2024年高考数学复习：20 立体几何截面问题的十种题型（原卷版）

20立体几何截面问题的十种题型【题型一】做截面的基本功：补全截面方法【典例分析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,点E、F分别是AB、AA1的中点，点E、F、C1平面，直线A1D1平面=P，则直线BP与直线CD1所成角的余弦值是【提分秘籍】基本规律截面训练基础：模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点方法：两点成线相交法或者平行法特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。方法一：相交法，做法如图方法二：平行线法。做法如图【变式演练】1.如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（）A．三角形B．平面四边形C．平面五边形 D．平面六边形2.如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（）A．AB中点 B．BC中点C．CD中点 D．BB1中点3.如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（）A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形C．当时，为六边形 D．当时，的面积为【题型二】截面形状的判断【典例分析】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律一些容易出错误的地方1.截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。2.不会与同一个表面有两条交线。3.与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长）4.截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系【变式演练】1.如图，正四棱锥的高为12，，，分别为，的中点，过点，，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（）A．B．C． D．2.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（）A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形3.在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．①当P为中点时，截面为六边形；②当时，截面为五边形；③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形；【题型三】平行关系确定截面【典例分析】在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（）A． B． C． D．无法确定【提分秘籍】基本规律平行关系确定的截面作图，一般情况下，利用线线、线面、面面特别是线面的平行性质定理推导。【变式演练】1.在正方体中，与平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.2.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）A．0条 B．1条C．2条 D．4条3.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.【题型四】垂直关系确定的截面【典例分析】已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为A． B． C．2 D．【提分秘籍】基本规律垂直关系确定的截面，利用线面垂直定理，转化到表面寻找线线垂直。【变式演练】1.如图，为正方体，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（）A．为定值，不为定值B．不为定值，为定值C．与均为定值D．与均不为定值2.正方体，的棱长为4，已知平面α，，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）A．α截得的截面形状可能为正三角形 B．与截面α所成角的余弦值为C．α截得的截面形状可能为正六边形 D．β截得的截面形状可能为正方形3.已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（）A． B．平面C．平面平面 D．平面截正方体所得的截面面积为【题型五】求截面周长【典例分析】如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.【提分秘籍】基本规律1.截面周长，可以利用多面体展开图求。2.截面周长，可以在各个表面各自解三角形求解。【变式演练】1.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（）A．2+2 B． C． D．2.已知在棱长为6的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．3.已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（）A． B． C． D．【题型六】求截面面积【典例分析】已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______.【提分秘籍】基本规律求截面面积：1.判断界面是否规则图形2.求截面各边长度3.规则图形，可以用对应面积公式求4.不规则图形，可以分割为三角形等图形求。5.难点：动态面积最值，可参考本专题10【变式演练】1.正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（）A．5 B． C． D．2.在棱长为的正方体中，为的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为（）A． B． C． D．3.已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面为___________，其面积为___________.【题型七】球截面【典例分析】正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.【提分秘籍】基本规律计算球截面1.确定球心和半径2.寻找做出并计算截面与球心的距离3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质4.强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。【变式演练】1.已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（）A． B． C． D．2.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（）A． B． C． D．3.已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，AB=，点E在线段BD上，且BD=3BE．过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）A． B． C． D．【题型八】截面分体积【典例分析】已知正四棱柱中、的交点为，AC、BD的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则正四棱柱的体积为______________.【提分秘籍】基本规律对于截面截开几何体，一般情况下，可能会出现不规则几何体，所以求体积，需要采取“切割法”来求【变式演练】1.正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________.2.如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：23.三棱锥中，E、F、G、H分别是棱DA、DB、BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分成两个几何体：、，其体积分别为、，则（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【题型九】不规则截面（曲线形截面）【典例分析】如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律不规则截面，会产生截面图像为圆锥曲线，可参考专题8-1立几中的轨迹专题【变式演练】1.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，是该曲线上的两点且，若经过点，则__________.2.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为_______________.3.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为__________．【题型十】截面最值【典例分析】已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律截面有关的最值计算，多从这三方面极限法，可通过动点运动到两端，计算截面最值（要注意判断是否单调性）坐标法，可通过建系设坐标，构造对应的函数求最值。化归法，可以通过图形转化，把立体图形转化为平面图