2024年高考数学复习：12 正余弦定理与解三角形小题归类2（原卷版）

12正余弦定理与解三角形小题归类2【题型一】图形5：“扩展线”【典例分析】在中，是边上的一点，，，，则（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律“扩展线”型，多选择合适的角度作为变量，构造等量或者函数关系。【变式演练】1.在中，，，且有，则线段长的最大值为（）A． B． C． D．2.如图，为的边上一点，，，，当取最小值时，的面积为（）A． B． C． D．3.在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【题型二】向量【典例分析】在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.适当选择“基底”进行进行线性拆分2.利用等和线、均值不等式等知识。3.常用的计算思维：两边平方【变式演练】1.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，点D在边上，且，则线段长度的最小值为（）A． B． C．3 D．22.在平行四边形ABCD中，，则cos∠ABD的范围是（）A． B． C． D．3.设O是的外心，满足，，若，则的面积是A．4 B． C．8 D．6【题型三】四心1：外心【典例分析】在中，分别为的对边，为的外心，且有，，若，，则A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.向量表示：在中，若或，则点是的外心2.三角形中垂线的交点。3.正弦定理【变式演练】1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为A．1 B． C．1 D．2.在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则________．3.已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为A．3 B． C． D．【题型四】四心2：内心【典例分析】已知的内角分别为，，且的内切圆面积为，则的最小值为（）A． B．8 C． D．【提分秘籍】基本规律1.角平分线的交点。2.向量表示：在中，若，则直线通过的内心3.角平分线定理4.面积法【变式演练】1..已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（）A． B． C． D．2.设△的三边长为，，，若，，则△是（）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形3.已知内接于半径为2的，内角A，B，C的角平分线分别与相交于D，E，F三点，若，则A．1 B．2 C．3 D．4【题型五】四心3：重心【典例分析】在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.中线交点。中线段的三等分点。2.分割成三个形状不同面积相等的三角形。3.向量表示：在中，若，则直线过的重心【变式演练】1.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，点是的重心，且，则的面积为（）A． B． C．3 D．2.设的内角的对边分别为，点为的重心且满足向量，若，则实数A．3 B．2 C． D．已知四边形的面积为2022，E为边上一点，，，的重心分别为，，，那么的面积为___________．【题型六】四心4：垂心【典例分析】若是垂心，且，则（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.三角形三条高的交点2.在中，若，则点是的垂心3.多与面积有关。【变式演练】1.点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心2.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心3.的垂心在其内部，，，则的取值范围是_____【题型七】解三角形应用题【典例分析】某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（）A． B． C． D．【变式演练】1.如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（）.（仰角为直线与平面所成的角）A． B． C． D．2.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（）A． B．C． D．3.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，为圆心，且，在上有一座观赏亭，其中，计划在圆弧上再建一座观赏亭，记，当越大时，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，则观赏效果最佳时，（）A． B． C． D．【题型八】超难压轴小题1【典例分析】在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（）A． B． C． D．【变式演练】1.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，若，则（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为12.已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（）A． B． C． D．3.设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．【题型九】超难压轴小题2【典例分析】已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，.如图，分别为两个正方形的中心（其中，，三点不共线），则当的值最大时，的面积为（）A． B． C．2 D．【变式演练】1.在中，是边上一点，且，，若是的中点，则______；若，则的面积的最大值为_________．2.△内接于半径为2的圆，三个内角，，的平分线延长后分别交此圆于，，.则的值为_____________.3.在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（）A． B． C． D．模拟题1.在中，，，点在边上，且，则的取值范围是A． B．C． D．2.若，，则的最大值为A． B． C． D．3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是()A． B． C．3 D．4.已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=π4，且cosBsinCABA． B．﹣ C． D．﹣5..如图，已知，其内部有一点满足∠OAB=∠OAC=∠OBC=∠OCA=θ，命题p:θ最大值有可能超过36度；命题q:若三边长对应分别为a   ,   b   A．p真q假 B．p假q假 C．p真q真 D．p假q真6.已知的周长为9，若，则的内切圆半径的最大值为（）A． B．1 C．2 D．7.已知点G是的重心，且，若，则的值为________．8.的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.9.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方