江苏省盐城市联盟五校2024届高三上学期第一次学情调研检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市联盟五校2024届高三上学期第一次学情调研检测数学试题第I卷（选择题）一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，而，所以.故选：B.2.已知复数，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,则.故选:A.3.已知角是第一象限角，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为角是第一象限角，，所以，，故选：C.4.函数的部分图像大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗定义域为，关于原点对称，，∴函数是偶函数，故排除A，C；当时，，，∴，故排除B．故选：D．5.若函数满足，且当时，，则（）A.10 B.4 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以函数是周期函数，且它的一个周期为4，所以，又当时，，所以，故.故选：B.6.已知平面向量，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，得．所以，，所以，，，所以．又，所以与的夹角为．故选：B.7.中，分别是角对边，且，则的形状为（）A.直角三角形 B.钝角三角形C.直角或钝角三角形 D.锐角三角形〖答案〗B〖解析〗由得，即，因为，所以，则，，，，，又，所以，，所以角为钝角，为钝角三角形.故选：B.8.对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗已知，由知.故排除BD.由得，，构造函数，是上的增函数，则由得，即，令，，由得，当，则单调递减，当，则单调递增，，则，又，则.故选：C.二、多项选择题9.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.“”是“”的必要不充分条件C.若向量，，则，可作为平面向量的一组基底D.已知向量，满足，且，和的夹角为，则在上的投影向量的坐标为〖答案〗BCD〖解析〗对于A，命题“，”的否定是“，”，故A错误；对于B，“”不能推出“”，例如，但“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，故B正确；对于C，向量，，因，故，可作为平面向量的一组基底，故C正确；对于D，在上的投影向量的坐标为：，故D正确.故选：BCD.10.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是或〖答案〗ACD〖解析〗由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；易知，和是方程的两个实数根，由韦达定理可得，则；所以不等式即为，解得，所以B错误；易知，所以C正确；不等式即为，也即，解得或，所以D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象的一条对称轴方程为C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到D.函数在区间上单调递增〖答案〗ABC〖解析〗，函数的最小正周期为，故A正确；由，得，当时，，故B正确；由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确．因为，函数在上不单调，故D错误．故选：ABC．12.已知定义在上的函数，其导函数的定义域也为.若，且为奇函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项：注意到，又是由向左平移1个单位得到的，且注意到为奇函数，因此的对称中心为即，因此；故A选项符合题意.对于B选项：令，此时满足题意，但，故B选项不符题意.对于C选项：因为的对称中心为，所以，又已知，所以，这表明了关于直线对称，即，由复合函数求导法则且同时两边对求导得；故C选项符合题意.对于D选项：由的对称中心为，即，两边对求导得，结合C选项分析结论，可知，所以这表明了的周期为4，因此，注意到，所以；故D选项符合题意.故选：ACD.II卷（非选择题共90分）三、填空题13.已知向量，且，求实数_______〖答案〗5〖解析〗∵，∴，故.故〖答案〗为：5.14.已知函数，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，因此.故〖答案〗为：.15.已知，则______．〖答案〗〖解析〗由，.故〖答案〗为：.16.已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为______.〖答案〗〖解析〗依题意，构造函数，则，因为对，成立，所以在单调递增，又函数是上的奇函数，所以，所以函数是上的偶函数，所以函数在单调递减，因为，所以，又，所以当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；当和时，；综上，当和时，，即的解集为.故〖答案〗为：.四、解答题17.计算求值：（1）；（2）已知，均为锐角，，，求的值．解：（1）（2）∵、都为锐角，∴，又，∴，，∴.18.已知函数的定义域为A．（1）求集合A；（2）已知集合，，若是的充分不必要条件，求m的取值范围．解：（1）要使函数有意义，则，解得．故．（2）是的充分不必要条件，，则集合A是集合B的真子集．则有，解得，所以实数m的取值范围是．19.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？解：（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，所以阴影部分的面积，所以，又，故，由图可知cm，cm.海报纸的周长为cm.故海报纸的周长为900cm.（2）由（1）知，，，，当且仅当，即cm，cm时等号成立，此时，cm，cm.故选择矩形的长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少.20.已知函数，且．（1）求函数的〖解析〗式；（2）为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围．解：（1）∵，即当时函数取到最值，又，其中，∴，代入得，即，解得，∴；（2）由（1）可得：，由复数的几何意义知：，∴，当，，即，时，有最大值6；当，，即，时，有最小值2；∴.21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角B；（2）若，D为AC的中点，求线段BD长度的取值范围.（1）解：因为所以，则，即，所以，又，则，所以，即，由，得，所以，所以；（2）解：因为，所以，因为D为AC的中点，所以，则，因为，所以，，则，因为，所以，所以，则，所以，所以22.已知函数，.（1）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求的单调区间及在区间上的最值；（2）若对，恒成立，求a的取值范围.解：（1）（i）当时，，，，，故曲线在点处的切线方程为，即；（ii），，，令，解得，令，解得，当时，，又，，其中，故，故的单调递增区间为，单调递减区间为；在区间上的最大值为，最小值为