1D.k>1

Q

7.如图，AD//BE//CF,AB=2,BC=3,EF=£则DE的长为（）

8.小明忘记了旅行箱密码的后两位数字，只记得都是奇数，且这两个数字不同，小明

随机输入，则他一次能打开密码锁的概率为（）

9.如图，放学后小红沿一条笔直的道路步行回家，先.林京中

前进a米，又原路返回b米到商店选购一些文具（b<

a），之后再向家的方向前进c米，设小红离起点的距离为$（米），步行的时间为t（分

）,则下列图象中能够大致表示s与t的关系的是（）

第2页，共27页

10.如图，AOZB中，乙408=60。，。4=4,点B的坐标

为(6,0),将AOAB绕点4逆时针旋转得到△C4D,当

点。的对应点C落在08上时，点。的坐标为()

A.(7,3V3)

B.(7,5)

C.((5V3,5)

D.(5V3.3V3)

二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)

11.因式分解：a2-2a=.

12.方程上=：的解为____.

X—2X

13.某射击队准备从中、乙两名运动员中挑选一名参加比赛，最近的10次测试中，他们

的平均成绩均为8.5环，万差分别为琮=1.45,s|_=0.85,射击队需选择成绩稳定

的运动员参加比赛，则该射击队应选择的运动员是.

14.如图①，AB为半圆0的直径，点C在卷上从点4向点B运动，将诧沿弦BC,翻折,

翻折后发1的中点为。，设点A，C间的距离为X,点。，D间的距离为y,图②是点C运

动时y随x变化的关系图象，则48的长为.

15.如图，四边形/BCD中，4B=90°,AB=BC=6,E

为4B的中点，点F在BC上，点G在CE,上，若四边

形DEFG是正方形，则,的值是.

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16.（1）计算:a+2-1-（5—6）°;

f2x-4<0

（2）解不等式组：Ui.

I2

17.为庆祝中国共产党成立100周年某学校积极开展党史学习活动，并组织七、八年级

学生进行党史知识测试（每题10分满分100分）.现从两个年级各随机抽取30名学生

的测试成绩，并进行整理和描述

党史知识测试成绩统计图

人数

年级平均数中位数众数80分及以上人数所占百分比

七年级75a80C

八年级7570b47%

第4页，共27页

根据以上信息，解答下列问题：

(1)表格中的a=,b=,c=.

(2)综合表中的统计量，分析说明哪个年级党史知识测试成绩更好？并说明理由.

18.如图，正比例函数y=1逐与反比例函数y=§的图象交于点4(2,6)和点B.

(1)求点B的坐标.

(2)结合图象写出不等式件>自支的解集.

(3)若点C的坐标为(3,0),求△力BC的面积.

19.临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购

进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元.

为期末加油！！

2B涂卡铅笔4元/支

0.5nm黑色水笔2.5元/支

(1)求这两种笔每支的进价分别是多少.

(2)该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超

过360支，售价见店内海报(如图所示).该商店应如何安排进货才能使利润最大？最

大利润是多少？

20.如图，四边形4CDE内接于。。，4c为。。的直径，分别延长4E,CD,交点为B,

连接4D,直线PC是。。的切线.

(1)求证：乙PCD+乙BED=9。°.

⑵若4BDE=45°,Z.DAE=15°,求一的值.

第6页，共27页

21.某数学社团的同学开展了测量古塔高度的实践活动过程如下:

［制定方案］在该塔底部所在的水平地面上选取两个不同的测量点.由甲组同学测量

该塔尖的仰角，乙组同学测量这两个测量点之间的距离.

［实地测量］如图所示，线段4B表示塔高，水平地面上测量点C,。与塔底端8在同一

条直线上.

测量一：甲组同学在C处测量一次，测得塔尖4的仰角为37。，在。处测量一次，测

得塔尖4的仰角为27。.

测量二：乙组同学测量了三次，数据如表：

测量项目第一次第二次第三次

C,。之间的距离26.1m26.3m26.2m

(1)乙组同学三次测量C,。之间距离的平均值为(精确到0.1m)

(2)求古塔的高度.(结果精确到1m.参考数据：sin37°»0.60,cos37°®0.80,

tan37°«0.75,sin27°«0.45.cos27°«0.90,tan27°«0.50)

(3)从减小误差的角度考虑，你认为哪个小组的测量方法更合理？请说明理由.

22.已知抛物线y=x2+mx的对称轴是直线x=1.

(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.

(2)点4(71J1),8(2,、2)在该抛物线上，若丫1＜丫2，求频的取值范围.

(3)将该二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一

个新的函数图象，记作W.当直线y=x+b与W恰有3个交点时，直接写出b的值.

4y

5-

4-

3-

2-

1-

111111111IA

-54-3-2-1°12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

23.某数学兴趣小组对一个数学问题的探究过程如下，请仔细阅读，并解答相应问题.

【问题】如图，△ABC•中，乙4cB=90。，AC=BC=5cm,。为BC边上一个动点，

连接AD，过点C作CEJ.4D,垂足为点E,F为线段E4上一点，月£F=CE,过点F

作GF140交直线C4于点G,判断线段CE,DE,GF的数量关系.

【观察】数学兴趣小组的同学观察到线段CE,DE,CF的长度随CD的长度变化而

变化，但他们并没发现明显规律

【实验】他们借助电脑软件根据点。在CB上的不同位置，测量线段CD,CE,DE,

GF的长度，得到下表的几组对应值.

第8页，共27页

CD/cm1.002.003.004.005.00

CE/cm0.981.852.573.123.53

DE/cm0.190.741.552.503.53

GF/cm0.791.111.020.620

请根据以上信息，完成下列问题.

［猜想］(1)线段CE,DE,GF的数量关系为.

［证明］(2)请证明上述猜想.

［拓展］(3)上述问题中，若。为射线CB上的一个动点，F为射线及4上的一个动点，其

他条件不变，当4F=lc?n时，直接写出DE的长.

答案和解析

1.【答案】

C

【解析】

解:-|-^l=p|-2|=2,而*2,

二其中最大的是2.

故选：C.

有理数大小比较的法则：①正数＞0＞负数；②两个负数比较大小，绝对值大的其值反

而小，据此判断即可.

此题主要考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键.

2.【答案】

A

【解析】

解:1400万亿=14000000亿=1400000000000000=1.4X1015.

故选：A.

科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中lW|a|＜10,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，九的绝对值与小数点移动的位数相同.当原

数绝对值210时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axIO”的形式，其中

|a|＜10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.【答案】

D

第10页，共27页

【解析】

解：力、x+x=2x,故A不符合题意；

B、x3-x5=X8,故8不符合题意；

C、(x2)3=x6,故C不符合题意;

D、%3x=%2,故。符合题意；

故选：D.

利用同底数募的乘法的法则，塞的乘方与积的乘方的法则，同底数基的除法的法则，合

并同类项的法则对各项进行运算即可.

本题主要考查同底数幕的乘法，幕的乘方与积的乘方，同底数幕的除法，合并同类项，

解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

4.【答案】

【解析】

解：这个几何体的左视图为:

故选:B.

根据左视图的定义画出图形即可.

本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

5.【答案】

【解析】

•••^AOE=40°,Z.AOE=乙DOC,

4DOC=40°,

「四边形力BCD是矩形，

BC//AD,

•••Z.OCB=乙DOC=40°,

故选：B.

根据矩形的性质得到BC〃4D,即可根据平行线的性质求解.

此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键.

6.【答案】

C

【解析】

解：根据题意得4=(-2)2-4xk>0,

解得k<1.

故选：C.

根据根的判别式的意义得到(-2)2-4k>0,然后解不等式即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0(a*0)的根与4=b2-4ac有

如下关系，当4>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实

数根；当4<0时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.

7.【答案】

B

第12页，共27页

【解析】

AD//BE//CF,

,••_AB_—_DE,

BCEF

2_DE

'•3一丁5，

DE=

故选：B.

利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于

中考常考题型.

8.【答案】

D

【解析】

解：由题意画树状图如下:

开始

13579

z-AxxW./TV.xyv

35791579137913591357

共有20种等可能的结果，其中小明一次能打开密码锁的结果有1种，

二小明一次能打开密码锁的概率为亲

故选：D.

画树状图，共有20种等可能的结果，其中小明一次能打开密码锁的结果有1种，再由概

率公式求解即可.

此题考查了树状图法以及概率公式.正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比.

9.【答案】

D

【解析】

解：由题意，得：

先前进a米，小红离起点的距离先增加；原路返回b米，离起点的距离减少；选购文具时

离起点的距离不变；再向家的方向前进c米，起点的距离增加，故。符合题意；

故选：D.

根据前进时，小红离起点的距离增加，返回时离起点的距离减少，选购文具时离起点的

距离不变，再前进时离起点的距离增加，可得答案.

本题考查了函数图象，比较简单，了解横、纵坐标分别表示什么是解题的关键.

10.【答案】

A

【解析】

解：如图，过点。作OElx轴于点E.

v8(6,0),

・•・OB=6,

由旋转的性质可知40=4。=4,OB=CD=6,/LACD=Z.AOB=60°,

•・•乙40c=60°,

：.△AOC是等边三角形，

・•・OC=0A=4,Z.ACO=60°,

・・・乙DCE=60°,

：•CE=-CD=3,DE=3A/3>

OE=OC+CE=4+3=7,

第14页，共27页

•••。(7,3料)，

故选：A.

如图，过点。作DElx轴于点E.证明A40C是等边三角形，解直角三角形求出。E,CE,

可得结论.

本题考查作图-旋转变换，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型.

11.【答案】

a(a—2)

【解析】

【分析】

本题考查提公因式法-因式分解，较为简单，找准公因式即可.

先确定公因式是a,然后提取公因式即可.

【解答】

解：a?-2a=a(a—2).

故答案为：a(a-2).

12.【答案】

x=4

【解析】

解：去分母得：x=2(%-2),

去括号得：x=2x-4

移项合并得：一%=-4,

解得：x=4,

经检验％=4是分式方程的解.

故答案为：x=4.

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式

方程的解.

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整

式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

13.【答案】

乙

【解析】

解：：s*=1.45,=0.85,

•••S冷〉S：,

该射击队应选择的运动员是乙.

故答案为：乙.

根据方差的定义，方差越小数据越稳定.

本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组

数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分

布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

14.【答案】

8

【解析】

解：由图②可知，

当x=4时，y=0,

此时，AC=4,。点与。点重合,

如图，

取。。的BC的中点E,连接。E、EB,

第16页，共27页

•・,OE=OB,

根据对称性，得OB=BE,Z.EBC=/.ABC,

・•・OB=OE=BE,

•・・△。£8是等边三角形，

・•・/.ABE=60°,

/.ABC=-Z.ABE=30,

2

为直径，

乙ACB=90°,

在AACB中，44cB=90°,^ABC=30°,

AC

・•・sin4WC=—,

AB

:.AC=4,

ACAC44c

:.AB=---------=-----=丁=8

sin£ABCsin300-'

.♦.AB长为8.

故答案为：8.

由由图②可知，当x=4时，y=0,此时•，AC=4,。点与。点重合，然后圆的性质和

对称性求解即可.

本题考查动点问题的函数图象，主要用到圆的性质和对称性，关键是从图象上读取信息,

利用圆的性质求解.

15.【答案】

V13

【解析】

解：连接DF交EG于。，过。作。M_L4B于M,如图:

•••=90°,AB=BC=6,E为AB的中点,

・•・AE=BE=3,CE=y/BE2+BC2=3遍,

,・•四边形DEFG是正方形，

:.DF1CE,0E=OF=OD,

设。£=OF=OD=%,

・•・OC=3A/5—x»

vZFOC=LB=90°,Z-FCO=乙ECB,

•••△BCE~2OCFf

解得x=岳,

OF=OE=OD=而，OC=CE-OE=2炳,

•••CD=yJOC2+OD2=5，EF=VOE2+OF2=V10.

•••BF=\lEF2-BE2=1，，

••・四边形。EFG是正方形，

:.EF=ED,4DEF=9。。,

•••乙BEF=90°-4MED=AMDE,

v乙B=乙DME,

•••△8EFWAEDM(44S),

••・ME=BF=1,MD=BE=3f

••-AM=AE-ME=2,

AAD=VAM?+DM?=V13,

.AD_yfl3

CD5

故答案为：誓.

连接DF交EG于。，过。作。于M,4B=90°,AB=BC=6,E为的中点，得

AE=BE=3,CE=y/BE2+BC2=3>/5，根据四边形DEFG是正方形，有中尸J.CE,

OE=OF=OD,设OE=OF=OD=x,可证△BCE-AOCF,即得.=解得。尸=

36

OE=OD=V5.OC=CE-OE=2而，可得BF=^EF2-BE2=1,,根据四边形DEFG

是正方形，可证ABEF三△EDMOMS),即得ME=BF=1,MD=BE=3,从而4D=

\/AM2+DM2=V13，即可得答案.

本题考查正方形性质及应用，涉及相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质等知

识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形.

第18页，共27页

16.【答案】

解：(1)〃+2-1-(5-遮)。

=2+2--1

_3

=2；

2x-4<0①

⑵叵<x②,

解不等式①，得x<2,

解不等式②，得%>-1,

•••该不等式组的解集是-1<x<2.

【解析】

(1)先计算二次根式、负整数指数幕和零次累，再计算乘法，后计算加减；

(2)分别求解两个不等式，再确定它们解集的公共部分.

此题考查了实数的混合运算和一元一次不等式组的求解能力，关键是能确定准确的运算

顺序和方法，并能进行准确计算.

17.【答案】

757050%

【解析】

解：(1)由统计图可得，阴影长方形表示的是七年级，空白长方形表示的是八年级，

七年级成绩的第15个数是70,第16个数是80,

所以成绩的中位数a=亨=75,80分及以上人数所占百分比c=巴萨=50%,

八年级成绩得分为70分的人数最多，所以众数为b=70分，

故答案为：75,70,50%；

(2)七年级党史知识测试成绩更好，

理由：比较两个年级的统计量可知，七年级和八年级的平均成绩相同，中位数七年级高，

众数七年级高，80分及以上人数所占百分比七年级大于八年级，以上分析说明，七年级

党史知识测试成绩更好.

(1)由统计图可得，阴影长方形表示的是七年级，空白长方形表示的是八年级，再根据

中位数和众数的定义解答即可：

(2)根据(1)中的统计量分析可得结论.

本题考查条形统计图的知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

18.【答案】

解：(1)•••反比例函数与正比例函都是关于原点对称的，

•••交点坐标也是关于原点对称，

•••4(2,6),

•••B点坐标(-2,-6).

(2)由图象可知，不等式合〉日的解集：》＜-2或0＜》＜2.

(3)连接AC,BC,如图所示：

•••C(3,0),

・•・0C=3,

11

SAABC=S^AOC+S^BOC=-x3x6+-x3x6=18.

【解析】

(1)根据反比例函数与正比例函数的中心对称性即可求出B点坐标；

(2)由图象可求出不等式的解集；

(3)由SA.BC=S&AOC+S&BOC，即可求出44BC的面积.

本题考查了反比例函数的综合，掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性以及三角形

面积的求解方法是解决本题的关键.

第20页，共27页

19.【答案】

解：(1)设2B涂卡铅笔的进价为x元/支，则0.5rmn黑色水笔的进价为(x-l)元/支，根

据题意，得：

600_400

XX-1

解得％=3,

经检验，x=3是原方程的解且符合题意，

答：2B涂卡铅笔的进价为3元/支，0.5mm黑色水笔的进价为2元/支；

(2)设商店购进28涂卡铅笔a支，商店获得的利润为y元，则购进0.5nun黑色水笔(2a+

60)支，根据题意，得：

CL+2Q+604360»

解得Q<100,

由题意得，y=(4-3)。+(2.5-2)x(2a+60)=2a+30,

v2>0,

y随a的增大而增大，

.•.当a=100时，y取最大值，最大值为：2x100+30=230(元)，

2a+60=260(支)，

答：当商店根据2B涂卡铅笔100支，0.5nwn黑色水笔260支，商店获得的利润最大，最

大利润为230元.

【解析】

(1)根据用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，可以列出相应的分式方程，

从而可以求得2B涂卡铅笔，0.5mm黑色水笔每支进价分别为多少元；

(2)根据题意，可以得到利润与购进甲种水笔数量的函数关系，然后根据商店计划购进

水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，可以得到购进2B涂卡铅笔数量的取值范围，再

根据一次函数的性质，即可得到问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元.

本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键

是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答.

20.【答案】

(1)证明：・・•直线PC是o。的切线,

•••NPCO+20)=90。，

•••四边形4CDE内接于。0,

・•・^AED+Z.ACD=180°,

・••Z.AED+乙BED=180°,

・•・乙BED=Z.ACD,

・•・乙PCD+乙BED=90°；

(2)解：连接CE,

•••AC为。。的直径，

•••AAEC=Z.ADC=90°,

■:四边形力CDE内接于O0,乙BDE=45°,

Z.EAC=乙BDE=45°,

•••AC=y[2AE>

■：AEAC=45°,ADAE=15°,

Z.DAC=30°,

AC=2CD,

【解析】

(1)根据切线的性质得到乙PCD+^ACD=90°,根据圆内接四边形的性质得到N4ED+

^ACD=180°,证明结论；

(2)连接CE,根据等腰直角三角形的性质得到4C=&4E,根据含30。角的直角三角形

的性质得到AC=2CD,进而得到答案.

本题考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂

直于经过切点的半径是解题的关键.

21.【答案】

26.2

【解析】

第22页，共27页

解：(l)ix(26.1+26.3+26.2)=26.2(m),

故答案为：26.2；

(2)设4B=xm,

AR

在中，tan37°=—«0.75,

BC

1・BC=—,

0.75

AD

在RtAABC中，tan270=—®0.50,

BD

***BD=----,

0.50

•••CD=26.2,

vy

BD-BC=26.2,即—=26.2,

解得％X39.

答:古塔的高度约为39m；

(3)乙组得到测量方法更合理，因为多次测量的结果取平均值可以减小误差.

(1)根据三次测量结果直接求平均值就可以得到答案；

(2)设4B=xm,解直角三角形即可得到结论；

(3)乙组得到测量方法更合理，因为多次测量的结果取平均值可以减小误差.

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三

角函数的定义是解题的关键.

22.【答案】

解：(1)；丫=X2+?11刀的对称轴是直线无=1,

•••一--=1,

2X1

:.m=-2,

■.y=x2—2x=(x—l)2—1,

•••抛物线的顶点坐标为

(2),•,当x=2时，y2=0,

•••B(2,0),

•••抛物线的对称轴为直线x=l,

•・•点B关于直线％=1的对称点为(0,0),

•••抛物线开口向上且以<y2>即%<0,

A0<n<2,

(3)将二次函数y=x2-2x的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折后，翻折部分的函数解析

式为y=-%2+2x(0<x<2),顶点坐标为(1,1)；

y=x+b是有y-x平移得到的且y-x过(1,1)；

新的函数W的图象如图所示，

①当b=0时，、=》恰与小有3个交点；

②将y=x的图象向上平移后与翻折部分的函数图象只有一个交点时，y=x+b与皿恰

有三个交点，

令―/+2x—kx+b,整理得——x+b=0,

•:y=x+b与y=-x2+2x(0<x<2)只有一个交点，

[4=(-1)2—4b=0,

・•・b=