专题1.8 二次函数重难点应用题归纳（六大题型）（原卷版）

专题1.8二次函数重难点应用题归纳（六大题型）重难点题型归纳【题型1运动类-落地类型】【题型2运动类-最值类型】【题型3经济类问题-与一次函数综合问题】【题型4经济类问题-每每问题】【题型5面积类问题】【题型6拱桥类问题】【模型1：运动类】（1）落地模型最值模型【模型2：经济类】销售问题常用等量关系：利润=收入-成本；利润=单件利润×销量；【模型3：面积类】【模型4：拱桥类】一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【题型1运动类-落地类型】【典例1】（2023•方城县一模）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式．（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．【变式1-1】（2023•大连模拟）已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【变式1-2】（2022秋•牡丹区校级期末）校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（）A．6m B．10m C．8m D．12m【变式1-3】（2022秋•西华县期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，小球运动到最高点所需的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【变式1-4】（2023•静乐县一模）2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为h＝﹣t2+bt．已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间l为（）A．3s B．3.5s C．4s D．4.5s【变式1-5】（2023春•阳山县校级期中）在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x2+x+1的一部分（如图所示，水平地面为x轴，单位：m），则下列说法不正确的是（）A．出球点A离点O的距离是1m B．羽毛球横向飞出的最远距离是3m C．羽毛球最高达到m D．当羽毛球横向飞出m时，可到达最高点【变式1-6】（2023•沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t﹣4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是s．【题型2运动类-最值类型】【典例2】（2022秋•乐亭县期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s【变式2-1】（2021秋•厦门期末）某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范围是（）A．t≥0 B．0≤t≤2 C．2≤t≤4 D．0≤t≤4【变式2-2】（2023春•青秀区校级期末）某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+14t+3，当火箭升空到最高点时，距离地面m．【变式2-3】（2023•襄阳模拟）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．【变式2-4】（2023•襄城区校级二模）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行．【变式2-5】（2022秋•南岗区校级期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）函数解析式y＝﹣1.5t2+60t，在飞机着陆滑行中，最后4秒滑行的距离是m．【题型3经济类问题-与一次函数综合】【典例3】（2022秋•建昌县期末）2022年11月，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功，弘扬茶文化，倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚．某茶商经销某品牌茶，成本为50元/千克，经市场调查发现，每周的销量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据列表如下：销售单价x（元/千克）566575…销量y（千克）12811090…（1）求y与x的一次函数关系式；（2）求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值．【变式3-1】（2023•新抚区模拟）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数y＝﹣80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元，设每天的利润为w元．（1）求w与x的函数关系式；（2）若每天获得160元的利润，销售单价多少？（3）每天的最大利润是多少？当利润最大时当天的销售量是多少？【变式3-2】（2023•五华县一模）某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，经调查发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，若每月销售件数y（件）与价格x（元/件）满足关系y＝kx+b（1）确定y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）为了使每月获得利润为1800元，问商品应定为每件多少元？（3）为了获得了最大的利润，商品应定为每件多少元？【变式3-3】（2022秋•连山区期末）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件的销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【变式3-4】（2023•兴隆台区二模）2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？（3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【变式3-5】（2023•嘉鱼县模拟）为巩固扶贫攻坚成果，我县政府督查各部门和单位对口扶贫情况．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和x的取值范围；（2）求该农产品的销售量有几天不超过60千克？（3）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）【变式3-6】（2023•利州区一模）某商店决定购进A，B两种纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表．售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数少于B型纪念品的件数，但不少于60件．若B型纪念品的售价为30元/件时，求商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润．【题型4经济类问题-每每问题】【典例4】（2022秋•法库县期末）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．（1）求y与x的函数关系式；（2）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．【变式4-1】（2023•息县模拟）2023年春节，各地暂停的庙会重新焕发了生机．某摊贩的货品中有A，B两款兔玩偶受到消费者的喜爱，A款玩偶和B款玩偶进货单价之和为50元，该摊贩购进A款玩偶100个，B款玩偶50个共花费3500元．（1）A款玩偶和B款玩偶的进货单价分别是多少？（2）摊主发现A款玩偶售价为27元时，每小时可以卖出10个．摊主为扩大销量，决定降价销售．若售价每降低1元，则每小时多卖出2个．若不考虑库存，按当天摆摊8小时计算，试求当天出售A款玩偶获得利润最大为多少．【变式4-2】（2023•鞍山二模）某款零件的成本为30元/个，当售价为80元/个时，一周销售量为600个，经过市场调查，每个零件的售价每降低2元（降低的价格为偶数），每周销售量会增加30个，设每个零件的售价降低x元时一周销售量为y个．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当每个零件降价多少元时一周销售利润最大，最大利润为多少元？【变式4-3】（2023春•东营期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？【变式4-4】（2023•湟中区校级开学）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元，经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售100件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售量为件；当每件的销售价为x元时，该纪念品每天的销售量为件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．【变式4-5】（2023•涟水县一模）某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件．（1）当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为件．（2）请写出y与x的函数关系式．（3）设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？【变式4-6】（2023•龙岗区校级一模）海安宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一个房间空着．设房价为x元．（1）求宾馆每天的营业额y与房价x的函数关系式；（2）若有游客居住时，宾馆需要对每个房间支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润W最大？（利润＝营业额﹣支出）【题型5面积类问题】【典例5】（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【变式5-1】（2022秋•西岗区校级期末）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米，苗圃园的面积为y平方米．（1）求y关于x的函数表达式．（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？【变式5-2】（2023•高阳县校级模拟）如图，王大爷准备围一块菜地，菜地一面靠墙，墙长14米，另外三面用29米长的篱笆围成，其中一面开一扇1米宽的门（不包括篱笆）．（1）王大爷能否围成面积为100平方米的菜地？若能，求BC的长；若不能．请说明理由．（2）王大爷想要围成的菜地面积最大，请你帮助他设计一下．【变式5-3】（2023•海淀区校级模拟）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【变式5-4】（2023•凉山州模拟）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为30﹣3x米（用含的代数式表示）；（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？【题型6拱桥类问题】【典例6】（2023•碑林区校级模拟）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC＝5m，跨度AB＝20m．（1）求抛物线的表达式；（2）拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．【变式6-1】（2023•晋中模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【变式6-2】（2023•丰润区二模）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x2【变式6-3】（2023•遵化市二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱