2023-2024学年山东幸福柳分高一上学期期中考试数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东幸福柳分高一上学期期中考试数学质量检测模拟试题一､单选题（共40分）1.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远已知为非零实数，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可求解.【详解】对于A，当时，，故A错误，对于B，，由于，所以，故B正确，对于C，若则，此时，故C错误，对于D，取，则，不满足，故D错误，故选：B2.下列函数中与函数相等的函数是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，显然定义域不同，故A、D错误；对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；对于函数，对应关系不同，即C错误.故选：B3.已知集合，那么集合为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据集合描述，联立二元一次方程求解，即可得.【详解】由，故.故选：D4.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.【详解】命题“”的否定是“”.故选：A.5.下列命题中错误的是（）A.当时， B.当时，的最小值为2C.当时， D.当时，【正确答案】B【分析】利用基本不等式可判断选项A；利用对勾函数的性质可判断选项B；利用基本不等式可判断选项C；利用基本不等式可判断选项D．【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，正确；对于B，当时，，错误；对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，正确；对于D，当时，，，当且仅当时取等号，正确；故选：B6.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由于函数是上的减函数，则函数在上为减函数，所以，，解得.且有，解得.综上所述，实数取值范围是.故选：A.本题考查利用分段函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.7.定义区间长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度．用表示不超过x的最大整数，记，其中．设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数k的最小值为（）．A. B. C.6 D.7【正确答案】B【分析】根据的定义将化为，对，，…，依次讨论，求解不等式直到满足解集的区间长度为，从而可求得最小值.【详解】，，即，当时,，上式可化为，∴，其区间长度为；当时,，上式可化为，∴；当时,，上式可化为，∴；当时,，上式可化为，∴；当时,，上式可化为，∴；当时,，上式可化为，∴，其区间长度为；当时,，上式可化为，∴，其区间长度为；当时,，上式可化为，∴，其区间长度为；所以当时,不等式的解集为；∴当时，不等式解集的区间长度为，所以实数k的最小值为.故选：B函数新定义的题目，解题关键点是围绕着新定义的概念和运算进行分析.8.已知，，，则（）A. B. C. D..【正确答案】A【分析】利用的单调性比较的大小关系，利用的单调性证明即可比较出的大小关系.【详解】令，则，由得，，由得，，所以在上为增函数，在为减函数.因为，所以，即，故.因为，所以，所以，所以，所以，而，所以．故选：A二､多选题（共25分）9.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.若，则“”是“”的充分不必要条件C.“”是“”的充要条件D.若，，则【正确答案】BD【分析】对于A，由特称命题否定为全称命题分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于C，举例判断，对于D，作差法分析判断【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，所以A错误，对于B，当时，，，而当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确，对于C，若，则，所以“”不是“”的充要条件，所以C错误，对于D，因为，，所以，所以，所以，所以D正确，故选：BD10.下列命题正确的是（）A.的图像是由的图像向左平移一个单位长度得到的B.的图像是由的图像向上平移一个单位长度得到的C.函数的图像与函数的图像关于轴对称D.的图像是由的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的【正确答案】BCD【分析】由函数的平移法则和对称性可直接判断A，B，C选项，采用分离常数法化简函数，再结合函数平移法则可判断D选项.【详解】的图像是由的图像向右平移一个单位长度得到的，故A项错误；的图像是由的图像向上平移一个单位长度得到的，故B项正确；函数的图像与函数的图像关于轴对称，故C项正确；，故的图像是由的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的，故D项正确.故选：BCD11.已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，．则下列选项成立的是（）A. B.C.若，则 D.若，则【正确答案】AB【分析】对A：根据函数奇偶性的性质，赋值即可求得结果；对B：利用函数奇偶性和单调性即可判断；对C：利用函数性质，分类讨论，即可求得不等式解集；对D：由，结合函数单调性，即可求得不等式解集.【详解】由，得：函数是R上的奇函数；由，，，得：在上单调递减；又是连续函数，故可得在上单调递减；对A：，令，故可得，A正确；对B：，即，由在上单调递减，可得，故B正确；对C：对，当时，；当时，；由在上单调递减，且可知，的解集为，故C错误；对D：，即，则，解得，故D错误；故选：AB．12.设，且，那么（）A.有最小值B.有最大值C.ab有最大值.D.ab有最小值.【正确答案】AD【分析】直接利用基本不等式分别求出和ab的范围，对照四个选项进行判断.【详解】，，，当时取等号，，解得，，有最小值；，当时取等号，，，，解得，即，有最小值．故选：AD13.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.，B.，C.，，若，则有D.方程的解集为【正确答案】BCD【分析】对于A：取，不成立；对于B：设，,讨论与求解；对于C：，，由得证；对于D：先确定，将代入不等式得到的范围，再求得值.【详解】对于A：取，，故A错误；对于B：设,，当时，，，则，则，,故当时成立.当时，，则，则，故当时成立.综上B正确.对于C：设，则，，则，因此，故C正确;对于D：由知，一定为整数且，所以，所以，所以，由得，由解得，只能取，由解得或(舍)，故，所以或，当时，当时，所以方程的解集为，故选：BCD.高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时因为不是一个确定的实数,可设，处理.(3)求由构成的方程时先求出的范围,再求的取值范围.(4)求由与混合构成的方程时,可用放缩为只有构成的不等式求解.（注意：考生需将填空题的答案及解体步骤写到答题卡的标准区域，只写答案没有步骤则视为无效答案，请考生须知）三､填空题（共20分）14.函数的定义域是__________.【正确答案】【分析】根据解析式建立不等式求解即可.【详解】由，即，解得，即函数的定义域是.故15.已知，，，，则的最小值为________．【正确答案】【分析】由已知可得，结合基本不等式求的最小值，再求的最小值.【详解】因为，，所以，又，，所以，当且仅当时取等号．所以，当且仅当时取等号．所以的最小值为.故答案为.16.已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论：①的最小值为0；②的最大值为3；③若在上单调递减，则的取值范围为；④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4个；则全部正确命题的序号为__________.【正确答案】①②④【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出的表达式并判断AB；由在上单调性确定a值判断C；由函数图象具有对称性求出a值判断D作答.【详解】当时，，函数在上递减，在上递增，；当时，，若，函数在上递减，在上递增，，若，函数在上递减，在上递增，当时，，若，函数在上递减，在上递增，；当时，，若，函数在上递减，在上递增，，若，函数在上递减，在上递增，当时，，若，函数在上递减，在上递增，；当时，，函数在上递减，在上递增，；当时，，函数在上递减，在上递增，，因此，于是，即的最小值为0，最大值为3，①②正确；显然当时，函数在上也递减，③错误；当或时，函数的图象关于直线对称，当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，当时，不存在直线，使得函数的图象关于直线对称，则当时，对于任意的，成立，此时，④正确，所以正确命题的序号为①②④.故答案：①②④思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑17.在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是__________.【正确答案】【分析】根据题意整理可得：对，则，分类讨论的取值范围，分析运算.详解】∵，即对，则，故对，则，∵，则有：1.当时，则，可得，不成立；2.当时，则，可得，则，若，解得，符合题意；特别的：例如，取，则，解得；例如，取，则，解得；故；3.当时，则，可得，不成立；4.当时，则，可得，则，若，解得，符合题意；特别的：例如，取，则；例如，取，则；故；5.当时，则，可得，不成立；综上所述：的取值范围是.故答案为.关键点点睛：（1）对，结合累加法求得；（2）对于分段函数，一般根据题意分类讨论，本题重点讨论与的大小关系；（3）对特殊函数的处理，本题可取和.四､解答题（共65分）18.已知全集.（1）求集合；

（2）若集合，求实数的值.【正确答案】（1），（2）【分析】（1）解一元二次方程及整数的概念化简即可求解；（2）先求出，再求，利用集合相等建立方程组求解即可.【小问1详解】，所以，；【小问2详解】由（1）得，又，所以，所以，得.19.已知函数且．（1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得函数在区间，上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）；（2）答案见解析【分析】（1）由题意可得恒成立，再根据，且，求得的范围．（2）分类讨论的范围，利用二次函数的性质，求得的值．【小问1详解】函数且的定义域为R，故恒成立，，且，；【小问2详解】令，当时，是二次函数，其对称轴为，当时，，有，不符合题意，当时，，不合题意，下面只讨论的情况；①当时，要使函数在区间，上为增函数，则函数在，上恒正，且为增函数，，则必有，即，并且有，，，满足题意；②当时，讨论与①相同，但，不成立；③当时，要使函数在区间，上为增函数，则函数在，上恒正，且为减函数．，则必有，即，并且，，满足题意；综上，（1），（2）当和时，存在使得在上为增函数，并且最大值为2.20.若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，，则称是与的分隔直线函数．当时，被称为双飞燕函数，被称为海鸥函数．（1）当时，取．求的解集；（2）判断：当时，与是否存在着分隔直线函数．若存在，请求出分隔直线函数解析式；若没有，请说明理由．【正确答案】（1）答案见解析（2）存在分隔直线函数，解析式为，理由见解析【分析】（1）将不等式转化为，对n分类讨论解不等式；（2）对m，n分类讨论找出介于两个函数值之间的函数解析式.【小问1详解】，时，，可化为，即，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为或；当，即时，不等式的解集为或.【小问2详解】若，，当时，恒成立，恒成立，则是与的分隔直线函数；若，，当时，恒成立，恒成立，则是与的分隔直线函数；综上所述，与分隔直线函数解析式为.21.若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间.（1）是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间.【正确答案】（1）存在，（2）答案见解析【分析】（1）根据“正函数”的定义以及函数的单调性将问题转化为“方程在区间内有实数解”，利用构造函数法来求得的取值范围.（2）根据“不等式的解集”求得的可能取值，再结合“等域区间”的定义求得正确答案.【小问1详解】因为函数是上的减函数，所以当时，，即两式相减得，即，代入得，由，且得，故关于a的方程在区间内有实数解，记，则，解得.【小问2详解】由不等式的解集恰为，且为二次函数，得，且.所以，①，②将代入①，，整理得.又，a，，从而或.所以或当时，，当时，，所以不是的等域区间.当时，，.当时，，所以不是的等域区间.函数中的新定义问题，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、