2024届高考数学一轮总复习专题七概率与统计的热点问题课件

专题七概率与统计的热点问题题型一概率与统计的综合应用

[例1](2022年湖北九师联盟模拟)某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试(满分100分)，将不低于50分的考生的成绩分为5组，即[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制频率分布直方图如图7-1所示，其中在[90，100]内的人数为3. (1)求a的值，并估计不低于50分考生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；图7-1

(2)现把[50，60)和[90，100]内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上，并放在盒子内，现从盒中随机抽取2个小球，若取出的两人成绩差不小于30，则称这两人为“黄金搭档组”.现随机抽取4次，每次取出2个小球，记下考号后再放回盒内，记取出“黄金搭档组”的次数为X，求X的分布列和均值E(X).

解：(1)由题意，得(0.005＋0.01＋0.015＋a＋0.045)×10＝1，解得a＝0.025，

不低于50分考生的平均成绩估计为55×0.1＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05＝73(分).

【反思感悟】概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.【互动探究】

1.(2022年湛江市模拟)某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元.小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图7-2.“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元.小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下频率分布直方图(如图7-3).图7-2图7-3

(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1

的函数关系式、“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式；

(2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X1

和“送外卖员”的日薪X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的均值，分析小明选择哪种工作比较合适，并说明你的理由.销售量/件34567频率0.050.20.250.40.1X1110130150180210P0.050.20.250.40.1(2)由柱状图知，日平均销售量满足如下表格：所以X1

的分布列为所以E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元).单数/单1030507090频率0.050.250.450.20.05X230100185275365P0.050.250.450.20.05由频率分布直方图可知，日送单数满足如下表格：所以X2

的分布列为所以E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元).由以上计算得E(X2)＞E(X1)，做“送外卖员”挣的更多，故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适.题型二概率与统计案例的综合应用

[例2](2022年苏州市模拟)为落实“十三五”规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，分别得到如图7-4和图7-5所示的频率分布直方图：图7-4图7-5型号超过2500小时不超过2500小时合计A型B型合计(1)将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：根据上面的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？

(2)用分层随机抽样的方法从不超过2500小时的A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和均值；

(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828参考数据：型号超过2500小时不超过2500小时合计A型7030100B型5050100合计12080200

解：(1)由频率分布直方图可知，A型超过2500小时的有100×(0.0006＋0.0005＋0.0003)×500＝70(台)，则A型不超过2500小时的有30台，同理，B型超过2500小时的有100×(0.0006＋0.0003＋0.0001)×500＝50(台)，则B型不超过2500小时的有50台.列联表如下：零假设为H0：使用寿命是否超过2500小时与型号无关，根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝200×(70×50－30×50)2

≈8.333＞6.635＝x0.010， 100×100×120×80

所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0

不成立，即认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关.

(2)由(1)和分层随机抽样的定义可知A型设备有3台，B型设备有5台，

所以X的所有可能取值为0，1，2，3，(3)由频率分布直方图中的频率估计概率知：A型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A型设备估计要更换3台；B型设备每台更换的概率为0.5，所以10台B型设备估计要更换5台，选择A型设备的总费用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2500×10-4＝16.75(万元)，选择B型设备的总费用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2500×10-4＝20.25(万元)，y1<y2，所以选择A型设备.

【反思感悟】高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，由频率分布直方图解决相关问题，解题的关键是正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.第x度ycm0479111213【互动探究】2.(2022年琼山区校级月考)设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：作出这组数据的散点图发现：y(cm)与x(天)之间近似满足关系(2)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于x的经验回归方程.题型三均值与方差在决策中的应用

[例3]某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有新产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品做出检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验？解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1，①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，则E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×18＝490.②如果对余下的产品做检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于490>400，故应该对余下的产品做检验.消费次数第1次第2次第3次不少于4次收费比例10.950.900.85【互动探究】

3.某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：消费次数1次2次3次不少于4次频数6025105该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元.根据所给数据，回答下列问题：(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；

(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列和均值E(X).

解：(1)25＋10＋5＝40，即随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有40位，所以估计该游泳馆1位会员