2024届高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第二讲排列与组合课件

第二讲排列与组合课标要求考情分析1.理解排列和组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式和组合数公式1.以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力.2.以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组1.排列与组合的概念内容排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示2.排列数与组合数(续表)(续表)【名师点睛】

(1)解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏. (2)对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.考点一排列问题[例1]有3名男生，2名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边的位置，共___种排法；(2)全体排成一行，其中男生必须排在一起，共____种排法；(3)全体排成一行，男生不能排在一起，共____种排法；(4)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，共____种排法；(5)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边，共___种排法；(6)若再加入一名女生，全体排成一行，男女各不相邻，共___种排法；(7)排成前后两排，前排3人，后排2人，共____种排法；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有1人，共____种排法.答案：(1)72(2)36(3)12(4)20(5)78(6)72(7)120(8)36【题后反思】排列应用问题的分类与解法

(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.

(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

【变式训练】

1.(2022年全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A.12种C.36种

B.24种D.48种答案：B

2.(2023年渝中区校级月考)医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个检查项目.为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起接着检查.则不同顺序的检查方案一共有()A.6种C.18种

B.12种D.24种答案：B考点二组合问题[例2]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【题后反思】组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【变式训练】

泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥.北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史.现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有________(用数字作答)种.图9-2-1答案：840

考点三排列与组合的综合问题

考向1相邻问题

[例3]北京

APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有()A.12种B.24种C.48种D.96种

解析：从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有

＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B，2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法.答案：C

考向2相间问题

[例4]某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案：B

考向3特殊元素(位置)问题

[例5]某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自同一个家庭的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.36种D.48种解析：根据题意，分两种情况讨论：

①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有

＝12(种)乘坐方式；

②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有

＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式.答案：B【反思感悟】解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(位置)的性质进行分类.(2)按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).【考法全练】

1.(考向1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.答案：36

2.(考向2)(2021年广德市模拟)将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《戏曲论丛》7本书放在一排，下面结论成立的是()A.戏曲书放在中间的不同放法有7！种B.诗集相邻的不同放法有2×6！种C.四大古典名著互不相邻的不同放法有3！种D.四大古典名著不放在两端的不同方法有A45种解析：对于A，戏曲书只有一本，所以其余6本书可以全排列，共有6！种不同排列方法，A错误；

对于B，诗集共2本，把诗集当成一本，不同放法有6！种，这两本又可交换位置，所以不同放法总数为2×6！，B正确；

对于C，四大古典名著互不相邻，那只能在这四本书的3个空隙中放置其他书，共有3！种放法，这四本书又可以全排列，所以不同放法总数为4！×3！，C错误；答案：B

3.(考向3)(2022年广州市质检)某夜市的某排摊位上共有6

个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为()

解析：先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃类店铺的5个空位选2个进行排列，故排出的摊位规划总个数为答案：D⊙排列组合中的平均分配问题[例6]六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)平均分成三堆，每堆两本；(2)平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；(3)一堆一本，一堆两本，一堆三本；(4)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(5)一人得一本，一人得两本，一人得三本.

【反思感悟】(1)对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A

(n为均分的组数)，避免重复计数. (2)对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！. (3)对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.

【高分训练】

1.(2023年成都市月考)某校在重阳节当日安排4位学生到三所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案数是()A.81B.72C.48D.36

解析：根据题意，分2步进行分析：先将4位学生分为3组，再将三组分配到三所敬老院，则有

＝36种分配方法，故选D.答案：D

2.(2022年天河区校级月考)将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球