房价问题数学建模

1、问题重述

房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳固有重要影响，向来是各国政府鼎力关注的问题。我国自从撤消福利分房制度以来，跟着房价的不停飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、一般百姓经过各样媒体表达各样看法，但关于房价能否合理、未来房价的走势等重点问题，到现在还没有形成一致的认识。

请依据中国国情，采集建筑成本、居民收入等与房价亲密有关的数据，选用我国拥有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量

剖析；依据剖析结果，进一步商讨使得房价合理的详细举措，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量剖析。这里主要议论剖析了以下四个问题：

问题一：经过对北京、重庆的一些影响房价的因素数据采集、办理、总结、剖析来议论近几年来其房价的合理性。

问题二：经过对北京、重庆近些年来房价合理性的剖析结果从而对未来三年这些地区的房价趋向进行比较合理的预估。

问题三：依据以上剖析结果进一步议论使房价合理的详细举措以及对经济发展的影响。

2、符号说明

I：固定财产投资（亿元）；

INC：重庆市人均可支配收入（元）；

JQC：国家房地产景气指数；

R：利率（%）；

RRE：理想房价（元/平方米）；

RE:实质房价（元/平方米）；

LOG：对以上符号取对数；

C：函数中的常量；

年限；

K1，K2,K3，K4：关系函数常量；

A：建筑资料成本；

B：土地成本；

C：利率；

GDP：人均收入；

L：收益；

T：谋利商谋利所得；

K4、K5、K6、K7：关系函数。

3、基本假定

问题一假定：

假定1、房价的理想价钱只固定财产投资（I），重庆市人均可支配收入（INC），国家房地产景气指数（JQC），利率（R）等四个因素有关；

假定2、在一段时间内国家房地产景气指数（JQC），利率（R）保持不变；假定3、各地的房价不受政府等外界环境和人员的搅乱；

假定4、各个数据在一段时间内的颠簸在必定范围内是合理的。

1

问题二假定：

假定1：选用的数据是北京市、重庆市2000-2010年均匀房价；假定2：所取数据不考虑政策等各样人为因素的搅乱；

假定3：数据的颠簸属于合理的范围内；

假定4：只议论与之有关的主要因素，其余次要因素暂不剖析。

问题三假定：

假定1：房地商收益所得恒定；

假定2：谋利商谋利所得也恒定；

假定3：居民对房价有必定的容忍度，设为容差；

假定4：供求均衡；

假定5：忽视其余细小因素影响。

4、问题剖析

一个国家各个地市房价的形成和变化过程，是有很多因素决定的，影响房价的主要因素好多，诸如建筑成本、供求比率、经济发展、居民收入改动状况、居

民的居住水平易居住构造状况等等，而在剖析研究我国国情的前提下，建筑成本，居民收入等与房价亲密有关的因素特别对房价能否合理和房价的未来趋向等老

百姓关注的有关问题起着极为重要的作用。综合考虑以上有关因素，这成为建立我国房价为题模型的重点。

问题一剖析：

本问使要求我们经过剖析有关数据，总结出大概影响房价的几个主要因素，

而后依据这些因素成立一个城市房价的数学模型。从而经过对数据、图形的仔细

而详细的剖析房价的合理性。针对这个问题，我们利用一些图书资料和网上的相

关资源，查找个主要因素之间的影响变化关系，确立变量，从而成立模型求解。

我们能够确立房地家产快速发展的重点是社会经济的各项指标综合决定的，而社会经济发展的一些指标向来推动房地产发展。所以，我们剖析的有关的一些数据是那些对房地家产有较大影响的经济指标。

关于该问题，经过查阅有关资料并依据已有的数据，确立重庆市房地产价钱

合理性主要因素为：经济局势（由固定财产投资I表示），人民生活水平（由重

庆市人均可支配收入INC表示），花费者对房地产价钱的预期（由国家房地产景

气指数JQC表示），实质利率（由R表示），共四个可量化的因素影响。经过这

四个因素，我们经过成立相应模型——经济学中合理价钱的模型，最后求的重庆

市房地产合理价钱（RRE）。经过对照剖析重庆实质房价与理想房价，从而能够得

出重庆市近几年房价的合理性。关于北京近几年房价的合理性能够用相同的模型

剖析出来的公式数据计算得出。

问题二剖析：

本问是对房价的走势进行预计和展望。房地产价钱的高低波及社会生活中多方面的经济利益,也是百姓生活中关注比许多?比较重要的问题之一?较为正确地展望未来房地产的销售价钱,对社会经济发展和人民生活极其重要,能够为经济决议供应参照,故其研究意义相当重要?第一，我们依据题目提示，我们需要确立的是详细研究中国不一样座城市的房价状况。而后再持续考虑接下来的数据发掘等步骤。针对本问，我们必定要具备的资料就是该城市的历年房价的真切数据，从而才能真切意义上的经过成立模型、求解，拟算出下一阶段该城市的房价走势。

经剖析能够知道，本问与上一个的问题模型的详细剖析，据大批学者的经验2

表示，该回归剖析模型能够提升展望精度。

回归剖析模型：在实质问题中，自变量的个数有好几个，随机变量y随多个变量而改变。在议论房价问题中，房价受好几个变量影响，所以能够先分别议论各个因素与房价的关系式，而后综合各个变量与房价的关系，能够推出关系式

LOGRRE=47.64+10.99K1*N+1.76K2*N+1.88K3*N-1.34K4*N问题三剖析：

本问是针对前两问的数据图像详细剖析研究从而对照较合理的房价做出相

应详细的举措。因为影响房价的因素有很多种，而我们议论的是重点因素，即建筑成本，土地价钱等与房地产自己有关的因素以及人们生活水平即收入状况，人

均JDP的变化来综合考虑怎样使房价合理，依据这几个变量，联合上边的回归剖析模型来调理详细系数且将采集到的数据与时间成立一个坐标关系，便能够很直观的从颠簸上看出房价的变化，来剖析对照从而获取较为合理的方案使问题解

决。

5、模型成立及求解

问题一模型的成立与求解

因为经济增添局势越好，房地产价钱上升的可能性就越大；人均可支配收入的增添代表了人民生活水平的提升，可支配收入的增添将使得居民用来购房的资本有所增添，同时也使有了改良居住水平的梦想，这样就刺激了对房地产的需求，从而在必定程度上推动了房地产价钱的上升；所以房地产价钱水平与固定财产投资以及人均可支配收入均成正比。

房地产行业的景气程度也会影响花费者的预期，在房地产行业景气时期，花费者会预期房价会进一步上升，为了不肯在未来支付更多的钱币来购买相同的商品房，那样会有更多的花费者掀起购买，这样对房地产的需求也会进一步提升，

而在房地产行业不景气时，花费者则会产生相反的预期，这样会使得对房地产的需求减少。所以用国家房地产行业景气指数能必定程度的反应房地产价钱的走

势。

另一方面，利率的高低决定了房地产商的融资成本，贷款利率降低，开发商就能以较低的成本获取资本，所以利率与房地产价钱成负有关关系。这里的利率是实质利率，即名义利率（长久商业贷款利率）-通货膨胀率。

所以能够推导出以下结论：

此中，等式上方的正负号是解说变量一阶偏导的符号，表示固定财产投资

I），重庆市人均可支配收入（INC），国家房地产景气指数（JQC）高升时，房地产价钱会上升，而利率（R）的增高将会使房地产价钱降落。

依据计量经济学的原理，经过研究房地产价钱的对数时序，固定投资财产的对数时序，人均可支配收入的对数时序，国家房地产景气指数的对数时序，实质利率的对数时序的协整关系剖析，能够得出理想房地产价钱的计算公式。对变量数据取对数后固然和原数据不一样，但其实不改变原数据的实质特点，能够方便安稳性查验。

研究步骤是进行先单位根查验（即平坦性查验），而后进行协整关系查验（一阶整形序列才能进行协整关系查验）。

（一）安稳性查验3

采纳ADF(AugmentedDickey-Fuller)查验。查验主要采纳计量经济学软件

EViews5.0进行查验。查验的结果以下：各变量的ADF查验结果变量ADF查验量10%临界值稳固性剖析LOGI1.51-2.74不稳固d(LOGI)-2.92-2.77稳固LOGINC0.5-2.74不稳固d（LOGINC）-3.82-2.8稳固LOGJQC-2.12-2.74不稳固d(LOGJQC)-3.13-2.77稳固R-0.93-2.74不稳固d（R）-3.77-2.77稳固注：当ADF查验量大于10%临界值时，时间序列不稳固，当ADF查验量小于10%值时，时间序列稳固

上述ADF查验结果能够看出，LOGRRE,LOGINC,LOGI,LOGJQC,R都是一阶整形序

列，即原序列不安稳，一阶后的序列是安稳的。此外，需要进行协整查验。

（二）协整查验

在重庆房地产合理价钱的实证测算中，因为所研究的是多变量的协整关系，样本数据为1998年到2008年的年度数据，所以能够Johansen极大似然预计法来进行协整相同采纳Eviews软件，查验的结果以下：

Johansen极大似然预计结果特点值似然比5%的临界值1%的临界值协整方程个数假定0.40353372.3575768.5276.07None*0.39825447.5544347.2154.46Atmost1*0.22883423.1742629.6865.65Atmost20.13958610.7014015.4120.04Atmost30.0700313.4849843.766.65Atmost4未标准化的协整系数LOGRRELOGILOGINCLOGJQCR-1.864662-20.50533-3.287043-3.5002622.50664619.726536.9467800.9477253.891773-41.1014733.81152-3.070157-3.008774-2.3300881.7722243.6882032.4287712.63687212.68990-2.654376-2.952050-3.983180-0.905584-6.2511630.026569标准化的协整系数：一个协整方程LOGRRELOGILOGINCLOPGJQCRC1.00000010.996811.7628091.877156-1.34429047.64048(41.3914)(6.38268)(7.52247)(7.77405)Log817.9977likelihood

Johansen极大似然预计的查验结果表示：LOGRRE与LOGINC,LOGI,LOGJQC以4

及R之间存在着协整关系，协整方程为：

LOGRRE=47.64+10.99LOGI+1.76LOGINC+1.88LOGJQC-1.34R.经过这个协整方程就能够获取理想合理价钱与各经济因素的定量关系。

将理想合理价钱与实质房地产价钱对照：年份实质房价实质房价（LOGRE）理想房价（LOGRRE）199818063.25671776463.28E+00199919973.3003780653.32E+00200020633.3144992283.33E+00200122913.3600250893.36E+00200224493.3889887853.37E+00200326523.423573523.41E+00200427593.44075173.45E+0020053005.73.4779456313.46E+00200633833.5293019983.49E+0020073791.73.5788339693.58E+0020083882.43.5891002783.60E+00注：实质房价LOGRE是指对实质房价取10为底的对数

表.实质房价（LOGRE）与理想房价(LOGRRE)

经过实质房价与理想房价的对照，能够看得出重庆的实质房价与理想房价特别靠近，所以重庆的房价基本合理。

模型的剖析

合理价钱的理想模型是第一经过挑选，选出影响合理价钱的重点因素：固定财产投资I，重庆市人均可支配收入INC,国家房地产景气指数JQC，实质利率R共四个可量化的因素影响。经过平坦性剖析以及协整剖析获取协整方程：

LOGRRE=

最后，我们经过作图得出了重庆市房价基本合理的结论。

下边使用相同的模型方法对北京市房价的合理性做出的图表剖析：5年份实质房价实质房价（LOGRE）理想房价（LOGRRE）200044553.6488477083.63E+00200159663.7756892493.75E+00200275103.8756399373.88E+00200390703.9576072873.94E+00200499313.9969929824.00E+002005107484.0313276584.01E+002006124804.0962145854.04E+002007134604.129045064.06E+002008138604.141763234.09E+002009166584.2708650894.14E+002010204804.3706980933.60E+00

经过实质房价与理想房价的对照，能够看得出北京在2000到2008年实质房

价和理想房价较为靠近，此段时间内北京地区的房价基本合理，可是从2008年后特别是2009年，北京房价受国内及外国一些因素的影响实质房价和理想房价

差异较大，实质房价远高于理想房价，故此这段时期内其房价不合理。

模型的优弊端及推行

针对重庆房地产行业现状，参照了经济学中合理价钱的模型并成功进行了

运用，同时，EViews统计软件的使用也大大通提升了统计效率，最后获取的协整方程对合理价钱进行了定量描绘，并且由此证明重庆房地产价钱基本合理。运用相同的模型原理描绘北京房价的状况表示其房价不太合理。

但本模型也存在一些弊端，在进行安稳性剖析时，明显性水平只是是10%，所以很有可能只是在2000年到2010年之间合理价钱的理想模型成立，在此后的年月中有可能与实质不太符合。这需要我们在未来进一步改良模型，提升模型的明显性水平。

问题二的模型成立与求解：

依据问题一中各变量的ADF查验结果：6变量ADF查验量10%临界值稳固性剖析LOGI1.51-2.74不稳固d(LOGI)-2.92-2.77稳固LOGINC0.5-2.74不稳固d（LOGINC）-3.82-2.8稳固LOGJQC-2.12-2.74不稳固d(LOGJQC)-3.13-2.77稳固R-0.93-2.74不稳固d（R）-3.77-2.77稳固由上表能够看出：

LOGI=K1*N;

LOGINC=K2*N;

LOGJQC=K3*N;

R=K4*N;

即数据的一阶导数稳固，成线性关系，所以的词表达式。

有表格可推知K1,K2,K3,K4。

而前面推知：

LOGRRE=将上述数据公式带入可获取展望房价公式：

LOGRRE=47.64+10.99K1*N+1.76K2*N+1.88K3*N-1.34K4*N

重庆市RRE、I、INC、JQC、R数据列表年份实质房价固定财产投人均可支配国家房地产年利率（R）资（I）/亿收入（INC）景气指数元/元（JQC）200020631787450103.45.85200122912379503105.95.422002244931410339104.25.312003265247911316106.25.472004275962212831105.165.582005300588114373100.85.812006338399816805103.46.1220073792155421336102.17.022008413020032515696.66.0820094350248628653103.16.3220105052293032514105.46.01北京市RRE、I、INC、JQC、R数据列表

年份实质房价固定财产投人均可支配国家房地产年利率（R）资（I）/亿收入（INC）景气指数元/元（JQC）720004455125010349.7103.45.8520015966153011577.8105.95.4220027510185412463.9104.25.3120039070200013882.6106.25.4720049931287315637.8105.165.58200510748337117653.0100.85.81200612480280019978.0103.46.12200713460380021989.0102.17.02200813860350023140.096.66.08200916658420026380.0103.16.32201020480460032514.0105.46.01由以上数据，能够计算出关系函数K1，K2，K3，K4。代入关系式（1）求出2011、2012、2013年的房价：北京年份（年）楼房均价（元）201121036201223206201326504重庆年份楼房均价（元）（年）201160202012713020138300

所以，我们能够展望出北京、重庆在2011、2012、2013年房价仍是会稳步增添。

但二线三线等城市增幅较大城市快,而大城市的增添幅度小。

模型的剖析与改良

此类模型是承接经济学的合理价钱模型来计算出未来房价的趋向，从而使用

回归剖析模型综合考虑各个重点因素解决一些详细的数据问题，得出线性关系方程从而合理的展望未来的房价，最后得出北京、重庆未来三年房价稳步增添的趋向，而一线、二线、三线城市的增添速度不一。

因为这个问题是以前一问的基础上改良剖析得出，所以假如上个方程有偏差，那么这个公式的偏差相对而言就会大一些，数据的正确性就会降低，但整体上影响不大，假如多考虑几个因素，加入一些自变量会更为精准。

问题三的模型成立与求解：

能够依据近几年土地价钱，GDP，建筑资料成本等走势图（以下列图）

8

GDP增添率

16.0%

14.0%

12.0%

10.0%

8.0%

6.0%

4.0%

2.0%

0.0%

GDP增添率

9由以上能够做出勇敢假定：房价与土地成本，建筑原资料价钱呈正比，由此能够算出公式以下：

P=K4*A+K5*B+K6/C+Ｒ＋Ｔ

再假定居民人均收入对房价有一个容忍度，设为容差（K6），则能够推出居民心中的理想房价，由此推出理想房价：

Ｌ＝K7*GDP

在理想房价的必定范围内房价是理想的，设这范围内的函数为X，则

X=P-L

10

即

X=K4*A+K5*B+K6/C+R+T-P-L

所以由上边式子，我们获取以下结论，并提出合理性举措：

居民收入增添是房价上升的首要原由。改革开放以来，我国居民收入大幅度增添，恩格尔系数显然降落，花费构造不停升级，投资能力愈来愈强。在住宅制度改革的推动下，住宅的有效需求得以开释，家庭构造的变化和城镇化的推动又扩大了住宅需求。这是房价保持上升态势最不言而喻的原由。同时，在缺少“积蓄—投资”转变渠道的状况下，购买房产是较富饶居民的理性选择，住宅投资需求渐渐启动，房价被进一步拉高。当房价高出与居住需求符合的水平常，谋利就会出现，从而致使空置率偏高、租售比倒挂、房价收入比超出国际戒备线等现象。这样，房价就在花费需求、投资需求、谋利需求的共同推动下不停爬升，早买房、买大房的住宅花费行为成为居民应付房价快速上升的选择。

宽松的信贷政策是房价上升的重要支撑。我国房地产开发公司自有资本比率低，对银行信贷高度依靠；而银行系统也很看重房地产开发贷款对换整财产构造的作用，并因手持土地抵押物而对房地产开发赐予高杠杆支持。同时，我国住宅花费信贷政策特别宽松，银行多数依据央行规定的最大贷款比率和远低于其余种类贷款的利率水平发放个人住宅抵押贷款。能够说，宽松的住宅开发贷款和住宅花费贷款是促成住宅市场产销两旺、房价节节爬升的重要推手。并且，房价不倒、地价不垮的预期使手持抵押物的银行不单没有动力落实央行的调控政策，并且会采纳各样对策来消化“不利”的调控政策。

“土地财政”是房价上升的重要原由。在好多城市，土地出让金是地方财政的重要根源。在土地财政的激励下，地方政府踊跃在城市展开“三旧”改造，并最大限度地发掘乡村土地资源。假如说初期阶段是房价拉高地价，那么，现阶段已经是地价推高房价了。

原资料与劳动力成本的增添。包含土地、钢材、设备、新资料和劳动力成本的增添等都有价钱的推动作用。假如经济增添让收入与价钱广泛上升，同比计算时能否也应试虑这种因素呢?如人均收入与银行的利率会考虑花费者物价指数的增添率、投资增添中应扣除花费者物价指数的增添部分，那么房价能否也应给予必需的物价调整呢?

房地产谋利行为。能够看出可支配收入对房地产价钱没有明显影响，这些城市房地产价钱的上升，主假如由谋利来推动的，并且整体谋利度很高。经过加入时间变量，房地产谋利度变得更高，说明花费者基本上是之外推预期判断价钱走势，即价钱预期的形成不单与过去价钱有关，并且受过去价钱改动趋向的影响很大。这是一种非理性预期，它极大地滋长了花费者的谋利行为，是致使住所

价钱上升的一个不行忽视的因素。在加入城市级虚构变量后，房地产谋利度明显增添，说明大城市间房地产价钱的互相攀比，滋长了市场谋利行为。在加24人时间虚构变量后，我们得出今年房地产谋利度大大高于早年，显示出目前房地产价钱极大的偏离了市场基础价钱。

房地产作为拥有多重属性的财产，既是人们安居的必需品，又是各家产发展一定的生产因素。所以，中国社会经济的发展和繁华，需要一个健康的房

地产市场。但是，目前房地产谋利行为已经出现，使房地产市场面对巨大的风险。

11

政府和家产部门应当采纳适合的举措，踊跃指引花费者和投资者，为成立均衡的房地产市场供应优秀的宏观和微观环境。

对策

(一)加速建设经济合用房和廉租房

现在之中国，人均GDP与其余国家对比仍是挺小的，中国仍是并且将长久处于社会主义初级阶段。因为目前国内的贫富差距比较大，造成富饶者、谋利者大

量购买房子，从而房价向来居高不下。而作为部分一般老百姓百姓，人均GDP还不高，可支配收入还不足以购买居室，所以，政府应保障低收入集体的利益，加大

力度建设经济合用房和廉租房，并且还应确实落实好有关政策对低收入人群的身份加以认定，免得优秀的社会资源的白白浪费。从而确实解决低收入集体的住宅问题。同时，经济合用房和廉租房的建设会致使社会大众对商品房需求的降低，对房价起到必定克制作用，从而间接的克制房地产谋利行为的发生。

（二）政府公布有关法律法例鼓舞居民到郊区、乡村买房

为了减少一个地区的人口密度，国家第一应持续鼎力实行“计划生育”的基本国策，控制人口数目，从而减少人口密度。而针对克制房地产谋利行为，最主

要的仍是要克制房价的过快上升，那么依据供求关系影响房价，政府能够在边沿地区成立优秀的交通渠道、合理的房子价钱和配套的生活设备，优秀的生活环境，这样自然就会降低房地产谋利行为多的地区的人口密度，从而间接克制房地产谋利行为。

（三）加大国家宏观调控的力度，稳固市场、克制通货膨胀

考虑到房子造价有较大多数是建材成本，所以，总的来说国家应稳固有关生产资料的价钱，克制其涨幅过快，从而稳固房子造价，从而稳固房价。最后间接克制房地产谋利行为。

（四）增强对土地开发的看管

第一，土地由政府垄断供应，假如房地产市场中存在土地谋利过分的现象，

城市政府应控制相应的土地供应规模，防备土地谋利活动愈演愈烈；但假如土地

谋利现象其实不显然而是以房子谋利为主的话，则应适合加大土地的供应量，特别

是要增添中廉价住宅用地的规模，来克制房地产价钱的过快上升。简而言之就是

政府不该以财政收入最大化为目的，而是应当从调理土地供应和需要的目的出发

来出让土地使用权。其次，因为政府垄断经营土地，简单致使权利寻租，滋润谋利